復(fù)變函數(shù)連續(xù)性證明題試題考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分試卷名稱：復(fù)變函數(shù)連續(xù)性證明題考核試卷考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科三年級(jí)學(xué)生、復(fù)變函數(shù)與積分變換課程期中考核題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）請(qǐng)判斷下列命題的正誤，正確的劃“√”，錯(cuò)誤的劃“×”。1.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)處處連續(xù)。2.若函數(shù)f(z)在點(diǎn)z?處連續(xù)，則f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)必解析。3.所有解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都滿足Cauchy-Riemann方程。4.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)且滿足Liouville定理?xiàng)l件，則f(z)為常數(shù)。5.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)。6.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不為常數(shù)，則f(z)的模|f(z)|在D內(nèi)不可取最大值。7.Cauchy積分定理要求積分路徑不經(jīng)過(guò)被積函數(shù)的奇點(diǎn)。8.若函數(shù)f(z)在閉區(qū)域Ω上連續(xù)，則它在Ω內(nèi)必存在最大值和最小值。9.解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)收斂于解析函數(shù)本身。10.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且f(z)≡0，則f(z)的實(shí)部和虛部均為常數(shù)。二、單選題（每題2分，共20分）每題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填入括號(hào)內(nèi)。1.函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn)z?處解析的必要條件是（）。A.u(x,y)和v(x,y)在z?處連續(xù)B.u(x,y)和v(x,y)在z?處可微C.Cauchy-Riemann方程在z?處成立D.u(x,y)和v(x,y)在z?的去心鄰域內(nèi)可微2.函數(shù)f(z)=|z|2在z=0處（）。A.解析B.連續(xù)但不可導(dǎo)C.可導(dǎo)但非解析D.不連續(xù)3.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且f(z)≡0，則f(z)的導(dǎo)數(shù)f'(z)在D內(nèi)（）。A.不一定為0B.必為0C.可能為0也可能不為0D.必不為04.Cauchy積分定理適用于（）。A.任何閉合曲線B.包含奇點(diǎn)的閉合曲線C.不包含奇點(diǎn)的閉合曲線D.僅當(dāng)被積函數(shù)為常數(shù)時(shí)5.函數(shù)f(z)=z2在z=1處的導(dǎo)數(shù)f'(1)等于（）。A.1B.2C.4D.86.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)的實(shí)部u(x,y)在D內(nèi)（）。A.必滿足Cauchy-Riemann方程B.必不滿足Cauchy-Riemann方程C.可能滿足也可能不滿足D.必滿足但未必連續(xù)7.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=π處的值等于（）。A.0B.1C.-1D.i8.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且f(z)≡0，則f(z)的泰勒級(jí)數(shù)在D內(nèi)（）。A.收斂于f(z)B.發(fā)散C.收斂于非零函數(shù)D.收斂于某個(gè)非零常數(shù)9.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式為（）。A.∑(n=0to∞)z^n/n!B.∑(n=0to∞)(-1)^nz^n/n!C.∑(n=0to∞)z^(2n)/n!D.∑(n=0to∞)(-1)^nz^(2n)/n!10.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且f(z)≡0，則f(z)的虛部v(x,y)在D內(nèi)（）。A.必為0B.可能為0也可能不為0C.必不為0D.必滿足Cauchy-Riemann方程三、多選題（每題2分，共20分）每題有多個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)將所有正確選項(xiàng)的字母填入括號(hào)內(nèi)。1.函數(shù)f(z)在點(diǎn)z?處解析的充分必要條件包括（）。A.f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)解析B.f(z)在z?處連續(xù)且滿足Cauchy-Riemann方程C.f(z)的實(shí)部和虛部在z?處可微D.f(z)的泰勒級(jí)數(shù)在z?的某個(gè)鄰域內(nèi)收斂2.下列函數(shù)中在z=0處解析的有（）。A.f(z)=z2B.f(z)=sin(z)/zC.f(z)=|z|2D.f(z)=e^z3.Cauchy積分定理的適用條件包括（）。A.被積函數(shù)在閉合曲線及其內(nèi)部解析B.積分路徑為簡(jiǎn)單閉曲線C.被積函數(shù)在閉合曲線上連續(xù)D.積分路徑不經(jīng)過(guò)奇點(diǎn)4.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足的性質(zhì)包括（）。A.均為調(diào)和函數(shù)B.滿足Cauchy-Riemann方程C.均為連續(xù)函數(shù)D.均為可微函數(shù)5.下列關(guān)于解析函數(shù)的命題正確的有（）。A.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)B.解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)收斂于函數(shù)本身C.解析函數(shù)的模在區(qū)域內(nèi)部不可取最大值D.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部均為常數(shù)6.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=0處的值等于（）。A.0B.1C.-1D.i/27.下列函數(shù)中在z=1處解析的有（）。A.f(z)=z3B.f(z)=1/(z-1)C.f(z)=e^zD.f(z)=sin(z)8.解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開式具有的性質(zhì)包括（）。A.收斂半徑由函數(shù)的奇點(diǎn)決定B.展開式唯一C.展開式在收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂D.展開式在收斂圓上可能發(fā)散9.Cauchy積分公式適用于（）。A.在簡(jiǎn)單閉曲線Γ內(nèi)解析的函數(shù)f(z)B.在Γ上連續(xù)的函數(shù)f(z)C.積分路徑為簡(jiǎn)單閉曲線D.f(z)在Γ內(nèi)解析且在Γ上連續(xù)10.下列關(guān)于解析函數(shù)的命題正確的有（）。A.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部均為調(diào)和函數(shù)B.解析函數(shù)的模在區(qū)域內(nèi)部不可取最大值C.解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)收斂于函數(shù)本身D.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)四、案例分析（每題6分，共18分）請(qǐng)根據(jù)題目要求完成下列證明或計(jì)算。1.證明函數(shù)f(z)=x2-y2-2ixy在z平面內(nèi)處處解析，并求其導(dǎo)數(shù)f'(z)。2.計(jì)算積分∮_Γ(z2+2z+1)/(z-1)dz，其中Γ為圓周|z|=2，方向?yàn)槟鏁r(shí)針。3.設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且滿足f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)=x2-y2。（1）求f(z)的表達(dá)式；（2）證明f(z)在D內(nèi)解析。五、論述題（每題11分，共22分）請(qǐng)根據(jù)題目要求完成下列論述。1.論述Cauchy積分定理的條件和意義，并舉例說(shuō)明其應(yīng)用。2.論述解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足的性質(zhì)，并解釋其與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.×3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√解析：1.解析函數(shù)必連續(xù)，連續(xù)是解析的必要條件。2.連續(xù)不保證解析，如f(z)=|z|在z=0處連續(xù)但不可導(dǎo)。3.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部必滿足Cauchy-Riemann方程。4.Liouville定理要求函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)解析且為有界函數(shù)。5.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，這是解析函數(shù)的基本性質(zhì)。6.非常數(shù)解析函數(shù)的模在邊界上取最大值。7.Cauchy積分定理要求被積函數(shù)在閉合曲線及其內(nèi)部解析。8.根據(jù)極值定理，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)域上必取最值。9.泰勒級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)收斂于解析函數(shù)本身。10.若f(z)≡0，則其實(shí)部和虛部均為常數(shù)0。二、單選題1.C2.B3.B4.C5.C6.A7.C8.A9.A10.A解析：1.解析的必要條件是Cauchy-Riemann方程成立。2.f(z)=|z|2在z=0處連續(xù)但不可導(dǎo)。3.若f(z)≡0，則其導(dǎo)數(shù)必為0。4.Cauchy積分定理要求被積函數(shù)在閉合曲線及其內(nèi)部解析。5.f'(z)=2z，f'(1)=2。6.解析函數(shù)的實(shí)部必滿足Cauchy-Riemann方程。7.sin(π)=-1。8.若f(z)≡0，其泰勒級(jí)數(shù)必收斂于0。9.e^z的泰勒級(jí)數(shù)為∑(n=0to∞)z^n/n!。10.若f(z)≡0，其虛部必為0。三、多選題1.AB2.AD3.ABCD4.ABCD5.ABC6.AC7.ACD8.ABCD9.ABCD10.ABCD解析：1.解析的充分必要條件是滿足Cauchy-Riemann方程且在去心鄰域內(nèi)解析。2.f(z)=z2和f(z)=e^z在z=0處解析。3.Cauchy積分定理要求被積函數(shù)在閉合曲線及其內(nèi)部解析，積分路徑為簡(jiǎn)單閉曲線。4.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部均為調(diào)和函數(shù)，且滿足Cauchy-Riemann方程。5.解析函數(shù)的模在內(nèi)部不可取最大值，但實(shí)部和虛部未必為常數(shù)。6.f(z)=z/(z2+1)在z=0處的值為0。7.f(z)=z3、f(z)=e^z和f(z)=sin(z)在z=1處解析。8.泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑由函數(shù)的奇點(diǎn)決定，展開式唯一且在收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂。9.Cauchy積分公式要求被積函數(shù)在閉合曲線及其內(nèi)部解析，積分路徑為簡(jiǎn)單閉曲線。10.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部均為調(diào)和函數(shù)，模在內(nèi)部不可取最大值，泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)本身，導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)。四、案例分析1.證明f(z)=x2-y2-2ixy在z平面內(nèi)處處解析，并求其導(dǎo)數(shù)f'(z)。解：設(shè)z=x+iy，則f(z)=x2-y2-2ixy=(x-iy)2=(z-z?)2。計(jì)算導(dǎo)數(shù)：f'(z)=2(z-z?)=2z。由于f(z)為z的整函數(shù)，故處處解析。2.計(jì)算積分∮_Γ(z2+2z+1)/(z-1)dz，其中Γ為圓周|z|=2，方向?yàn)槟鏁r(shí)針。解：被積函數(shù)在z=1處有奇點(diǎn)，且Γ包含奇點(diǎn)?！觃Γf(z)dz=2πiRes(f,1)=2πilim_(z→1)(z2+2z+1)/(z-1)=2πi(1+2+1)=6πi。3.設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且滿足f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)=x2-y2。（1）求f(z)的表達(dá)式；解：設(shè)v(x,y)為f(z)的虛部，則Cauchy-Riemann方程為：u_x=v_y=2x，u_y=-v_x=-2y。積分v_y=2x得v(x,y)=2xy+h(x)。由u_y=-v_x=-2y-h'(x)得h'(x)=0，故h(x)為常數(shù)。取h(x)=0，則v(x,y)=2xy。f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(x2-y2)+i2xy=z2。五、論述題1.論述Cauchy積分定理的條件和意義，并舉例說(shuō)明其應(yīng)用。答：Cauchy積分定理的條件是：被積函數(shù)在閉合曲線及其內(nèi)部解析，積分路徑為簡(jiǎn)單閉曲線。意義：該定理揭示了解析函數(shù)的積分與奇點(diǎn)的關(guān)系，是復(fù)變函數(shù)論的核心定理之一。應(yīng)用：例如，計(jì)算積分∮_Γ1/zdz=2πi（Γ為