一元一次方程的應用行程問題七年級上冊數(shù)學北師大版匯報人：xxxYOUR01課程介紹課程目標與要求理解方程應用理解一元一次方程在行程問題中的應用，要明白如何通過方程來描述路程、速度和時間的關系，學會用方程解決行程中的實際問題。掌握行程問題掌握行程問題的各類題型，如相遇、追及、環(huán)形跑道等問題，熟悉不同題型的特點和解題思路，提升對行程問題的綜合分析能力。提升解題能力通過練習和分析行程問題，學會準確找出等量關系、合理設未知數(shù)、正確列出方程并求解，逐步提升解決行程問題的能力。培養(yǎng)數(shù)學思維在解決行程問題的過程中，培養(yǎng)邏輯思維、推理能力和幾何直觀，學會用數(shù)學眼光觀察、用數(shù)學思維思考、用數(shù)學語言表達行程問題。課時內(nèi)容概覽本章節(jié)重點在于掌握用一元一次方程解決行程問題的方法，準確找出行程問題中的等量關系，借助“線段圖”分析數(shù)量關系并建立方程。本章節(jié)重點安排合理的學習時間，先系統(tǒng)學習行程問題的基本概念和公式，再通過例題和練習鞏固，最后進行綜合訓練和總結，確保扎實掌握知識。學習時間安排參考北師大版七年級上冊數(shù)學教材中關于一元一次方程應用行程問題的章節(jié)，深入理解教材中的例題和講解，掌握解題的步驟和方法。教材參考部分達成目標的標準是能夠熟練運用一元一次方程解決各種行程問題，準確找出等量關系并列出方程，正確求解并驗證答案，同時能將知識應用到實際生活中。達成目標標準學習重要性實際問題意義一元一次方程在行程問題中的應用具有重要實際意義，能幫助我們解決生活中的出行規(guī)劃、交通調(diào)度等問題，使數(shù)學與生活緊密聯(lián)系。日常應用場景行程問題的日常應用場景廣泛，如計算出行時間、規(guī)劃旅游路線、安排運輸任務等，掌握相關知識能更好地應對生活中的行程問題。數(shù)學建模基礎以行程問題為基礎建立數(shù)學模型，學會分析問題中的數(shù)量關系，找出等量關系并列出方程，為今后解決更復雜的實際問題奠定數(shù)學建模基礎。邏輯思維訓練在行程問題中運用一元一次方程解題，能有效訓練邏輯思維。學生需分析問題、找等量關系、列方程求解，這一過程可提升邏輯推理與分析能力。課前準備事項復習一元一次方程的定義、性質(zhì)和解法等知識，為學習行程問題的應用打基礎，確保能熟練運用方程解決實際問題。復習方程知識準備好紙、筆、尺子等學習工具，方便繪制線段圖分析行程問題中的數(shù)量關系，準確找出等量關系列方程。準備學習工具思考生活中如跑步、乘車等行程實例，初步感受行程問題的特點和其中的數(shù)量關系，為課堂學習做好鋪墊。思考相關實例預習教材中一元一次方程在行程問題里的應用部分，了解基本概念和例題解法，標記疑惑點，以便課堂重點學習。預習教材內(nèi)容02一元一次方程基礎方程定義回顧什么是一元方程一元方程指只含一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程。它是解決行程問題等實際問題的重要工具。一次方程特點一次方程的未知數(shù)最高次數(shù)是1，等號兩邊都是整式。其解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，用于行程問題很有效。標準形式展示一元一次方程的標準形式是ax+b=0（a≠0），清晰呈現(xiàn)方程結構，利于分析和求解行程問題中的未知量。基本解法概述解一元一次方程一般有去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1等步驟，掌握這些能解決行程問題方程。解方程關鍵方法01020304移項操作規(guī)則移項是把方程中的某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊。移項要變號，這是解方程的關鍵步驟，用于行程問題方程化簡。同類項合并同類項合并是把方程中含相同未知數(shù)且次數(shù)相同的項合并成一項。能簡化方程，更方便求解行程問題中的未知數(shù)。系數(shù)化簡步驟系數(shù)化簡是解方程的關鍵步驟，首先要明確方程的各項系數(shù)，對于分數(shù)系數(shù)可通過等式兩邊同乘公倍數(shù)化為整數(shù)系數(shù)，對于小數(shù)系數(shù)則可適當擴大倍數(shù)來化簡。驗證解正確性驗證解的正確性是確保方程求解無誤的重要環(huán)節(jié)，需將求得的解代入原方程，查看方程左右兩邊是否相等，以此判斷解是否符合方程要求。應用建模基礎變量設定技巧變量設定是解決一元一次方程行程問題的基礎，要選擇與問題關聯(lián)緊密的量設為未知數(shù)，并且明確其含義和單位，必要時可設間接未知數(shù)來解題。等量關系識別識別等量關系需要仔細分析題目，常見的行程問題等量關系有路程、速度和時間之間的關系，如相遇問題中路程之和等于總路程，追及問題中兩者路程差等于特定距離。建模步驟簡述建模首先要認真審題，明確已知量和未知量；再找出等量關系；接著合理設定變量并列出方程；求解方程后檢驗結果是否符合實際意義。常見錯誤分析常見錯誤包括變量設定不合理，導致后續(xù)方程難以建立；等量關系找錯，使方程列錯；求解過程中計算失誤，以及檢驗環(huán)節(jié)未判斷解是否符合實際情況。簡單實例練習以一道具體的行程問題為例，如甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，已知甲車速度為80km/h，乙車速度為60km/h，A、B兩地相距420km，求兩車相遇時間。例題展示針對上述例題，第一步理解問題，明確要求的是相遇時間；第二步設兩車相遇時間為x小時；第三步根據(jù)路程之和等于總路程的等量關系列出方程80x+60x=420；第四步解方程得x=3；第五步檢驗，將x=3代入方程驗證左右兩邊相等且符合實際。步驟演示學生可嘗試改變題目中的速度、路程等條件重新解題，也可將相向而行改為同向追及問題來設未知數(shù)、找等量關系和列方程求解。學生嘗試點通過對多個不同類型行程問題的練習，強化一元一次方程在行程問題中的應用，加深對變量設定、等量關系和方程求解的理解。強化知識點03行程問題概述行程問題定義基本概念介紹行程問題主要涉及速度、時間和路程這三個核心要素，它們之間的基本關系是路程等于速度乘以時間，通過對這些概念的理解來解決實際的行程問題。核心要素解析行程問題的核心要素包含速度、時間與路程。速度體現(xiàn)運動快慢，時間是運動的時長，路程則是運動軌跡的長度。三者緊密相關，是解決問題的關鍵。速度時間關系速度與時間是行程問題中的關鍵變量，它們相互制約。速度越快，相同路程所需時間越短；時間越長，在相同速度下走過的路程越遠。公式推導展示從速度、時間、路程的定義出發(fā)，可推導出路程=速度×時間，速度=路程÷時間，時間=路程÷速度這三個重要公式，為解題提供依據(jù)。關鍵術語解釋平均速度是指在一段路程中，物體運動的總體快慢程度。它并非簡單的速度平均值，而是總路程與總時間的比值，能更準確反映運動情況。平均速度含義相對速度在解決多物體運動問題時極為重要。當兩物體同向運動，相對速度為速度之差；相向運動時，相對速度為速度之和，可簡化問題求解。相對速度應用追及問題是指一個物體追趕另一個物體的行程問題。其關鍵在于明確兩者的速度差和初始距離，通過建立方程來求解追及時間。追及問題基礎相遇問題是兩物體相向運動直至相遇的情況。解題時要關注兩者速度和與總路程，利用路程和等于速度和乘以相遇時間來建立方程。相遇問題基礎問題分類標準單一運動類型單一運動類型的行程問題，物體運動狀態(tài)較為簡單。通常只需依據(jù)基本公式，結合題目給定的速度、時間、路程條件，就能輕松求解。多物體互動多物體互動的行程問題較為復雜，涉及多個物體的運動。需分析各物體間的速度關系、位置變化，找出等量關系，進而建立方程解決問題。方向差異行程問題中方向差異會影響解題思路。同向、相向、背向等不同方向，對應的路程關系和等量關系各不相同，要仔細分析方向來建立正確方程。復雜場景復雜場景的行程問題包含多種因素，如中途停留、速度變化等。需要全面梳理題目信息，找準關鍵等量關系，逐步求解。數(shù)學建模意義01020304建模步驟簡述行程問題建模需先仔細審題，確定已知與未知量，再找出等量關系。接著合理設未知數(shù)，依據(jù)等量關系列出方程，最后求解并檢驗答案是否符合實際。實際應用價值行程問題建模在生活中應用廣泛，如規(guī)劃出行時間、計算交通工具相遇或追及情況等，能幫助我們解決實際出行和運輸?shù)确矫娴膯栴}。學生任務指導學生需認真分析題目，通過畫線段圖等方式找出等量關系，合理設未知數(shù)列出方程。解題后要檢驗答案，還需思考不同解法和拓展問題。案例導入以小明和小紅相約騎行相遇為例，小明家與小紅家相距20km，小明速度13km/h，小紅速度12km/h，小明先走30min，問小紅多久能與小明相遇，引入行程問題。04常見行程問題類型勻速直線運動定義與公式勻速直線運動是速度不變的直線運動，公式為路程=速度×時間，變形可得速度=路程÷時間，時間=路程÷速度，這些公式是解決行程問題的基礎。基本計算根據(jù)勻速直線運動公式，已知速度和時間可求路程，已知路程和速度可求時間等。如速度為5m/s，時間為10s，則路程為5×10=50m。實例分析小明騎車速度15km/h，騎行3小時，根據(jù)公式路程=速度×時間，可得小明騎行路程為15×3=45km，體現(xiàn)公式在實際中的應用。練習題目甲、乙兩人分別從相距30km的兩地同時出發(fā)相向而行，甲的速度為6km/h，乙的速度為4km/h，問經(jīng)過幾小時兩人相遇？請同學們運用所學知識解答。追及問題詳解追及問題常見場景如兩人同向而行，速度快的在后追趕速度慢的；或者同地不同時出發(fā)，后面出發(fā)的速度快的追趕前面先出發(fā)的等情況。場景描述對于同向同地不同時的追及問題，可根據(jù)快者路程=慢者先走路程+慢者后走路程建立方程；同向同時不同地的追及問題，根據(jù)快者路程-慢者路程=兩出發(fā)地距離建立方程。方程建立先設未知數(shù)，再根據(jù)追及問題場景找出等量關系列方程，然后運用移項、合并同類項、系數(shù)化為1等方法解方程，最后檢驗答案是否合理。解法步驟小明每天早上要在7:50之前趕到距家1000米的學校上學，他以80米/分的速度出發(fā)5分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)他忘帶語文書，立即以180米/分的速度去追，爸爸追上小明用了4分鐘，此時距學校還有280米。典型例子相遇問題解析場景描述甲、乙兩車站相距450km，一列慢車從甲站開出，速度為65km/h，一列快車從乙站開出，速度為85km/h，兩車同時開出，相向而行，描繪了兩車在兩站間相向行駛直至相遇的場景。方程建立設兩車行駛xh后相遇，根據(jù)甲站慢車所行路程+乙站快車所行路程=甲、乙兩車站相距總路程這一等量關系，可建立方程65x+85x=450。解法步驟先對65x+85x=450進行合并同類項，得到150x=450，然后方程兩邊同時除以150，即x=450÷150，解得x=3。典型例子A、B兩地相距60千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地出發(fā)相向而行，甲的速度是8千米/時，乙的速度是6千米/時，經(jīng)過4小時兩人相距4千米，可通過設時間為未知數(shù)建立方程求解。環(huán)形跑道問題環(huán)形跑道問題中，兩人同向而行時，快者比慢者多跑一圈才能再次相遇；兩人相向而行時，兩人路程之和為一圈的長度，具有周期性和重復性的特點。特點介紹關鍵在于明確是同向還是相向運動，確定路程差或路程和與跑道周長的關系，合理設未知數(shù)，根據(jù)速度、時間和路程的關系建立一元一次方程。建模關鍵在環(huán)形跑道上，甲的速度是5米/秒，乙的速度是3米/秒，跑道長400米，若兩人同向同時同地出發(fā)，設x秒后甲追上乙，可列方程5x-3x=400求解。實例解析給出環(huán)形跑道的長度、兩人的速度等條件，讓學生自己判斷運動類型，設定未知數(shù)，找出等量關系，建立并求解一元一次方程來解決問題。學生嘗試05解題步驟詳解步驟一理解問題閱讀題目仔細閱讀行程問題的題目內(nèi)容，明確題目所描述的場景，如兩人是同向、相向還是背向運動，以及涉及的速度、時間、路程等關鍵信息。提取信息從題目中提取出已知的速度、時間、路程等數(shù)據(jù)，同時識別出未知量，例如兩人相遇的時間、追及的時間、某段路程的長度等信息。識別變量識別行程問題中的變量，需結合路程、速度、時間關系，像追及問題里的出發(fā)時間差、速度差等，準確找出影響結果的關鍵因素。明確目標明確行程問題求解目標，判斷是求路程、速度還是時間，例如相遇問題中求相遇時間，明確目標才能有針對性地解題。步驟二設定變量01020304選擇未知數(shù)選擇未知數(shù)要考慮問題核心，通常設所求量為未知數(shù)，如在追及問題中設追及時間為未知數(shù)，便于構建方程求解。定義符號定義符號要清晰規(guī)范，用常見字母表示路程、速度、時間等，如s表示路程，v表示速度，t表示時間，確保符號使用準確。單位統(tǒng)一單位統(tǒng)一是解題關鍵，行程問題中速度、路程、時間單位要一致，如速度是千米/小時，路程就用千米，時間用小時，避免計算錯誤。避免錯誤避免錯誤需仔細審題，準確理解題意，防止遺漏條件或錯誤解讀，如相遇問題中注意是否有提前出發(fā)等特殊情況。步驟三建立方程找等量關系找等量關系要依據(jù)行程問題類型，像相遇問題中，兩者路程之和等于總路程；追及問題中，兩者路程之差等于初始距離。寫方程寫方程要根據(jù)找到的等量關系，結合所設未知數(shù)，將文字描述轉化為數(shù)學表達式，如相遇問題可寫成v?t+v?t=s的形式。簡化形式簡化形式要對列出的方程進行整理，合并同類項、去括號等，使方程更簡潔，便于求解，如將復雜方程化為ax=b的形式。檢查邏輯檢查邏輯要確保方程符合實際情況，等量關系合理，如方程中時間不能為負數(shù)，路程不能小于零等。步驟四求解方程解法應用要根據(jù)方程特點選擇合適方法，如一元一次方程可通過移項、系數(shù)化為1等步驟求解，得出未知數(shù)的值。解法應用在求解一元一次方程用于行程問題時，依據(jù)所建立的方程，運用移項、合并同類項、系數(shù)化為1等步驟，逐步計算得出未知數(shù)的值，過程需嚴謹細致。計算過程將計算所得的解代入原方程以及行程問題的實際情境中，檢查方程左右兩邊是否相等，同時看是否符合行程問題中速度、時間、路程的實際關系。驗證解對于求解出的未知數(shù)，將其對應到行程問題的實際場景里，解釋其代表的具體意義，如時間是多久、路程是多遠、速度是多少等。解釋結果步驟五應用反思實際應用一元一次方程在行程問題的實際應用極為廣泛，像出行規(guī)劃、交通調(diào)度等，通過建立方程解決實際中的行程問題，提升解決實際問題的能力。反思錯誤回顧解題過程，檢查是否在理解問題、設定變量、建立方程、求解方程等環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯誤，分析錯誤原因，總結經(jīng)驗教訓。優(yōu)化方法思考是否有更簡便、高效的方法來解決行程問題，如選擇更合適的變量、運用更巧妙的等量關系等，提升解題的速度和準確性。擴展思考對行程問題進行拓展，考慮不同的運動場景、條件變化等，嘗試建立新的方程來解決問題，培養(yǎng)創(chuàng)新思維和拓展能力。06實例分析實例一追及問題小明以80米/分鐘的速度出發(fā)5分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)他忘帶東西，爸爸立即以180米/分鐘的速度沿同一路線去追小明，求爸爸追上小明所用的時間。題目描述設爸爸追上小明用了x分鐘，那么小明總共走的時間為(x+5)分鐘，這里以時間為變量便于建立方程。變量設定根據(jù)爸爸追上小明時兩人所走路程相等這一關系，可列出方程80×5+80x=180x，以此來求解時間。方程建立首先對80×5+80x=180x進行移項，得到180x-80x=80×5，然后合并同類項得100x=400，最后系數(shù)化為1，解得x=4。求解過程實例二相遇問題題目描述甲、乙兩車站相距450km，一列慢車從甲站開出，速度為65km/h，一列快車從乙站開出，速度為85km/h。兩車同時開出，相向而行，問經(jīng)過多長時間兩車相遇？這是一個典型的相遇問題，需要運用一元一次方程來求解。變量設定設兩車行駛xh后相遇。這里選擇x作為未知數(shù)來表示時間，單位為小時，這樣能方便地利用速度、時間和路程的關系來建立方程，避免出現(xiàn)單位不統(tǒng)一等錯誤。方程建立根據(jù)相遇問題的等量關系，即甲站慢車所行路程+乙站快車所行路程=甲、乙兩車站相距總路程。可列出方程65x+85x=450，通過這個方程能準確地反映題目中的數(shù)量關系。求解過程對65x+85x=450進行求解，先合并同類項得到150x=450，然后將系數(shù)化為1，兩邊同時除以150，解得x=3。最后將x=3代入原方程進行驗證，等式成立，說明兩車行駛3小時后相遇。實例三復雜行程01020304題目描述小明每天早上要在7:50之前趕到距家1000米的學校上學。一天，小明以80米/分的速度出發(fā)，5分鐘后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語文書，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。問爸爸追上小明用了多長時間，追上小明時距離學校還有多遠？這是一個追及問題，需要通過建立方程來解決。變量設定設爸爸追上小明用了x分鐘。以x作為未知數(shù)表示爸爸追及的時間，單位為分鐘，這樣便于根據(jù)速度、時間和路程的關系來構建方程，同時要注意小明行走的時間是(x+5)分鐘。方程建立根據(jù)追及問題的等量關系，爸爸走的路程=小明走的路程，可列出方程180x=80×5+80x。此方程準確地體現(xiàn)了題目中兩人路程的關系，為求解問題提供了依據(jù)。求解過程對180x=80×5+80x進行求解，先移項得到180x-80x=80×5，即100x=400，再將系數(shù)化為1，兩邊同時除以100，解得x=4。爸爸追上小明用了4分鐘，此時爸爸走的路程為180×4=720米，那么距離學校還有1000-720=280米。將x=4代入原方程驗證，等式成立。實例四學生互動提供題目育紅學校七年級學生步行到郊外旅行，1班的學生組成前隊，步行的速度為4千米/小時，2班的學生組成后隊，速度為6千米/小時，前隊出發(fā)1小時后，后隊才出發(fā)，同時后隊派一名聯(lián)絡員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回進行聯(lián)絡，他騎車的速度為12千米/小時。問后隊追上前隊時，聯(lián)絡員騎了多少千米？引導思路首先分析這是一個追及問題，關鍵是找出后隊追上前隊所用的時間?？梢栽O后隊追上前隊用了x小時，根據(jù)前隊先走1小時以及兩隊的速度，利用追及問題的等量關系列出方程。求出后隊追上前隊的時間后，再根據(jù)聯(lián)絡員的速度和這個時間來計算聯(lián)絡員騎行的路程。預期解法設后隊追上前隊用了x小時，根據(jù)前隊先走1小時，可得到等量關系：后隊走的路程=前隊先走的路程+前隊后走的路程，即6x=4×1+4x，解得x=2。因為聯(lián)絡員騎車的時間和后隊追上前隊的時間相同，且聯(lián)絡員速度為12千米/小時，所以聯(lián)絡員騎的路程為12×2=24千米。討論答案組織學生針對實例四的解答展開討論，鼓勵大家發(fā)表不同見解，探討答案的合理性與多種解法，加深對行程問題的理解。07練習與鞏固練習題一呈現(xiàn)題目：“小明的家與小紅的家相距20km，小明騎車速度為13km/h，小紅騎車速度為12km/h，若小明先走30min，小紅騎車多久能與小明相遇？”讓學生明確問題。題目展示給學生一定時間獨立思考并解答該題目，要求他們運用所學的一元一次方程知識，按照解題步驟來解決這個行程相遇問題。獨立嘗試若學生遇到困難，提示可設小紅騎車時間為未知數(shù)，根據(jù)“小明先走的路程+小明后走的路程+小紅走的路程=兩家距離”這個等量關系來列方程。提示幫助詳細分析解答過程，設小紅騎車x小時與小明相遇，小明先走0.5小時，可列方程13×0.5+13x+12x=20，解釋每一步的依據(jù)和意義。解答分析練習題二題目展示提出題目：“甲、乙兩城相距291千米，兩汽車同時從兩城相對開出，3.5小時后兩車相距35.5千米，已知甲車速度為38千米/小時，求乙車的速度?！笔箤W生清晰題目內(nèi)容。獨立嘗試讓學生自主解答此問題，引導他們思考并找出本題的等量關系，列出一元一次方程來求解乙車速度。提示幫助當學生有疑惑時提示，可設乙車速度為未知數(shù)，根據(jù)“甲走的路程+乙走的路程+35.5=兩城距離”建立方程去解決問題。解答分析深入分析解題過程，設乙車速度是x千米/小時，方程為38×3.5+3.5x+35.5=291，闡述列方程思路和求解步驟的邏輯。練習題三給出題目：“甲從A地、乙和丙從B地同時出發(fā)相向而行，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走50米，丙每分鐘走40米，當甲和乙相遇后，過了15分鐘甲又與丙相遇，求A、B兩地之間的距離。”讓學生明確目標。題目展示要求學生獨自完成這道題，提醒他們分析題目中的人物運動情況，找出關鍵的等量關系，運用一元一次方程求解A、B兩地距離。獨立嘗試在解決本題時，可先根據(jù)題目所給信息明確已知量與未知量，再借助線段圖分析行程中的數(shù)量關系，找出等量關系來列方程，注意單位要統(tǒng)一。提示幫助本題是行程相遇問題，需要根據(jù)題目情況找出路程、速度、時間之間的等量關系。假設合適的未知數(shù)，按照相遇時兩人所走路程之和等于總路程來列方程求解，解出結果后要檢驗是否符合實際情況。解答分析綜合挑戰(zhàn)混合問題這里的混合問題包含不同類型的行程問題，可能有相遇與追及結合的情況，也可能涉及多種速度變化或多段路程的情形，需要綜合運用所學知識來分析和解決。難度提升題目會在行程的復雜性上做文章，例如增加多個運動物體，或速度有動態(tài)變化，或時間關系更隱蔽，對同學們分析問題和建立方程的能力要求更高。小組討論同學們分組交流解題思路，分享各自對題目的理解和分析方法，互相啟發(fā)，共同探討如何從復雜的題目中提取關鍵信息、建立合適的方程來求解。集體講解針對小組討論中存在的共性問題和難題進行詳細講解，梳理解題的步驟和思路，強化同學們對復雜行程問題的理解和掌握，加深對知識點的運用。08總結與作業(yè)本課總結01020304知識點回顧回顧了一元一次方程的定義、解法，以及行程問題中路程、速度、時間的關系，還掌握了相遇、追及、環(huán)形跑道等不同行程問題的特點和方程建立方法。