【排列組合十一種?？碱}型】題型題型分類知識(shí)講解與?？碱}型【題型一：相鄰問題捆綁法】知識(shí)講解知識(shí)講解1.明確問題：首先確定題目中要求哪些元素必須相鄰。2.捆綁元素：將相鄰的元素看作一個(gè)整體，即把這些相鄰元素“捆綁”在一起，這樣就將原來的多個(gè)元素組合成了一個(gè)新的“大元素”。3.內(nèi)部排序：對(duì)捆綁在一起的元素進(jìn)行內(nèi)部排列，計(jì)算出它們之間的排列方式。4.整體排列：將捆綁后的“大元素”與其他剩余元素一起進(jìn)行全排列，計(jì)算出所有元素的排列方式。5.計(jì)算結(jié)果：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，將捆綁元素的內(nèi)部排列數(shù)與整體排列數(shù)相乘，得到最終的排列組合數(shù)，即滿足相鄰條件的所有排列方式。例題精選例題精選1．（24-25高二上·吉林長春·期末）兩男兩女站成一排照相，女生相鄰的所有排列種數(shù)為（

）A．3 B．6 C．12 D．242．（24-25高二上·江西南昌·期末）現(xiàn)有6位同學(xué)站成一排照相，其中甲、乙兩位同學(xué)相鄰的排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·廣西梧州·期末）北京時(shí)間2024年6月2日，嫦娥六號(hào)成功著陸月球背面，開啟人類探測(cè)器首次在月球背面實(shí)施的樣品采集任務(wù).某天文興趣小組在此基礎(chǔ)上開展了月球知識(shí)宣傳活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后該天文興趣小組的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，則4名女生相鄰的站法種數(shù)為（

）A．2880 B．1440 C．720 D．5761．）兩男兩女站成一排照相，女生相鄰的所有排列種數(shù)為（

）A．3 B．6 C．12 D．242．（24-25高二上·江西南昌·期末）現(xiàn)有6位同學(xué)站成一排照相，其中甲、乙兩位同學(xué)相鄰的排法種數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·廣西梧州·期末）北京時(shí)間2024年6月2日，嫦娥六號(hào)成功著陸月球背面，開啟人類探測(cè)器首次在月球背面實(shí)施的樣品采集任務(wù).某天文興趣小組在此基礎(chǔ)上開展了月球知識(shí)宣傳活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后該天文興趣小組的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，則4名女生相鄰的站法種數(shù)為（

）A．2880 B．1440 C．720 D．576【題型二：不相鄰問題插空法】知識(shí)講解知識(shí)講解1.先排其他元素：先將沒有不相鄰限制的元素進(jìn)行排列，確定這些元素的排列順序和位置，形成若干個(gè)空位。2.計(jì)算空位數(shù)量：觀察排好的元素之間以及兩端形成的空位數(shù)量。3.插入不相鄰元素：將要求不相鄰的元素插入到這些空位中。計(jì)算插入的方法數(shù)，即從這些空位中選擇相應(yīng)數(shù)量的空位來安排不相鄰元素的排列方式。4.計(jì)算結(jié)果：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，將第一步中其他元素的排列數(shù)與第二步中插入不相鄰元素的方法數(shù)相乘，得到滿足不相鄰條件的所有排列方式。例題精選例題精選1．（24-25高二·全國·課堂例題）某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”“雨水”“驚蟄”“春分”“清明”“谷雨”六張知識(shí)展板放置在六個(gè)并列的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”和“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式種數(shù)為（

）A．24 B．48 C．144 D．2402．（24-25高二上·江西南昌·期末）小花準(zhǔn)備將一顆黃色圣女果、一顆紅色圣女果、一顆山楂、一顆草莓、一顆葡萄串起來制作一串冰糖葫蘆，若要求兩顆圣女果不相鄰，則不同的串法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種二、填空題3．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為，2位老師相鄰的排法種數(shù)為．4．（24-25高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）我校田徑隊(duì)有十名隊(duì)員，分別記為，為完成某訓(xùn)練任務(wù)，現(xiàn)將十名隊(duì)員分成甲、乙兩隊(duì).其中將五人排成一行形成甲隊(duì)，要求與相鄰，在的左邊，剩下的五位同學(xué)排成一行形成乙隊(duì)，要求與不相鄰，則不同的排列方法種數(shù)為.5．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)藝術(shù)節(jié)第二章節(jié)目中有個(gè)節(jié)目已排，現(xiàn)在要緊急插入個(gè)節(jié)目，并要求這個(gè)節(jié)目不相鄰，并且原來的個(gè)節(jié)目順序不變，則排列的種數(shù)為6．（24-25高三下·河北·開學(xué)考試）把除顏色外完全相同的5個(gè)紅球和4個(gè)白球排成一行，則恰有3個(gè)紅球相鄰在一起的不同排法種數(shù)為用數(shù)字作答【題型三：特殊元素或特殊位置】知識(shí)講解知識(shí)講解1.確定特殊元素或特殊位置：仔細(xì)分析題目條件，找出具有特殊限制或要求的元素或位置。例如，某些元素必須排在特定位置，或者某些位置只能由特定元素占據(jù)等。2.優(yōu)先處理特殊元素或特殊位置： 對(duì)于特殊元素，先將其安排到滿足條件的位置上。如果有多個(gè)特殊元素，按照其特殊要求依次進(jìn)行排列。 對(duì)于特殊位置，先從符合要求的元素中選取合適的元素填充該位置。3.處理剩余元素和位置：在安排好特殊元素或特殊位置后，再對(duì)剩余的普通元素和位置進(jìn)行常規(guī)的排列組合計(jì)算。此時(shí)可根據(jù)具體情況，使用排列數(shù)公式或組合數(shù)公式來計(jì)算排列或組合方式的數(shù)量。4.計(jì)算結(jié)果：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，將特殊元素或特殊位置的排列組合方式與剩余元素和位置的排列組合方式相乘，得到最終的結(jié)果。1．某多功能體育場(chǎng)館決定承包舉辦馬術(shù)，擊劍，游泳，跑步四項(xiàng)比賽.應(yīng)主辦方要求，馬術(shù)比賽和跑步比賽不相鄰，游泳比賽不在第一場(chǎng)也不在最后一場(chǎng)，則不同的比賽方式共有（

）A．16種 B．12種 C．8種 D．6種2．（24-25高二上·福建龍巖·期末）要排出某班一天中語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、體育和藝術(shù)6門課各一節(jié)的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在前3節(jié)，英語課不排在第6節(jié)，則不同的排法共有（

）A．75種 B．144種 C．288種 D．360種3．（24-25高二上·重慶北碚·期末）某班準(zhǔn)備從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中挑選3人，分別擔(dān)任2025年元旦晚會(huì)的主持人、記分員和秩序員，每個(gè)職務(wù)最多一人擔(dān)任且每個(gè)職務(wù)必須有一人擔(dān)任，已知甲同學(xué)不能擔(dān)任主持人，則不同的安排方法有（

）種.A．18 B．24 C．27 D．644．（24-25高二上·遼寧葫蘆島·期末）現(xiàn)將包含球的5個(gè)不同的小球放入包含甲盒的四個(gè)不同的盒子里，每盒至少一球.其中小球不放入甲盒中，則不同安排方案的種數(shù)是（

）A．180 B．168 C．120 D．905．（24-25高二上·江西吉安·期末）春節(jié)檔將有多部影片上映，小明一行五個(gè)人準(zhǔn)備在大年初一各自從四部影片中選一部去觀看．已知每部影片都有人選，且小明沒有選影片，則所有不同的選法種數(shù)為（

）A．72 B．96 C．180 D．2886．）某景區(qū)新開通了，，3個(gè)游玩項(xiàng)目，并邀請(qǐng)了甲、乙、丙、丁4名志愿者體驗(yàn)游玩項(xiàng)目，每名志愿者均選擇1個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行體驗(yàn)，每個(gè)項(xiàng)目至少有1名志愿者進(jìn)行體驗(yàn)，且丁不體驗(yàn)項(xiàng)目，則不同的體驗(yàn)方法共有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．30種二、填空題7．（22-23高二下·山東·階段練習(xí)）某出版社的11名工人中，有5人只會(huì)排版，4人只會(huì)印刷，還有2人既會(huì)排版又會(huì)印刷，現(xiàn)從11人中選4人排版，4人印刷，有種不同的選法.（用數(shù)字作答）8．（24-25高三下·青海海東·階段練習(xí)）現(xiàn)有高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊(cè)、必修第二冊(cè)、選擇性必修第一冊(cè)、選擇性必修第二冊(cè)、選擇性必修第三冊(cè)教材各1本．若把這5本教材從左到右放置書架的某一層內(nèi)（該層無其他書籍），要求選擇性必修第三冊(cè)不放最左端，必修第一冊(cè)不放最右端，選擇性必修第一冊(cè)、選擇性必修第二冊(cè)不相鄰，則這5本教材放置順序共有種．【題型四：正難則反間接法】知識(shí)講解知識(shí)講解1.分析問題：仔細(xì)審題，確定問題中需要計(jì)算的排列組合情況。判斷從正面直接計(jì)算是否復(fù)雜，如果直接計(jì)算需要考慮多種情況，分類討論較為繁瑣，或者難以直接找到計(jì)算方法，就可以考慮使用正難則反的方法。2.確定反面情況：明確問題的反面情況是什么。例如，要求計(jì)算“至少有一個(gè)滿足條件”的情況，那么反面就是“一個(gè)都不滿足條件”的情況；求“甲、乙兩人不都在”的情況，反面就是“甲、乙兩人都在”的情況。3.計(jì)算反面情況的數(shù)量：根據(jù)排列組合的基本原理和公式，計(jì)算出反面情況的排列組合數(shù)。這一步需要根據(jù)具體問題，運(yùn)用合適的方法進(jìn)行計(jì)算，可能會(huì)用到前面提到的捆綁法、插空法、特殊元素或特殊位置法等。4.計(jì)算總的情況數(shù)：確定整個(gè)問題的所有可能情況的數(shù)量，即總的排列組合數(shù)。同樣需要根據(jù)具體問題，選擇合適的方法進(jìn)行計(jì)算。5.求出正面情況的數(shù)量：用總的情況數(shù)減去反面情況的數(shù)量，就得到了正面情況的數(shù)量，即所求問題的答案。1．）從包含甲、乙兩人的人中選出人分別擔(dān)任班長、團(tuán)支書、學(xué)習(xí)委員，則甲、乙至多有人被選中的不同選法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種2．（24-25高二上·遼寧·期末）某校要從校廣播站3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選出兩人，分別做校史館的參觀路線導(dǎo)引員和校史講解員，則至少有1名女同學(xué)被選中的不同安排方法有（

）A．14種 B．16種 C．18種 D．20種3．（24-25高二上·河南駐馬店·階段練習(xí)）某中學(xué)高二年級(jí)入學(xué)進(jìn)行了一場(chǎng)為期一周的軍訓(xùn)，在軍訓(xùn)過程中，教官根據(jù)班級(jí)表現(xiàn)從各個(gè)維度進(jìn)行評(píng)分，最終評(píng)出“先進(jìn)集體”“作風(fēng)優(yōu)良班級(jí)”“紀(jì)律優(yōu)良班級(jí)”“素質(zhì)優(yōu)良班級(jí)”四個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)．已知總共有三個(gè)班級(jí)獲獎(jiǎng)，其中有兩個(gè)班級(jí)均獲得了“先進(jìn)集體”，剩余三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)每個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)均只有一個(gè)班級(jí)獲得，則所有的頒獎(jiǎng)方式有（

）A．57種 B．60種 C．114種 D．120種4．（24-25高二·全國·課堂例題）從10個(gè)不同的文藝節(jié)目中選6個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單，如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排在第二個(gè)，則不同的排法共有種．5．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·期末）某校開設(shè)了門體育類課程和門科技類課程，學(xué)生從這門課中最多選修門，且至少選修門體育類課程，則不同的選課方案有種．（用數(shù)字作答）6．（2025·湖南邵陽·一模）某校高三（5）班班主任準(zhǔn)備從2名男生和4名女生中選取3人擔(dān)任數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科課代表，每學(xué)科安排1人，且至少有1名男生，則不同的選取方法有（請(qǐng)用數(shù)字作答）【題型五：定序問題倍縮法】知識(shí)講解知識(shí)講解1.確定定序元素：明確題目中哪些元素是有固定順序要求的。例如，在一些問題中可能會(huì)出現(xiàn)甲必須在乙之前、某幾個(gè)元素要按特定順序排列等條件，這些元素就是定序元素。2.計(jì)算總排列數(shù)：先不考慮元素的定序要求，將所有元素進(jìn)行全排列，計(jì)算出總的排列數(shù)。假設(shè)共有個(gè)元素，那么總排列數(shù)為。3.計(jì)算定序元素的排列數(shù)：對(duì)定序元素進(jìn)行內(nèi)部排列，計(jì)算出它們?cè)诙ㄐ蚯闆r下的排列數(shù)。假設(shè)定序元素有個(gè)，那么定序元素的排列數(shù)為。4.求出符合定序要求的排列數(shù)：由于定序元素的順序是固定的，所以在總排列數(shù)中，定序元素的每一種排列都被重復(fù)計(jì)算了。因此，需要用總排列數(shù)除以定序元素的排列數(shù)，得到符合定序要求的排列數(shù)，即。1．（24-25高二下·全國·單元測(cè)試）小明參加“江南六地游”旅行，其中，，三地游覽的先后順序一定（游，，三地的順序可以相鄰也可以不相鄰），則小明“江南六地游”旅行的不同的出游方法有（

）A．120種 B．180種 C．240種 D．480種2．（24-25高二上·江西上饒·期末）是自然對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)，被稱為自然常數(shù)或者歐拉數(shù)．最初由雅各布·伯努利在研究復(fù)利時(shí)發(fā)現(xiàn)，后由萊昂哈德·歐拉證明其為無理數(shù)，大約為．小明是個(gè)數(shù)學(xué)迷，他在設(shè)置手機(jī)的數(shù)字密碼時(shí)，打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進(jìn)行排列得到一個(gè)六位數(shù)密碼，那么小明可以設(shè)置（

）個(gè)不同密碼．A．240 B．180 C．120 D．723．（24-25高二上·河南駐馬店·期末）某校A，B，C，D，E五名學(xué)生分別上臺(tái)演講，若A須在B前面出場(chǎng)，則不同的出場(chǎng)次序有（

）A．18種 B．36種 C．60種 D．72種4．從2023年伊始，各地旅游業(yè)爆火，少林寺是河南省旅游勝地．某大學(xué)一個(gè)寢室6位同學(xué)慕名而來，游覽結(jié)束后，在門前站一排合影留念，要求相鄰，在的左邊，則不同的站法共有（

）A．480種 B．240種 C．120種 D．60種二、填空題5．（江蘇省鹽城市第一次七校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）《紅樓夢(mèng)》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準(zhǔn)備了一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時(shí)要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鲞”時(shí)不同的下鍋順序共有種.6．（23-24高二下·江蘇徐州·階段練習(xí)）某學(xué)習(xí)小組、、、、、、七名同學(xué)站成一排照相，要求與相鄰，并且在的左邊，在的右邊，則不同的站隊(duì)方法種數(shù)為（用數(shù)字作【題型六：平均分組問題】明確分組情況首先確定是將多少個(gè)元素進(jìn)行分組，以及要分成多少組，每組的元素個(gè)數(shù)是否相同。例如，是將個(gè)元素平均分成組，每組個(gè)元素，還是有其他的分組方式。計(jì)算分組方法不考慮組的順序：如果是平均分組，且不考慮組與組之間的順序差異，計(jì)算方法是用組合數(shù)公式逐步選取元素進(jìn)行分組。例如，將個(gè)不同元素平均分成組，每組個(gè)元素，先從個(gè)元素中選個(gè)作為第一組，有種選法；再從剩下個(gè)元素中選個(gè)作為第二組，有種選法；最后剩下個(gè)元素作為第三組，有種選法。但這樣計(jì)算會(huì)有重復(fù)情況，因?yàn)檫@三組的順序是無意義的，比如與等其實(shí)是同一種分組情況，所以需要除以這組的全排列以消除重復(fù)?？偟姆纸M方法數(shù)為?？紤]組的順序：如果分組后還要對(duì)組進(jìn)行排序，比如將分好的組分配到不同的位置或任務(wù)中，那么在不考慮組順序的分組方法數(shù)基礎(chǔ)上，再乘以組的全排列數(shù)。例如，將上述平均分成的組分配到個(gè)不同的項(xiàng)目中，那么方法數(shù)就是。處理特殊情況如果分組中存在部分組元素個(gè)數(shù)相同，部分組元素個(gè)數(shù)不同的情況，要分別考慮。例如，將個(gè)元素分成組，一組個(gè)元素，一組個(gè)元素，一組個(gè)元素。先從個(gè)元素中選個(gè)作為第一組，有種選法；然后從剩下個(gè)元素中選個(gè)作為第二組，有種選法；剩下個(gè)元素作為第三組，有種選法。由于第二組和第三組元素個(gè)數(shù)相同，存在重復(fù)情況，需要除以以消除重復(fù)。所以總的分組方法數(shù)為。例題精選例題精選1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）北京有悠久的歷史和豐富的文化底蘊(yùn)，其美食也獨(dú)具特色．現(xiàn)有一名游客每天分別從北京烤鴨、炸醬面、糖火燒、豆汁、老北京涮羊肉、爆肚這6種美食中隨機(jī)選擇2種品嘗（選擇的2種美食不分先后順序），若三天后他品嘗完這6種美食，則這三天他選擇美食的不同選法種數(shù)為（

）A．15 B．90 C．270 D．540二、填空題2．（24-25高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開帷幕.某校足球社的6名學(xué)生準(zhǔn)備分成三組前往村超球隊(duì)所在的平地村、口寨村、忠誠村3個(gè)村寨進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)村各有一組來調(diào)研，每個(gè)組至多3名學(xué)生，則不同的安排方法種數(shù)為.相似練習(xí)相似練習(xí)3．（24-25高二·全國·課堂例題）有6本不同的書，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人2本，有多少種不同的分法？4．（24-25高二下·全國·單元測(cè)試）六本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法？(1)分為三份，一份四本，一份一本，一份一本；(2)分給甲、乙、丙三人，甲得四本，乙得一本，丙得一本；(3)分給甲、乙、丙三人，一人得四本，另外兩個(gè)人每個(gè)人得一本；(4)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．【題型七：部分平均分組問題】知識(shí)講解知識(shí)講解確定分組類型明確題目中給出的分組要求，判斷哪些組是平均分組，哪些組是非平均分組。例如，將$10$個(gè)元素分成組，其中兩組各個(gè)元素，另外兩組各個(gè)元素，這就是典型的部分平均分組問題，有兩組是平均分組（每組個(gè)元素的兩組和每組個(gè)元素的兩組），另外兩組是非平均分組（這里非平均分組的數(shù)量為，但在其他問題中可能存在不同數(shù)量的非平均分組）。計(jì)算分組方法平均分組部分：對(duì)于平均分組的部分，按照平均分組的計(jì)算方法進(jìn)行。假設(shè)要將個(gè)元素平均分成組，每組個(gè)元素（），先從個(gè)元素中選個(gè)作為第一組，有種選法；再從剩下個(gè)元素中選個(gè)作為第二組，有種選法；以此類推，直到選出第組。但這樣計(jì)算會(huì)有重復(fù)情況，因?yàn)檫@組的順序是無意義的，所以需要除以組的全排列以消除重復(fù)。例如前面提到的將$10$個(gè)元素分成兩組各個(gè)元素的情況，計(jì)算方法為。對(duì)于每組個(gè)元素的兩組，計(jì)算方法為。非平均分組部分：對(duì)于非平均分組的部分，直接用組合數(shù)進(jìn)行選取。例如，如果還有一組個(gè)元素的非平均分組，從剩下的元素中選個(gè)的方法數(shù)就是（這里是在前面已經(jīng)分完兩組各個(gè)元素和兩組各個(gè)元素后，剩下個(gè)元素選個(gè)形成一組）。匯總計(jì)算：將平均分組部分和非平均分組部分的計(jì)算結(jié)果相乘，得到總的分組方法數(shù)。對(duì)于將$10$個(gè)元素分成兩組各個(gè)元素、兩組各個(gè)元素的例子，總的分組方法數(shù)為。例題精選例題精選1．（2025·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）某高校要在假期安排甲、乙等名大學(xué)生到、、三個(gè)公司進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，要求每個(gè)公司都要有大學(xué)生去，且甲和乙都不能去公司，則不同的安排方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種2．（2025·新疆·二模）新疆維吾爾自治區(qū)博物館推出古代文物精華展，5名志愿者準(zhǔn)備到3個(gè)展廳參加志愿服務(wù)，若每個(gè)展廳至少分配1名志愿者，則不同的分配方案有（

）A．54種 B．90種 C．150種 D．540種3．（24-25高二上·遼寧撫順·期末）將5名黨員志愿者分到3個(gè)不同的社區(qū)進(jìn)行知識(shí)宣講，要求每個(gè)社區(qū)都要有黨員志愿者前往，且每個(gè)黨員志愿者都只安排去1個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)有（

）A．120 B．300 C．180 D．1504．（24-25高三上·湖北武漢·期末）某校舉辦中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同學(xué)分別報(bào)名參加跳遠(yuǎn)，跳高，鉛球，跑步個(gè)項(xiàng)目，每名同學(xué)只能報(bào)個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少有名同學(xué)報(bào)名，且甲不能參加跳遠(yuǎn)，則不同的報(bào)名方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種相似練習(xí)相似練習(xí)5．（24-25高三上·黑龍江大慶·期中）有5項(xiàng)不同的任務(wù)安排給甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一項(xiàng)且每項(xiàng)任務(wù)只安排一人完成，則分配給甲的任務(wù)不超過兩項(xiàng)的安排方法有（

）A．260種 B．220種 C．160種 D．130種【題型八：排列組合綜合問題：先分類在分步】知識(shí)講解知識(shí)講解1.分類 確定分類標(biāo)準(zhǔn)：根據(jù)題目中的條件和特點(diǎn)，找到一個(gè)合適的分類依據(jù)。例如，元素的性質(zhì)、位置的要求、排列或組合的特殊情況等。分類標(biāo)準(zhǔn)要確保各類之間相互獨(dú)立，且所有情況都能被涵蓋。 列舉各類情況：按照分類標(biāo)準(zhǔn)，將問題詳細(xì)地分為不同的類別。每一類都應(yīng)該是一個(gè)相對(duì)獨(dú)立且容易分析的子問題。例如，在排列問題中，可以根據(jù)某個(gè)特殊元素的位置進(jìn)行分類；在組合問題中，可以根據(jù)元素的選取條件進(jìn)行分類。2.分步 分析每類中的步驟：對(duì)于每一類情況，將其進(jìn)一步分解為若干個(gè)步驟。每個(gè)步驟都應(yīng)該有明確的任務(wù)和目標(biāo)，通常是完成一個(gè)元素的排列或組合操作。 計(jì)算每步的方法數(shù)：確定每個(gè)步驟的方法數(shù)。這需要運(yùn)用排列組合的基本原理和公式進(jìn)行計(jì)算。例如，在排列步驟中，可能會(huì)用到排列數(shù)公式；在組合步驟中，可能會(huì)用到組合數(shù)公式。 計(jì)算每類的方法數(shù)：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，將每類中各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘，得到每類情況的總方法數(shù)。即如果完成一件事需要個(gè)步驟，做第步有種不同的方法，做第步有種不同的方法……做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。3.匯總結(jié)果 匯總各類方法數(shù)：根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，將所有類別的方法數(shù)相加，得到整個(gè)問題的最終答案。即如果完成一件事有類辦法，在第類辦法中有種不同的方法，在第類辦法中有種不同的方法……在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。例題精選例題精選1．（2025高三·全國·專題練習(xí)）某醫(yī)院安排1名醫(yī)生和7名護(hù)士某周一至周五去“定點(diǎn)幫扶”醫(yī)院開展幫扶工作，每天安排2人，其中醫(yī)生需要去三天，每名護(hù)士需要去一天，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．6300 B．12600 C．25200 D．504002．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）某施工小組有男工7名，女工3名，現(xiàn)要選1名女工和2名男工去支援另一施工隊(duì)，不同的選法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種3．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有6名同學(xué)到3家不同的養(yǎng)老院參加“關(guān)愛孤寡老人”愛心志愿活動(dòng)，若每家養(yǎng)老院安排2名同學(xué)，且每名同學(xué)只前往一家養(yǎng)老院，則共有安排方法（

）A．30種 B．60種 C．90種 D．120種4．（2025·福建廈門·二模）在五一小長假期間，要從5人中選若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班2天，則可能的安排方法有種.5．（2025·四川成都·二模）成都石室中學(xué)舉辦校慶文藝展演晚會(huì)，設(shè)置有一個(gè)“傳奇”主會(huì)場(chǎng)和“傳承”，“揚(yáng)輝”兩個(gè)分會(huì)場(chǎng).現(xiàn)場(chǎng)需要安排含甲、乙的六名安全員負(fù)責(zé)現(xiàn)場(chǎng)秩序安全，其中“傳奇”主會(huì)場(chǎng)安排三人，剩下三人安排去“傳承”，“揚(yáng)輝”兩個(gè)分會(huì)場(chǎng)（每個(gè)分會(huì)場(chǎng)至少安排一人）.若要求甲、乙兩人不在同一個(gè)會(huì)場(chǎng)開展工作，則不同的安排方案有種.6．（24-25高三上·陜西西安·階段練習(xí)）從A，B，C，D，E這5人中選出4人，安排在甲、乙、丙、丁4個(gè)崗位上，如果A不能安排在甲崗位上，則不同的安排方法有種．【題型九：染色問題】知識(shí)講解知識(shí)講解按顏色的使用情況分類確定顏色種類：先明確題目中可供使用的顏色數(shù)量，以及需要染色的區(qū)域或元素?cái)?shù)量。分類討論：根據(jù)使用顏色的數(shù)量進(jìn)行分類。例如，使用種顏色給個(gè)區(qū)域染色，可能存在某些區(qū)域顏色相同的情況，需要分別討論不同的顏色分配方式。按區(qū)域的相鄰關(guān)系分步分析區(qū)域關(guān)系：確定各個(gè)區(qū)域之間的相鄰關(guān)系，明確哪些區(qū)域不能染相同顏色。分步染色：從某個(gè)區(qū)域開始，依次對(duì)相鄰區(qū)域進(jìn)行染色。每一步染色都要考慮到已染色區(qū)域的顏色限制，以及當(dāng)前可供選擇的顏色數(shù)量。例如，先染一個(gè)區(qū)域，有種顏色可選；再染與它相鄰的區(qū)域，由于不能與第一個(gè)區(qū)域同色，所以有種顏色可選，以此類推。利用排列組合公式計(jì)算計(jì)算方法數(shù)：在每一類或每一步中，根據(jù)排列組合的基本原理計(jì)算染色的方法數(shù)。如果是對(duì)不同元素進(jìn)行全排列，可使用排列數(shù)公式；如果是從個(gè)元素中選取個(gè)元素的組合，可使用組合數(shù)公式。匯總結(jié)果：將各類或各步的方法數(shù)根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行匯總，得到最終的染色方法總數(shù)。例題精選例題精選1．（24-25高三下·湖南·開學(xué)考試）提供四種不同顏色的顏料給圖中六個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法共有（

）A．288種 B．296種 C．362種 D．384種2．（24-25高二上·遼寧·期末）《九章算術(shù)》第一章“方田”問題二十五、二十六指出了三角形田面積算法：“半廣以乘正從”.數(shù)學(xué)社團(tuán)制作板報(bào)向全校師生介紹這一結(jié)論，給證明圖形的六個(gè)區(qū)域涂色，有三種顏色可用，要求有相鄰邊的區(qū)域顏色不同，則不同的涂色方法有（

）A．48種 B．96種 C．102種 D．120種3．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）如圖，無人機(jī)光影秀中，有架無人機(jī)排列成如圖所示，每架無人機(jī)均可以發(fā)出種不同顏色的光，至號(hào)的無人機(jī)顏色必須相同，、號(hào)無人機(jī)顏色必須相同，號(hào)無人機(jī)與其他無人機(jī)顏色均不相同，則這架無人機(jī)同時(shí)發(fā)光時(shí)，一共可以有（

）種燈光組合.A． B． C． D．4．（24-25高三下·上?！るA段練習(xí)）如圖，一個(gè)區(qū)域分為5塊，現(xiàn)給每塊著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．若有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種．

5．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）如圖將一個(gè)矩形劃分為如下的A、B、C、D、E、F六個(gè)區(qū)域，現(xiàn)用四種不同的顏色對(duì)這六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，要求邊界有重合部分的區(qū)域（頂點(diǎn)與邊重合或頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合不算）染上不同的顏色，并且每一種顏色都要使用到，則一共有種不同的染色方案.6．（24-25高三上·廣西南寧·開學(xué)考試）在如圖方格中，用4種不同顏色做涂色游戲，要求相鄰區(qū)域顏色不同，每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色.①若區(qū)域涂2種顏色，區(qū)域涂另外2種顏色，則有種不同涂法.②若區(qū)域涂4種顏色（涂的顏色互不相同），區(qū)域也涂這4種顏色（涂的顏色互不相同），則有種不同涂法.三、解答題7．（24-25高二上·甘肅白銀·階段練習(xí)）（1）如圖1所示，分別給，個(gè)區(qū)域涂色，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色可供選擇，要求相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，同一區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方法共有多少種？（2）如圖2所示，用紅、黃、藍(lán)3種顏色給四棱錐的頂點(diǎn)涂色，要求同一條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)不能同色，則不同的涂色方法共有多少種？【題型十：排數(shù)問題】知識(shí)講解知識(shí)講解1.明確問題類型 首先判斷是排列問題還是組合問題。排列問題關(guān)注元素的順序，不同順序視為不同結(jié)果；組合問題則只關(guān)心元素的選取，不考慮順序。例如，從、、中選兩個(gè)數(shù)組成兩位數(shù)，這是排列問題，因?yàn)?12$和$21$是不同的兩位數(shù)；而從、、中選兩個(gè)數(shù)求和，這是組合問題，因?yàn)楹徒Y(jié)果相同，不考慮順序。2.確定限制條件 仔細(xì)分析題目中的限制條件，如數(shù)字的取值范圍、是否允許重復(fù)、特定位置的數(shù)字要求等。比如，用、、、組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這里不能在百位就是一個(gè)關(guān)鍵限制條件。3.選擇解題方法 直接法：根據(jù)題目要求直接計(jì)算排列或組合數(shù)。例如，從個(gè)不同數(shù)字中選個(gè)進(jìn)行排列，可直接用排列數(shù)公式種排法。 間接法：當(dāng)直接計(jì)算比較復(fù)雜時(shí)，可先計(jì)算總的情況數(shù)，再減去不符合條件的情況數(shù)。比如，計(jì)算用到這個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字且大于$2000$的四位數(shù)的個(gè)數(shù)，可先計(jì)算所有四位數(shù)的個(gè)數(shù)，再減去千位是的四位數(shù)的個(gè)數(shù)。4.分步或分類計(jì)算 分步：如果完成一件事需要多個(gè)步驟，那么按照步驟依次計(jì)算每一步的方法數(shù)，再根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理將各步驟的方法數(shù)相乘。例如，用、、、組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，可分四步，第一步確定千位數(shù)字，有種選法；第二步確定百位數(shù)字，有種選法（因?yàn)榍灰延萌ヒ粋€(gè)數(shù)字）；第三步確定十位數(shù)字，有種選法；第四步確定個(gè)位數(shù)字，有種選法。所以共有種排法。 分類：當(dāng)問題可以按照不同情況進(jìn)行分類時(shí)，分別計(jì)算每類情況的方法數(shù)，然后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理將各類方法數(shù)相加。例如，用、、、組成無重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)，可分兩類，一類是個(gè)位為，此時(shí)有種排法；另一類是個(gè)位為，此時(shí)千位有種選法（不能選），百位有種選法，十位有種選法，共有種排法。所以一共有種排法。5.檢查結(jié)果 檢查計(jì)算過程是否正確，是否遺漏了某些情況或重復(fù)計(jì)算了某些結(jié)果。特別是在分類和分步的過程中，要確保每一種情況都被準(zhǔn)確考慮，且沒有交叉重復(fù)。例如，在分類時(shí)要保證各類之間相互獨(dú)立，在分步時(shí)要保證每一步的方法數(shù)計(jì)算準(zhǔn)確。例題精選例題精選1．（24-25高三上·廣東深圳·期末）只用1，2，3這三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)五位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)字必須全部使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的五位數(shù)共有（

）A．30個(gè) B．36個(gè) C．42個(gè) D．48個(gè)2．（23-24高二下·江蘇無錫·階段練習(xí)）用0．1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（

）A．24個(gè) B．26個(gè) C．30個(gè) D．42個(gè)3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）從1，3，5，7中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有（

）A．252個(gè) B．300個(gè)C．324個(gè) D．228個(gè)相似練習(xí)相似練習(xí)二、多選題4．（24-25高二·全國·課堂例題）（多選）用數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的四