誤差理論與數(shù)據(jù)處理試題及答案一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.以下關于誤差的描述中，正確的是（）。A.系統(tǒng)誤差具有隨機性，無法通過多次測量減小B.隨機誤差的分布滿足正態(tài)分布時，絕對值小的誤差出現(xiàn)概率更高C.粗大誤差是由測量儀器精度不足引起的D.絕對誤差等于測量值與真值的差值的絕對值2.對某物理量進行等精度測量，得到10次測量值，計算其算術平均值的標準偏差時，應使用（）。A.貝塞爾公式：s=2B.平均值的標準偏差公式：sxˉC.最大殘差法：s≈max|viD.極差法：s≈xmaxx3.用分度值為0.02mm的游標卡尺測量長度，儀器誤差限通常?。ǎ?。A.0.01mmB.0.02mmC.0.04mmD.0.05mm4.間接測量中，若測量量N=x+2y3z，各直接測量量的不確定度分別為u(x)、u(y)、u(z)，則A.2u(xB.2u(xC.u(x)+2u(y)+3u(z)D.|u(x)2u(y)+3u(z)|5.有效數(shù)字運算中，12.345+0.00121.23的結果應為（）。A.11.1162B.11.12C.11.116D.11.16.以下哪種方法不能用于檢驗測量數(shù)據(jù)中的粗大誤差？（）A.拉依達準則（3σ準則）B.格拉布斯準則C.貝塞爾公式D.狄克遜準則7.對某電阻進行8次等精度測量，得到平均值為100.5Ω，標準偏差為0.3Ω，則測量結果的A類不確定度為（）。A.0.3ΩB.0.3/√8Ω≈0.106ΩC.0.3×√8Ω≈0.848ΩD.0.3×8Ω=2.4Ω8.最小二乘法擬合直線y=a+bx時，參數(shù)b的計算公式為（）。A.b=n∑B.b=∑C.b=∑(D.僅A和C正確9.以下關于不確定度的描述，錯誤的是（）。A.不確定度反映測量結果的分散性B.B類不確定度需通過統(tǒng)計方法評定C.合成不確定度是各分量的方和根D.擴展不確定度通常取包含因子k=2或k=310.用千分尺（量程0-25mm，分度值0.01mm）測量小鋼珠直徑，5次測量值（單位：mm）為：8.123、8.125、8.124、8.126、8.122。則測量結果的正確表示應為（）。A.(8.124±0.001)mm（P=68.3%）B.(8.124±0.002)mm（P=95%）C.(8.124±0.01)mm（P=68.3%）D.(8.12±0.01)mm（P=95%）二、填空題（每空2分，共20分）1.誤差按性質(zhì)可分為________、________和粗大誤差三類。2.算術平均值是真值的________估計，其標準偏差隨測量次數(shù)增加而________。3.有效數(shù)字的末位是________位，記錄測量數(shù)據(jù)時應保留________位可疑數(shù)字。4.不確定度的A類評定是通過________方法得到的，B類評定是基于________或經(jīng)驗信息評定的。5.用拉依達準則檢驗粗大誤差時，若某測量值的殘差絕對值大于________，則視為粗大誤差，應剔除。6.間接測量中，若函數(shù)關系為N=x·y，則相對不確定度ur三、判斷題（每題2分，共10分。正確打“√”，錯誤打“×”）1.多次測量取平均可以消除系統(tǒng)誤差。（）2.有效數(shù)字的位數(shù)越多，測量精度越高。（）3.標準偏差反映單次測量值的離散程度，平均值的標準偏差反映平均值的離散程度。（）4.不確定度評定中，儀器誤差限通常作為B類不確定度的主要來源，其置信概率取100%。（）5.最小二乘法擬合直線時，要求殘差的平方和最小，因此能有效減小隨機誤差的影響。（）四、計算題（共40分）1.直接測量誤差計算（10分）對某圓柱體直徑進行6次等精度測量，得到數(shù)據(jù)（單位：mm）：25.12、25.15、25.13、25.14、25.16、25.11。假設測量無系統(tǒng)誤差，儀器誤差限為0.02mm（置信因子k=1）。（1）計算算術平均值dˉ；（2）計算單次測量的標準偏差s(d)（用貝塞爾公式）；（3）計算平均值的標準偏差sdˉ（4）評定測量結果的合成不確定度u(dˉ)（A類與B類分量均取1個置信因子）；（5）寫出測量結果的最終表達式（置信概率約68.3%）。2.間接測量誤差傳遞（12分）通過測量圓柱體的直徑d和高度h計算體積V=πd=(20.00±0.02)mm（P=68.3%），相對不確定度urh=(50.0±0.1)mm（P=68.3%），相對不確定度ur（1）計算體積V的平均值；（2）推導體積的相對不確定度公式ur（3）計算體積的合成不確定度u(V)；（4）寫出體積的測量結果表達式。3.最小二乘法擬合（18分）某實驗中測量溫度t（℃）與電阻R（Ω）的關系，得到以下數(shù)據(jù)：|t（℃）|10.0|20.0|30.0|40.0|50.0||-------------|------|------|------|------|------||R（Ω）|102.5|105.2|107.8|110.5|113.1|假設R與t滿足線性關系R=a+bt，其中a為截距（t=0時的電阻），b為溫度系數(shù)（Ω/℃）。（1）列出計算a和b的最小二乘法公式；（2）計算a和b的具體數(shù)值；（3）計算b的標準偏差s(b)（已知∑(titˉ)2（4）寫出R與t的擬合方程（保留3位有效數(shù)字）。五、綜合分析題（10分）某同學用秒表（分度值0.1s，儀器誤差限0.2s）測量單擺周期，共測量10次，數(shù)據(jù)如下（單位：s）：2.01、2.03、2.02、2.04、2.00、2.05、2.03、2.01、2.06、2.02。（1）檢查是否存在粗大誤差（使用拉依達準則，3s為限）；（2）計算周期的平均值Tˉ和標準偏差s(T)；（3）評定A類不確定度uA(Tˉ)和B類不確定度uB（4）合成不確定度u(Tˉ)，并寫出最終結果表達式（置信概率約95%，取k=2）。答案解析一、單項選擇題1.B解析：系統(tǒng)誤差具有確定性，可通過修正減?。ˋ錯誤）；隨機誤差正態(tài)分布時，小誤差概率高（B正確）；粗大誤差由操作失誤引起（C錯誤）；絕對誤差是測量值與真值的差值（非絕對值，D錯誤）。2.B解析：算術平均值的標準偏差是單次標準偏差除以√n（B正確），A是單次標準偏差，C、D是近似計算方法。3.B解析：游標卡尺的儀器誤差限通常取分度值（0.02mm，B正確）。4.A解析：間接測量不確定度傳遞公式中，系數(shù)平方后相加（A正確）。5.B解析：加減運算保留小數(shù)位數(shù)最少的位數(shù)（12.345有3位小數(shù)，0.0012有4位，1.23有2位，結果保留2位小數(shù)，B正確）。6.C解析：貝塞爾公式用于計算標準偏差（C錯誤），其余為粗大誤差檢驗方法。7.B解析：A類不確定度為平均值的標準偏差，即s/28.D解析：A和C均為最小二乘法斜率的正確公式（D正確）。9.B解析：B類不確定度不通過統(tǒng)計方法（B錯誤）。10.A解析：5次測量的平均值為8.124mm，單次標準偏差約0.0017mm，平均值標準偏差≈0.0008mm，儀器誤差限0.004mm（千分尺誤差限通常為0.004mm，但題目未明確，按分度值0.01mm的1/2估計為0.005mm，此處可能簡化為0.001mm），合成后約0.001mm（A正確）。二、填空題1.系統(tǒng)誤差；隨機誤差2.最佳；減小（或降低）3.可疑；一4.統(tǒng)計（或多次測量）；非統(tǒng)計（或儀器說明書、經(jīng)驗）5.3倍標準偏差（3s）6.2u三、判斷題1.×（多次測量可減小隨機誤差，不能消除系統(tǒng)誤差）2.√（有效數(shù)字位數(shù)反映精度）3.√（標準偏差描述單次離散，平均值標準偏差描述平均值離散）4.×（儀器誤差限的置信概率通常取68.3%或?qū)鶆蚍植嫉膋=25.√（最小二乘法通過殘差平方和最小優(yōu)化參數(shù)，減小隨機誤差影響）四、計算題1.直接測量誤差計算（1）算術平均值：dˉ=25.12+25.15+25.13+25.14+25.16+25.11（2）單次測量的標準偏差（貝塞爾公式）：殘差vis(d)=2（3）平均值的標準偏差：sdˉ（4）合成不確定度：A類不確定度uAB類不確定度（儀器誤差限0.02mm，k=1）uB合成不確定度u(dˉ)=2（5）測量結果表達式：d=(25.14±0.02)mm（P=68.3%）。2.間接測量誤差傳遞（1）體積平均值：V=π4d（2）相對不確定度公式：由V=π4dur（3）合成不確定度：已知ur(d)=0.1%，uru(V)=V×ur(V)=15708×0.28%≈44（4）測量結果表達式：V=(1.57×104±4×1013.最小二乘法擬合（1）最小二乘法公式：b=n∑a=Rˉbtˉ（其中tˉ=∑ti（2）計算a和b：n=5，∑ti=10+20+30+40+50=150∑Ri=102.5+105.2+107.8+110.5+113.1=539.1∑t∑t代入公式得：b=5×16438150×539.1a=107.820.265×30=107.827.95=99.87Ω。（3）b的標準偏差：已知∑(titˉ單次測量的標準偏差s(R)=2∑(Rs(b)=s(R)2∑(（4）擬合方程：R=(99.9±0.1)+(0.265±0.10)t（保留3位有效數(shù)字為R=99.9+0.265t）。五、綜合分析題（1）粗大誤差檢驗（拉依達準則）：平均值Tˉ=2.01+2.03+2.02+2.04+2.00+2.05+2.03+2.01+2.06+2.02殘差vi單次標準偏差s(T)=23s(T)