期末復(fù)習(xí)課拓展提優(yōu)專練人教版（2024）數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)1.的士司機(jī)李師傅從上午9:00～10:15在東西方向的某條大道上營(yíng)運(yùn)，共連續(xù)運(yùn)載八批乘客．若規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，李師傅營(yíng)運(yùn)八批乘客里程(單位：千米)如下：＋2，－3，＋3，－4，＋5，＋4，－7，－2.(1)將最后一批乘客送到目的地時(shí)，李師傅位于第一批乘客出發(fā)地的東面還是西面？距離該出發(fā)地多少千米？解:(1)(＋2)＋(－3)＋(＋3)＋(－4)＋(＋5)＋(＋4)＋(－7)＋(－2)＝－2(千米).答:李師傅位于第一批乘客出發(fā)地的西面，距離出發(fā)地2千米．(2)若的士的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：起步價(jià)10元(不超過2.5千米)，超過2.5千米，超過部分每千米2.6元，則李師傅在上午9:00～10:15一共收入多少元？(精確到1元)解:(2)(3－2.5)＋(3－2.5)＋(4－2.5)＋(5－2.5)＋(4－2.5)＋(7－2.5)＝11(千米)，10＋10＋(10×6＋11×2.6)＝108.6≈109(元).答:李師傅在上午9:00～10:15一共收入約109元．2.根據(jù)電力部門統(tǒng)計(jì),每天8:00至21:00是用電的高峰期，簡(jiǎn)稱“峰時(shí)”;21:00至次日8:00是用電的低谷時(shí)期，簡(jiǎn)稱“谷時(shí)”。為了緩解供電需求緊張的矛盾,某市電力部門于2022年10月統(tǒng)一換裝“峰谷分時(shí)”電表,對(duì)用電實(shí)行“峰谷分時(shí)電價(jià)”新政策,具體見表：時(shí)間換表前換表后電價(jià)每度0.52元峰時(shí)(8:00～21:00)

谷時(shí)(21:00～次日8:00)

每度0.55元每度0.30元

(1)若小王家9月份(換表前)的用電量為80度，則該月電費(fèi)為_____元．解:(1)小王家9月份(換表前)的用電量為80度，則該月電費(fèi)為80×0.52＝41.6(元).故答案為41.6.(2)小張家11月份“峰時(shí)”用電50度，“谷時(shí)”用電30度，問小張家11月份的電費(fèi)是多少元？解:(2)小張家11月份的電費(fèi)是50×0.55＋30×0.30＝36.5(元).(3)小李家12月份用電95度，經(jīng)計(jì)算比換表前使用95度電節(jié)省了5.9元，問小李家12月份使用“峰時(shí)電”和“谷時(shí)電”分別是多少度？解:(3)設(shè)小李家12月份使用“峰時(shí)電”x度，則使用“谷時(shí)電”(95－x)度，依題意，得0.55x＋0.30(95－x)＝0.52×95－5.9，解得x＝60.95－x＝95－60＝35(度).答:小李家12月使用“峰時(shí)電”60度,使用“谷時(shí)電”35度.3.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，C對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為－4和4，線段AC＝8cm，AB＝2cm，CD＝4cm，若線段AB以3cm/s的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段CD以1cm/s的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．

(1)問運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，BC＝2cm?解:(1)設(shè)運(yùn)動(dòng)ts時(shí)，BC＝2cm.因?yàn)锳C＝8cm，AB＝2cm，所以BC＝6cm.①點(diǎn)B在點(diǎn)C左邊，6－3t－t＝2，解得t＝1；②點(diǎn)B在點(diǎn)C右邊，(3t－6)＋t＝2，解得t＝2.答:運(yùn)動(dòng)1s或2s時(shí)BC＝2cm；(2)線段AB與線段CD從開始相遇到完全離開共經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間？解:(2)設(shè)從開始到相遇離開經(jīng)過ts，依題意，得3t＋t＝4＋2，解得t＝1.5.答:共經(jīng)過1.5秒．(3)P是線段AB上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到線段CD上時(shí)，是否存在關(guān)系式BD－AP＝3PC？若存在，求線段PD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解:(3)假設(shè)存在，設(shè)時(shí)間為ts.①當(dāng)t＝1.5時(shí)，因?yàn)?<PC≤2，BD＝CD＝4，所以PA＋3PC＝AB＋2PC＝2＋2PC＝4.所以PC＝1，PD＝PC＋CD＝5.所以PD＝5時(shí)，BD＝AP＋3PC，即BD－AP＝3PC.②當(dāng)1.5<t<2.5時(shí)，0<PC<2，BD＝CD－BC＝4－BC，AP＋3PC＝2－BC＋4PC.令A(yù)P＋3PC＝BD，解得PC＝.點(diǎn)P在點(diǎn)C左邊，PD＝4.5；點(diǎn)P在點(diǎn)C右邊，PD＝3.5.故當(dāng)PC＝，PD＝4.5或3.5時(shí)，BD－AP＝3PC.③當(dāng)t＝2.5時(shí)，此時(shí)0<PC≤2，BD＝0，AP＋3PC＞0，所以不可能存在BD＝3PC＋AP，即不可能存在BD－AP＝3PC.綜上所述，存在PD為5cm或4.5cm或3.5cm時(shí)，BD－AP＝3PC.4.如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)－3，點(diǎn)B表示數(shù)1，點(diǎn)C表示數(shù)9.點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度、1個(gè)單位長(zhǎng)度和4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).請(qǐng)利用上述信息，結(jié)合數(shù)軸，解答下列問題：(1)AB表示點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離，運(yùn)動(dòng)之前，AB的距離為__.若點(diǎn)A與點(diǎn)C的中點(diǎn)為D，則點(diǎn)D表示的數(shù)為__；運(yùn)動(dòng)t秒后，點(diǎn)A表示的數(shù)為_______(用含t的式子表示).43－3－2t(2)若t秒鐘過后，A，B，C三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)為另外兩點(diǎn)的中點(diǎn)，求t的值.解：(2)依題意，可得t秒時(shí)，點(diǎn)A表示的數(shù)為－3－2t，點(diǎn)B表示的數(shù)為1－t，點(diǎn)C表示的數(shù)為9－4t.分三種情況：①若B為AC的中點(diǎn)，則1－t＝

，解得t＝1；②若C為AB的中點(diǎn)，③若A為BC的中點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)t的值為1或4或16時(shí)，A，B，C三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)為另外兩點(diǎn)的中點(diǎn).則9－4t＝

，解得t＝4；則－3－2t＝

，解得t＝16.(3)當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，是否存在常數(shù)m，使mBC－2AB的值為定值？若存在，請(qǐng)直接寫出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：(3)存在.理由如下：因?yàn)辄c(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)，所以BC＝(9－4t)－(1－t)＝8－3t，AB＝(1－t)－(－3－2t)＝t＋4.所以mBC－2AB＝m(8－3t)－2(t＋4)＝8m－3mt－2t－8＝(－3m－2)t＋8m－8.當(dāng)－3m－2＝0，即m＝－

時(shí)，mBC－2AB的值為定值，定值為8×

－8＝－

.所以m的值為－

.5.如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為8，B是數(shù)軸上位于點(diǎn)A左側(cè)的一點(diǎn)，且AB＝22，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒．(1)數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)為____;點(diǎn)P表示的數(shù)為_______.

(用含t的代數(shù)式表示)－148－5t(2)若M為AP的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，線段MN的長(zhǎng)度是____．解:(2)①當(dāng)點(diǎn)P在A,B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖1：MN＝MP＋NP＝AP＋BP＝(AP＋BP)＝AB＝×22＝11；②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖2：MN＝MP－NP＝AP－BP＝(AP－BP)＝AB＝11.綜上所述，線段MN的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，其值為11.故答案為11.(3)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，問多少秒時(shí)，點(diǎn)P，Q之間的距離恰好等于2?解:(3)若點(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā),則t秒后,點(diǎn)P表示的數(shù)為8－5t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為－14＋3t，依題意，得，即(8－5t)－(－14＋3t)＝±2，解得t＝2.5或t＝3.答:若點(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā),2.5或3秒時(shí)點(diǎn)P,Q之間的距離恰好等于2；(4)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),若點(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā),問點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒追上點(diǎn)Q?解:(4)設(shè)點(diǎn)P在點(diǎn)C處追上點(diǎn)Q，如圖3，則AC＝5t，BC＝3t，因?yàn)锳C－BC＝AB，所以5t－3t＝22.解得x＝11，所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)11秒追上點(diǎn)Q.6.如圖1,射線OC在∠AOB的內(nèi)部,圖中共有3個(gè)角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的度數(shù)的兩倍,則稱射線OC是∠AOB的奇妙線．(1)一個(gè)角的角平分線___這個(gè)角的奇妙線．(填“是”或“不是”)解:(1)因?yàn)榻瞧椒志€把一個(gè)角分成大小相等的兩個(gè)角，這個(gè)角本身的度數(shù)是它被分成的兩個(gè)小角的其中任意一個(gè)角的度數(shù)的兩倍．故一個(gè)角的平分線是這個(gè)角的奇妙線．故答案為是；是(2)如圖2，若∠MPN＝60°，射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒10°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠QPN首次等于180°時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為ts.①當(dāng)t為何值時(shí)，射線PM是∠QPN的奇妙線？②若射線PM同時(shí)繞點(diǎn)P以每秒6°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)求出當(dāng)射線PQ是∠MPN的奇妙線時(shí)t的值．解:(2)①分三種情況：ⅰ當(dāng)∠MPN＝2∠MPQ時(shí)，如圖3所示，依題意，得60＝2(10t－60)，解得t＝9；ⅱ當(dāng)∠QPN＝2∠MPN時(shí)，如圖4所示，依題意，得10t＝2×60，解得t＝12；ⅲ當(dāng)∠QPM＝2∠MPN時(shí)，如圖5所示，依題意，得10t－60＝2×60，解得t＝18.綜上所述，當(dāng)t的值為9或12或18時(shí)，射線PM是∠QPN的奇妙線；圖3圖4圖5②分三種情況：ⅰ當(dāng)∠QPM＝2∠QPN時(shí),如圖6所示,依題意,得60－10t＋6t＝2×10t,解得t＝2.5；ⅱ當(dāng)∠QPN＝2∠MPQ時(shí),如圖7所示,依題意,得10t＝2(60－10t＋6t),解得t＝；ⅲ當(dāng)∠MPN＝2∠QPM時(shí),如圖8所示，依題意,得60＋6t＝2(60－10t＋6t),解得t＝；綜上所述，當(dāng)t的值為2.5或或時(shí)，射線PQ是∠MPN的奇妙線．圖6圖7圖87.【綜合與實(shí)踐】小明用一根質(zhì)地均勻、長(zhǎng)60cm的木桿和一些等重的小物體，做如圖1的試驗(yàn)：圖1圖2步驟1:在木桿中間(30cm處)拴繩，將木桿吊起來并使左右平衡，吊繩處為木桿的中點(diǎn)；步驟2:在木桿兩端各懸掛一重物，看左右是否保持平衡；步驟3:小明在木桿左端小物體下加掛一重物，然后把這兩個(gè)重物一起向右移動(dòng)，直至左右平衡，記錄此時(shí)支點(diǎn)到木桿左右兩邊掛重物處的距離．在木桿左邊繼續(xù)加掛重物，并重復(fù)以上操作和記錄如下表：木桿左邊掛重物個(gè)數(shù)支點(diǎn)到木桿左邊掛重物處的距離木桿右邊掛重物個(gè)數(shù)支點(diǎn)到木桿右邊掛重物處的距離215cm130cm310cm130cm47.5cm130cm……130cmn

130cm(1)根據(jù)以上小明的記錄你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請(qǐng)用語言進(jìn)行表述．(2)如圖2，在木桿右端掛一重物，支點(diǎn)左邊掛n個(gè)重物，并使左右平衡，設(shè)木桿長(zhǎng)為lcm，支點(diǎn)到木桿左邊掛重物處的距離為xcm，把n，l作為已知數(shù)，列出關(guān)于x的一元一次方程．解:(1)根據(jù)以上小明的記錄能發(fā)現(xiàn)：左邊掛重物的數(shù)量與掛重物處到支點(diǎn)的距離的乘積不變，均為30；而木桿的總長(zhǎng)為60cm，則左邊掛重物的數(shù)量與掛重物處到支點(diǎn)的距離的乘積不變，均等于木桿長(zhǎng)度的一半．(答案不唯一)(2)根據(jù)(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，可得nx＝×1，即nx＝.8.【問題提出】如何對(duì)物體的長(zhǎng)度進(jìn)行更精確的測(cè)量？某數(shù)學(xué)小組為同學(xué)們提供了一種思路：使用專業(yè)工具“游標(biāo)卡尺”對(duì)物體進(jìn)行更精確的測(cè)量.【工具介紹】如圖甲，①是主尺(最小刻度是毫米)；②是游標(biāo)尺(10個(gè)等分刻度)，它是套在主尺上可移動(dòng)的部件；③是測(cè)量爪，移動(dòng)游標(biāo)尺，把被測(cè)物體夾在兩測(cè)量爪之間，兩爪之間的距離等于被測(cè)物體的長(zhǎng)度.【問題解決】(1)在圖甲中，當(dāng)測(cè)量爪對(duì)齊時(shí)，游標(biāo)尺上的0刻線與主尺上的0刻線對(duì)齊，游標(biāo)尺的第10刻線與主尺上9mm刻線對(duì)齊，其他刻線都與主尺上的刻線不對(duì)齊，則游標(biāo)尺上每小格比主尺上每小格的長(zhǎng)度少____mm；0.1(2)如果將1張厚度為0.1mm的A4紙夾在測(cè)量爪之間，游標(biāo)尺的第1刻線與主尺刻線對(duì)齊，讀數(shù)為0.1mm；如果將2張這樣的A4紙夾在測(cè)量爪之間，游標(biāo)尺的第2刻線與主尺刻線對(duì)齊，讀數(shù)為0.2mm；……依此類推，如果將10張這樣的A4紙夾在測(cè)量爪之間，游標(biāo)尺與主尺刻線對(duì)齊的情況如圖乙所示，讀數(shù)為1.0mm.如圖丙，如果將一個(gè)小鋼珠夾在測(cè)量爪之間，那么這個(gè)小鋼珠的直徑為____mm.3.5【結(jié)論歸納】(3)用毫米刻度尺測(cè)量長(zhǎng)度時(shí)，只能準(zhǔn)確地讀到毫米，而用本題中的游標(biāo)卡尺測(cè)量時(shí)，就能準(zhǔn)確地讀到0.1mm，這個(gè)數(shù)值叫作游標(biāo)卡尺的精確度.如果用L表示待測(cè)物體的長(zhǎng)度，用L0表示主尺的整毫米數(shù)，k表示與主尺刻線對(duì)齊的游標(biāo)尺上的刻線序數(shù)，a表示游標(biāo)卡尺的精確度，那么待測(cè)物體的長(zhǎng)度可歸納為L(zhǎng)＝_______.L0＋ak9.如圖,長(zhǎng)為ycm,寬為xcm的大長(zhǎng)方形被分成7塊,除陰影部分的A和B外,其他5塊空白部分是形狀,大小完全相同的小長(zhǎng)方形,且小長(zhǎng)方形的寬為5cm.(1)由圖可知：每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為_______cm；(用含

x或y的代數(shù)式表示)

(y－15)

(2)用含x或y的代數(shù)式表示陰影部分A和B的周長(zhǎng)之和；(結(jié)果化為最簡(jiǎn)形式)解:(2)設(shè)陰影A的長(zhǎng)為m,寬為n,陰影B的長(zhǎng)為p,寬為q.由圖可知m＝(y－15)cm,n＝(x－10)cm,p＝15cm,q＝x－(y－15)＝(x－y＋15)(cm)，所以陰影部分A的周長(zhǎng)為2(m＋n)＝2(y－15＋x－10)＝(2x＋2y－50)(cm)，陰影部分B的周長(zhǎng)為2(p＋q)＝2(x－y＋15＋15)＝(2x－2y＋60)(cm).所以陰影部分A和B的周長(zhǎng)之和為2x＋2y－50＋2x－2y＋60＝(4x＋10)(cm).(3)由(2)，得陰影部分A的面積為

mn＝(y－15)(x－10)(cm2)，陰影部分B的面積為

pq＝15(x－y＋15)＝(15x－15y＋225)(cm2).所以陰影部分A和B的面積之和為[(y－15)(x－10)＋15x－15y＋225](cm2).當(dāng)y＝30時(shí)，原式＝(30x－375)(cm2).(3)當(dāng)y＝30時(shí)，用含x的代數(shù)式表示陰影部分A與B的面積之和．10.如圖,OM是∠AO