現(xiàn)代信號處理試題及答案一、選擇題（每題3分，共30分）1.下列關(guān)于離散時(shí)間信號的描述中，錯(cuò)誤的是（）A.離散時(shí)間信號的時(shí)間軸是離散的，但幅度可以是連續(xù)的B.單位階躍序列u[n]在n=0處取值為1C.離散時(shí)間正弦信號x[n]=sin(ωn)一定是周期信號D.離散時(shí)間信號的能量定義為Σ|x[n]|2（n從-∞到+∞）2.已知x(t)的傅里葉變換為X(jω)，則信號x(2t-4)的傅里葉變換為（）A.(1/2)X(jω/2)e^(-j2ω)B.(1/2)X(jω/2)e^(-j4ω)C.2X(j2ω)e^(-j2ω)D.2X(j2ω)e^(-j4ω)3.關(guān)于無限沖激響應(yīng)（IIR）濾波器和有限沖激響應(yīng)（FIR）濾波器的對比，正確的是（）A.IIR濾波器一定是穩(wěn)定的，F(xiàn)IR濾波器可能不穩(wěn)定B.IIR濾波器可以利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)成果，F(xiàn)IR濾波器一般采用窗函數(shù)法或頻率采樣法C.FIR濾波器的相位特性通常是非線性的，IIR濾波器容易實(shí)現(xiàn)線性相位D.IIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)長度有限，F(xiàn)IR濾波器的單位脈沖響應(yīng)長度無限4.對連續(xù)信號x(t)=cos(200πt)+cos(500πt)進(jìn)行理想采樣，為避免混疊，最低采樣頻率f_s應(yīng)至少為（）A.200HzB.500HzC.1000HzD.1400Hz5.下列窗函數(shù)中，主瓣寬度最窄的是（）A.矩形窗B.漢寧窗（Hanning窗）C.海明窗（Hamming窗）D.布萊克曼窗（Blackman窗）6.已知離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)=z/(z-0.5)，則該系統(tǒng)是（）A.低通濾波器B.高通濾波器C.帶通濾波器D.帶阻濾波器7.關(guān)于離散傅里葉變換（DFT）的性質(zhì)，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.DFT具有循環(huán)卷積特性，而非線性卷積B.若x[n]是實(shí)序列，則其DFT滿足共軛對稱性C.DFT的點(diǎn)數(shù)N越大，頻率分辨率越高（信號長度固定時(shí)）D.DFT是對離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）的等間隔采樣8.自相關(guān)函數(shù)R_xx(τ)的性質(zhì)不包括（）A.R_xx(0)是信號的平均功率B.R_xx(τ)=R_xx(-τ)（實(shí)信號）C.|R_xx(τ)|≤R_xx(0)D.R_xx(τ)的傅里葉變換是信號的互功率譜密度9.最小相位系統(tǒng)的定義是（）A.系統(tǒng)函數(shù)的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)B.系統(tǒng)函數(shù)的所有極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，零點(diǎn)可在單位圓外C.系統(tǒng)函數(shù)的所有零點(diǎn)在單位圓內(nèi)，極點(diǎn)可在單位圓外D.系統(tǒng)函數(shù)的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)都在單位圓外10.數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)=(1-0.5z?1)/(1-0.8z?1)，其頻率響應(yīng)H(e^jω)的模值在ω=0處為（）A.0.5B.0.8C.1.0D.1.25二、填空題（每題3分，共15分）1.離散傅里葉變換（DFT）的正變換公式為X[k]=______（n從0到N-1）。2.對最高頻率為f_m的連續(xù)信號進(jìn)行采樣，奈奎斯特采樣頻率f_s=______。3.已知x[n]的自相關(guān)函數(shù)為R_xx[m]，則其功率譜密度P_xx(e^jω)=______（用R_xx[m]表示）。4.最小相位系統(tǒng)與全通系統(tǒng)的關(guān)系是：任意因果穩(wěn)定系統(tǒng)可分解為______系統(tǒng)和______系統(tǒng)的級聯(lián)。5.用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，過渡帶寬度主要由窗函數(shù)的______決定。三、簡答題（每題8分，共40分）1.簡述連續(xù)時(shí)間傅里葉變換（CTFT）與離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）的異同點(diǎn)。2.解釋“加窗”操作對頻譜分析的影響，并說明如何選擇窗函數(shù)以平衡主瓣寬度和旁瓣衰減。3.比較IIR濾波器和FIR濾波器在設(shè)計(jì)方法上的主要差異，并舉例說明各自適用的場景。4.推導(dǎo)離散時(shí)間信號的采樣定理（從連續(xù)信號到離散信號的采樣過程，避免混疊的條件）。5.分析短時(shí)傅里葉變換（STFT）的時(shí)頻分辨率矛盾，并說明如何通過調(diào)整窗函數(shù)長度改善時(shí)頻分析效果。四、計(jì)算題（每題10分，共30分）1.求離散時(shí)間信號x[n]=a^nu[n]（|a|<1）的離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT），并畫出其幅頻特性示意圖（標(biāo)注關(guān)鍵點(diǎn)）。2.設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器，要求通帶截止頻率f_p=1kHz，通帶最大衰減α_p=3dB，阻帶截止頻率f_s=2kHz，阻帶最小衰減α_s=40dB，采樣頻率f_samp=10kHz。計(jì)算所需的濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率Ω_c（用歸一化角頻率表示）。3.用矩形窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)理想低通FIR濾波器，理想頻率響應(yīng)為H_d(e^jω)=1（|ω|≤ω_c），0（|ω|>ω_c），其中ω_c=π/2。求：（1）理想單位脈沖響應(yīng)h_d[n]；（2）實(shí)際設(shè)計(jì)的單位脈沖響應(yīng)h[n]（假設(shè)窗函數(shù)長度N=5，n=0,1,2,3,4）；（3）分析該濾波器的過渡帶寬度（已知矩形窗的主瓣寬度為4π/N）。五、綜合分析題（25分）某心電信號（ECG）中包含工頻干擾（50Hz）和基線漂移（0.5Hz以下的低頻成分），需要設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器對其進(jìn)行處理。要求：（1）說明應(yīng)選擇的濾波器類型（低通、高通、帶通、帶阻）及原因；（2）確定濾波器的關(guān)鍵指標(biāo)（截止頻率、衰減要求等）；（3）選擇合適的設(shè)計(jì)方法（IIR或FIR），并簡述設(shè)計(jì)步驟；（4）分析濾波器設(shè)計(jì)完成后需要驗(yàn)證的性能指標(biāo)。答案及解析一、選擇題1.答案：C解析：離散時(shí)間正弦信號x[n]=sin(ωn)周期的條件是ω/2π為有理數(shù)，否則為非周期信號。例如，ω=1時(shí)，x[n]=sin(n)無周期性。2.答案：A解析：時(shí)移和尺度變換的傅里葉變換性質(zhì)：x(at+b)的傅里葉變換為(1/|a|)X(jω/a)e^(jωb/a)。本題中a=2，b=-4，故為(1/2)X(jω/2)e^(-j2ω)。3.答案：B解析：IIR濾波器可通過模擬濾波器轉(zhuǎn)換（如雙線性變換法），F(xiàn)IR濾波器常用窗函數(shù)法或頻率采樣法；IIR可能不穩(wěn)定（若極點(diǎn)在單位圓外），F(xiàn)IR一定穩(wěn)定（有限長脈沖響應(yīng)）；FIR易實(shí)現(xiàn)線性相位，IIR通常為非線性相位；IIR的脈沖響應(yīng)無限，F(xiàn)IR有限。4.答案：B解析：x(t)的最高頻率為f_max=500π/(2π)=250Hz（注意cos(500πt)的頻率是250Hz），根據(jù)奈奎斯特采樣定理，f_s≥2f_max=500Hz。5.答案：A解析：矩形窗的主瓣寬度最窄（4π/N），漢寧窗為8π/N，海明窗約8π/N，布萊克曼窗約12π/N。主瓣越窄，頻率分辨率越高，但旁瓣衰減越低。6.答案：A解析：系統(tǒng)函數(shù)H(z)=z/(z-0.5)=1/(1-0.5z?1)，其頻率響應(yīng)H(e^jω)=1/(1-0.5e^(-jω))。當(dāng)ω=0時(shí)，|H(e^j0)|=1/(1-0.5)=2；ω=π時(shí)，|H(e^jπ)|=1/(1+0.5)=2/3，故低頻增益高，為低通濾波器。7.答案：A解析：DFT的循環(huán)卷積特性是指當(dāng)兩個(gè)序列長度均為N時(shí)，其循環(huán)卷積的DFT等于DFT的乘積；而線性卷積需通過補(bǔ)零至2N-1點(diǎn)后再做循環(huán)卷積。因此A錯(cuò)誤。8.答案：D解析：自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換是自功率譜密度，互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換是互功率譜密度，故D錯(cuò)誤。9.答案：A解析：最小相位系統(tǒng)要求所有零點(diǎn)和極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)（因果穩(wěn)定系統(tǒng)極點(diǎn)已在單位圓內(nèi)，最小相位額外要求零點(diǎn)也在單位圓內(nèi)）。10.答案：D解析：頻率響應(yīng)H(e^jω)=(1-0.5e^(-jω))/(1-0.8e^(-jω))。當(dāng)ω=0時(shí)，e^(-j0)=1，故H(e^j0)=(1-0.5)/(1-0.8)=0.5/0.2=2.5？此處需重新計(jì)算：原式H(z)=(1-0.5z?1)/(1-0.8z?1)=(z-0.5)/(z-0.8)，當(dāng)z=e^j0=1時(shí)，H(1)=(1-0.5)/(1-0.8)=0.5/0.2=2.5？但原題選項(xiàng)中無2.5，可能題目有誤。若系統(tǒng)函數(shù)為(1-0.5z?1)/(1-0.8z?1)，則ω=0時(shí)模值為|(1-0.5)/(1-0.8)|=0.5/0.2=2.5，可能題目選項(xiàng)錯(cuò)誤，或正確選項(xiàng)應(yīng)為D（可能題目中系統(tǒng)函數(shù)寫錯(cuò)，若為(1-0.8z?1)/(1-0.5z?1)，則模值為0.2/0.5=0.4，仍不符?？赡苷_選項(xiàng)為D，假設(shè)題目無誤）。二、填空題1.Σx[n]e^(-j2πkn/N)（n從0到N-1）2.2f_m3.ΣR_xx[m]e^(-jωm)（m從-∞到+∞）4.最小相位；全通5.主瓣寬度三、簡答題1.異同點(diǎn)：相同點(diǎn)：均用于分析信號的頻率成分，滿足線性、時(shí)移、頻移等基本性質(zhì)。不同點(diǎn)：CTFT針對連續(xù)時(shí)間信號，積分區(qū)間為(-∞,+∞)，頻率ω為連續(xù)變量；DTFT針對離散時(shí)間信號，求和區(qū)間為(-∞,+∞)，頻率ω為連續(xù)變量且具有2π周期性。CTFT的收斂條件是信號絕對可積，DTFT的收斂條件是信號絕對可和。CTFT的頻譜是連續(xù)的，DTFT的頻譜是連續(xù)且周期的（周期2π）。2.加窗影響及窗函數(shù)選擇：加窗通過截?cái)嘈盘枮橛邢揲L，導(dǎo)致頻譜出現(xiàn)“泄漏”（主瓣展寬）和“旁瓣”（能量擴(kuò)散到其他頻率）。主瓣寬度決定頻率分辨率（越窄越好），旁瓣衰減決定對鄰近頻率分量的抑制能力（越高越好）。選擇窗函數(shù)時(shí)需平衡：矩形窗主瓣最窄但旁瓣衰減最低（約-13dB），適合高分辨率場景；漢寧窗主瓣較寬（8π/N）但旁瓣衰減約-32dB，適合抑制旁瓣；布萊克曼窗主瓣最寬但旁瓣衰減達(dá)-58dB，適合強(qiáng)干擾下的弱信號檢測。3.IIR與FIR設(shè)計(jì)方法差異及場景：設(shè)計(jì)方法：IIR利用模擬濾波器原型（如巴特沃斯、切比雪夫）通過雙線性變換或沖激響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，重點(diǎn)優(yōu)化幅頻特性；FIR通過窗函數(shù)法（截?cái)嗬硐腩l率響應(yīng)）或頻率采樣法設(shè)計(jì)，易實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格線性相位。適用場景：IIR適合對相位要求不高但需高效實(shí)現(xiàn)的場景（如語音降噪）；FIR適合對線性相位要求高的場景（如圖像處理、生物醫(yī)學(xué)信號分析）。4.離散時(shí)間信號采樣定理推導(dǎo)：設(shè)連續(xù)信號x(t)的CTFT為X(jΩ)，最高頻率為Ω_m（|Ω|>Ω_m時(shí)X(jΩ)=0）。理想采樣信號x_s(t)=x(t)·δ_T(t)，其中δ_T(t)=Σδ(t-nT)（T為采樣周期）。x_s(t)的CTFT為X_s(jΩ)=(1/T)ΣX(j(Ω-Ω_sn))（Ω_s=2π/T為采樣角頻率）。避免混疊的條件是Ω_s≥2Ω_m（即T≤π/Ω_m），此時(shí)X_s(jΩ)是X(jΩ)的周期延拓且無重疊，可通過理想低通濾波器（截止頻率≥Ω_m且≤Ω_s-Ω_m）恢復(fù)x(t)。5.STFT時(shí)頻分辨率矛盾及改善：STFT通過加窗將信號劃分為短時(shí)片段，計(jì)算每個(gè)片段的傅里葉變換，得到時(shí)頻分布。時(shí)頻分辨率由窗函數(shù)長度決定：短窗時(shí)間分辨率高（定位突變信號），但頻率分辨率低（主瓣寬）；長窗頻率分辨率高（區(qū)分鄰近頻率），但時(shí)間分辨率低（無法準(zhǔn)確定位突變點(diǎn)）。改善方法：采用可變窗長的STFT（如多分辨率分析），或使用時(shí)頻局部化更好的小波變換（通過伸縮和平移調(diào)整窗長）。四、計(jì)算題1.DTFT計(jì)算及幅頻特性：x[n]=a^nu[n]（|a|<1），其DTFT為X(e^jω)=Σa^ne^(-jωn)（n=0到∞）=1/(1-ae^(-jω))（等比級數(shù)求和）。幅頻特性|X(e^jω)|=1/√[(1-acosω)^2+(asinω)^2]=1/√(1-2acosω+a2)。關(guān)鍵點(diǎn)：ω=0時(shí)，|X(e^j0)|=1/(1-a)（最大值）；ω=π時(shí)，|X(e^jπ)|=1/(1+a)（最小值）。幅頻特性為低通型，隨|ω|增大逐漸衰減。2.巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)：步驟1：將數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換為模擬頻率（雙線性變換法）。數(shù)字通帶截止頻率ω_p=2πf_p/f_samp=2π×1000/10000=0.2πrad；數(shù)字阻帶截止頻率ω_s=2π×2000/10000=0.4πrad。預(yù)畸變得到模擬角頻率Ω_p=(2/T)tan(ω_p/2)=2×10000/2×tan(0.1π)=10000×tan(0.1π)≈10000×0.3249=3249rad/s；Ω_s=10000×tan(0.2π)≈10000×0.7265=7265rad/s。步驟2：計(jì)算階數(shù)N。巴特沃斯濾波器的衰減公式為：α_p=10log10[1+(Ω/Ω_c)^(2N)]=3dB→1+(Ω_p/Ω_c)^(2N)=10^(0.3)≈2→(Ω_p/Ω_c)^(2N)=1→Ω_c=Ω_p（因3dB截止頻率對應(yīng)Ω=Ω_c時(shí)衰減3dB）。阻帶衰減α_s=10log10[1+(Ω_s/Ω_c)^(2N)]≥40dB→(Ω_s/Ω_c)^(2N)≥10^4-1≈10^4→N≥log10(10^4)/[2log10(Ω_s/Ω_p)]=4/[2log10(7265/3249)]≈4/[2×0.352]=5.68，取N=6。步驟3：確定3dB截止頻率Ω_c。由α_p=3dB，Ω_c=Ω_p=3249rad/s（歸一化后為Ω_c/Ω_samp=3249/(2π×10000)≈0.0517（但通常用數(shù)字角頻率表示為ω_c=2arctan(Ω_cT/2)=2arctan(3249×0.0001/2)=2arctan(0.16245)≈0.321rad（約0.102π），或直接保留模擬值）。3.窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器：（1）理想低通的單位脈沖響應(yīng)h_d[n]=(1/2π)∫_{-ω_c}^{ω_c}e^(jωn)dω=sin(ω_cn)/(πn)（n≠0），h_d[0]=ω_c/π=1/2（因ω_c=π/2）。（2）窗函數(shù)長度N=5，n=0,1,2,3,4，中心位置為n=2（對稱點(diǎn)）。h_d[n]需以n=2為中心對稱，即h_d[n]=sin(π/2(n-2))/[π(n-2)]（n≠2），h_d[2]=1/2。計(jì)算各點(diǎn)值：n=0:sin(π/2×(-2))/[π×(-2)]=sin(-π)/(-2π)=0/(-2π)=0n=1:sin(π/2×(-1))/[π×(-1)]=sin(-π/2)/(-π)=(-1)/(-π)=1/π≈0.318n=2:1/2=0.5n=3:同n=1（對稱性），0.318n=4:同n=0，0矩形窗w[n]=1（n=0到4），故h[n]=h_d[n]·w[n]=[0,0.318,0.5,0.318,0]。（3）矩形窗的主瓣寬度為4π/N=4π/5=0.8πrad，因此過渡帶寬度約等于主瓣寬度的一半，即0.4πrad（實(shí)際過渡帶寬度約為4π/N，具體與窗函數(shù)類型有關(guān)，矩形窗的過渡帶寬度≈4π/N）。五、綜合分析題（1）濾波器類型選擇：需抑制50Hz工頻干擾（帶阻）和0.5Hz以下基線漂移（高通），因此應(yīng)設(shè)計(jì)帶通濾波器（通帶0.5Hz~50Hz）或級聯(lián)高通（截止0.5Hz）和帶阻（中心50Hz）濾波器。更合理的是級聯(lián)：高通濾波器（截止0.5Hz，抑制低頻漂移）+帶阻濾波器（中心50Hz，帶寬如45~55Hz，抑制工頻干擾）。（2）關(guān)鍵指標(biāo)：高通濾波器：通帶截止頻率f_p1=0.5Hz，通帶最大衰減α_p1=3dB；阻帶截止頻率f_s1=0.2Hz，阻帶最小衰減α_s1=40dB（抑制基線漂移）。帶阻濾波器：阻帶中心頻率f_0=50Hz，阻帶寬度B=10Hz（45~55Hz），阻帶最小衰減α_s2=40dB；通帶截止頻率f_p2=40Hz和6