§44.1二

項(xiàng)

分

布第六章第

六

章：概

率二項(xiàng)分布與超幾何分布學(xué)習(xí)目標(biāo)

情境導(dǎo)入

1.我們前面學(xué)過兩點(diǎn)分布，你能寫出它的分布列嗎？你還記得二項(xiàng)式通項(xiàng)嗎？答：

（1）兩點(diǎn)分布的分布列如下：

01

復(fù)習(xí)回顧

在實(shí)際問題中，有許多試驗(yàn)與擲硬幣試驗(yàn)具有相同的特征，它們只包含兩個可能的結(jié)果.如檢驗(yàn)一件產(chǎn)品結(jié)果為合格或不合格,飛碟射擊時(shí)中靶或脫靶，醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)結(jié)果為陰性或陽性等.伯努利分布

探索新知

解：用事件Ak(k=1,2,3,4)表示“第k次射擊命中目標(biāo)”，每次射擊都是獨(dú)立的，用事件BK(k=0,1,2,3,4)表示“運(yùn)動員進(jìn)行4次射擊，命中目標(biāo)k次”.

探索新知

這樣,X的分布列就可以寫成如表6-19的形式：在上面的問題中，將一次射擊看成做了一次試驗(yàn)，思考并回答下列問題：(1)一共進(jìn)行了幾次試驗(yàn)？每次試驗(yàn)有幾種可能的結(jié)果？(2)如果將每次試驗(yàn)的兩種結(jié)果分別稱為“成功"(命中目標(biāo))和“失敗"(沒有命中目標(biāo))，那么每次試驗(yàn)成功的概率是多少？它們相同嗎？(3)各次試驗(yàn)是否相互獨(dú)立？在隨機(jī)變量X的分布列的計(jì)算中，獨(dú)立性具體應(yīng)用在哪里？

【思考交流】探索新知4次，兩種.

獨(dú)立，相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生一、n重伯努利試驗(yàn)：探索新知

一般地,在相同條件下重復(fù)做n次伯努利試驗(yàn)，且每次試驗(yàn)的結(jié)果都不受其他試驗(yàn)結(jié)果的影響，稱這樣的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn).

（1）依次投擲四枚質(zhì)地不同的硬幣，3次正面向上；（2）某人射擊，擊中目標(biāo)的概率是穩(wěn)定的，他連續(xù)射擊了10次；（3）口袋中裝有5個白球，3個紅球，2個黑球，依次從中摸取5個球，恰好摸出4個白球．

典例講解

二、二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，用X表示這n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，且每次成功的概率均為P,則X的分布列可以表示為若一個隨機(jī)變量X的分布列如上所述，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,簡記為X?B(n,p).顯然,兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布在參數(shù)n=1時(shí)的特殊情況.

探索新知在下列隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布嗎？如果服從二項(xiàng)分布,其參數(shù)n,p分別是什么？(1)拋擲n枚均勻的相同骰子,X表示“擲出的點(diǎn)數(shù)為1"的骰子數(shù)；(2)n個新生嬰兒,X表示男嬰的個數(shù)；(3)某產(chǎn)品的次品率為P，X表示72個產(chǎn)品中的次品的個數(shù)；⑷女性患色盲的概率為0.25%,X表示任取n個女性中患色盲的人數(shù).

思考交流典例講解例2：某公司安裝了3臺報(bào)警器，它們彼此獨(dú)立工作，且發(fā)生險(xiǎn)情時(shí)每臺報(bào)警器報(bào)警的概率均為0.9.求發(fā)生險(xiǎn)情時(shí)，下列事件的概率：(1)3臺都沒報(bào)警；(2)恰有1臺報(bào)警；(3)恰有2臺報(bào)警；⑷3臺都報(bào)警；(5)至少有2臺報(bào)警；(6)至少有1臺報(bào)警.

典例講解⑴3臺都沒報(bào)警的概率為P(X=0)=0.001；(2)恰有1臺報(bào)警的概率為P(X=l)=0.027；(3)恰有2臺報(bào)警的概率為P(X=2)=O.243；(4)3臺都報(bào)警的概率為F(X=3)=0.729；(5)至少有2臺報(bào)警的概率為P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=0.243+0.729=0.972；(6)至少有1臺報(bào)警的概率為P(X≥1)=1-P(X=0)=l—0.001=0.999.典例講解典例講解

（1）5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率；（2）5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率；（3）5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率.

典例講解一般地，若隨機(jī)變量X?B(n,p),則

特殊地，若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為P的兩點(diǎn)分布，則

EX=np,DX=np(l-p).EX=p,DX=p(l-p).三、二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的均值與方差探索新知例4某車間有5臺機(jī)床，每臺機(jī)床正常工作與否彼此獨(dú)立，且正常工作的概率均為0.2.設(shè)每臺機(jī)床正常工作時(shí)的電功率為10kW,但因電力系統(tǒng)發(fā)生故障現(xiàn)總功率只能為30kW,問此時(shí)車間不能正常工作的概率有多大(結(jié)果精確到0.001).典例講解

典例講解

典例講解

01234

1.判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：

其一是獨(dú)立性實(shí)驗(yàn)之間互不影響且一次試驗(yàn)中事件發(fā)生與不發(fā)生二者必居其一；

其二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是在相同條件下重復(fù)了n次．課堂小結(jié)2.二項(xiàng)分布是一種常見的概率分布，它應(yīng)用十分廣泛，利用二項(xiàng)分布的模型可以快速地寫出隨機(jī)變量的分布列，從而簡化了求隨機(jī)變量取每一個具體概率值的過程，因此我們應(yīng)熟練掌握二項(xiàng)分布．

利用二項(xiàng)分布來解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于在實(shí)際問題中建立二項(xiàng)分布的模型,也就是看它是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)，滿足這兩點(diǎn)的隨機(jī)變量才服從二項(xiàng)分布，否則就不服從二項(xiàng)分布．課堂檢測

D

BA.0.1

B.0.2

C.0.3

D.0.4

CA.6

B.5

C.4

D.3

6096課外思考：有人這樣認(rèn)為，拋擲一枚均勻的硬幣100次，恰好50次正面朝上的概率很大.你同意他的想法嗎？1.全班每人拋擲一枚均勻的硬幣100次(或利用科學(xué)計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬)，記錄正面朝上的次數(shù).計(jì)算恰好得到了50次正面朝上的同學(xué)人數(shù)占全班同學(xué)總?cè)藬?shù)的比例.2.每人再做一次試驗(yàn)，計(jì)算恰好得到了50次正面朝上的同學(xué)人數(shù)占全班同學(xué)總?cè)藬?shù)的比例.有人給出了一個拋擲均勻硬幣的模擬試驗(yàn)①，試驗(yàn)相當(dāng)于100個人，每人都拋擲100次均勻硬幣，記錄各自擲出正面朝上的次