專題01集合與常用邏輯用語

目錄

第一部分易錯點(diǎn)剖析

易錯典題避錯攻略舉一反三

易錯點(diǎn)1忽略集合中元素的互異性

易錯點(diǎn)2集合運(yùn)算中忽略空集

易錯點(diǎn)3集合區(qū)間端點(diǎn)混淆

易錯點(diǎn)4充要條件判定顛倒邏輯

易錯點(diǎn)5命題否定中量詞與結(jié)論漏改

易錯點(diǎn)6由命題的真假求參時不能正確轉(zhuǎn)化

第二部分易錯題闖關(guān)

易錯點(diǎn)1忽略集合中元素的互異性

易錯典題

【例1】（25-26高三上·湖北孝感高級中學(xué)期中）已知集合A1,3,a2，B1,a2，若ABB，則

實(shí)數(shù)a的值為（）

A．1B．2C．2或1D．1或1

【答案】B

【解析】若ABB，則集合B是集合A的子集，所以a23或a2a2.

當(dāng)a23時，a1，則A1,3，不滿足集合中元素的互異性，不合題意（易錯點(diǎn)）；

求得a1后，容易忽視回代檢驗(yàn)，從而致錯

當(dāng)a2a2時，a2a20，即a1a20，解得：a1或a2（易錯點(diǎn)），

注意將參數(shù)值回代到集合中去，檢驗(yàn)集合中元素的互異性

若a1，則A1,3,B1，不滿足集合中元素的互異性，不合題意；

若a2，則A1,3,4,B1,4，符合題意.

故實(shí)數(shù)a的值為2.

故選：B.

【錯因分析】本題易忽略集合元素的互異性而錯選C或D.

知識混淆：對“集合”概念理解不全面，忽略“集合中的元素具有互異性”這一特性，從而未將求得a的值

回代到集合中去檢驗(yàn).

概念模糊：對“元素與集合間的關(guān)系”的邏輯推導(dǎo)不清晰，未系統(tǒng)分析“集合A或B中元素不滿足互異性”

的可能性，導(dǎo)致思維存在漏洞.

望文生義：利用集合的運(yùn)算求得a的值后，就想當(dāng)然認(rèn)為所求得的a值即為最終結(jié)果，未結(jié)合參數(shù)a的取

值對集合A,B中元素是否滿足互異性進(jìn)行全面分析.

避錯攻略

【方法總結(jié)】建立“先求參數(shù)的值，再回代集合檢驗(yàn)”的思維流程，牢記“集合中的元素具有互異性”.

【知識鏈接】1.集合中元素的三大特性

(1)確定性：判斷對象能否構(gòu)成集合的依據(jù)．

(2)互異性：常用于檢驗(yàn)解的合理性，如求解集合中元素含有參數(shù)的問題，先根據(jù)其確定性列方程，求出值

后，再根據(jù)其互異性檢驗(yàn)．

(3)無序性：常用于判斷集合相等．

2.根據(jù)元素與集合以及集合間關(guān)系求參數(shù)的三大步驟

第一步：求解，根據(jù)集合中元素的確定性，解出字母的所有取值；

第二步：檢驗(yàn)，根據(jù)集合中元素的互異性，對解出的值進(jìn)行檢驗(yàn)；

第三步：作答，此處所有符合題意的字母取值（范圍）.

舉一反三

【變式1-1】（25-26高三上·浙江寧波六校期中）已知集合A12,a24a,a2，3A，則a（）

A．-1B．-3或1C．3D．-3

2

【變式1-2】（25-26高三上·山東青島·開學(xué)考試）已知A1,2,a,B2,a1，若ABA，則a

（）

A．1B．1C．2D．3

【變式1-3】（25-26高三上·湖北·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)集合A1,a,b，Ba2,a,ab，若AB，則

2025

ab（）

A．1B．0C．1D．2

易錯點(diǎn)2集合運(yùn)算中忽略空集

易錯典題

【例2】（2024·全國卷）已知集合A={x∣x2?3x+2=0}，B={x∣ax=1}，若B?A，則a的取值集合是

111

A．{0，1，?}B．{1，?}C．{0，?}D．{0，1?}

222

【答案】A

【解析】解方程x2?3x+2=0，因式分解得(x?1)(x?2)=0，解得x=1或x=2，因此A={1,2}.

集合B={x∣ax=1}，需分B=和B≠兩種情況討論（易錯點(diǎn)）：

不要忽視考慮B=這一?種情況?

情況1：B=方程ax=1?無解，此時a=0（因?yàn)楫?dāng)a=0時，0x=1無實(shí)數(shù)解）.空集是任何集合的子集，故a=0

符合條件.??

1111

情況2：B≠此時a≠0，方程ax=1的解為x=.因?yàn)锽A，所以必須是A中的元素，即=1或=2：

aaaa

1?11?

若=1，解得a=1；若=2，解得a=.

aa2

11

綜上，a的取值為0、1、，因此a的取值集合為{0，1，?}.

22

【錯因分析】求解“B?A”類問題時，漏算B=?的情況.

知識混淆：對“子集”概念理解不全面，忽略“空集是任何集合的子集”這一特殊性質(zhì)，僅關(guān)注B為非空集

合的情況.

概念模糊：對“集合包含關(guān)系”的邏輯推導(dǎo)不清晰，未系統(tǒng)分析“B為空集”的可能性，導(dǎo)致思維存在漏洞.

望文生義：看到“ax=1”就默認(rèn)方程有解，想當(dāng)然認(rèn)為B一定非空，未結(jié)合參數(shù)a的取值對集合B存在性

的影響進(jìn)行全面分析.

避錯攻略

【方法總結(jié)】建立“先判空集，再分析非空”的思維流程，牢記“空集是任何集合的子集”.

【知識鏈接】1.集合與元素關(guān)系的判斷方法

(1)直接法：集合中的元素是直接給出的．

(2)推理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．

【提醒】若集合是有限集，可將集合中的元素化簡并一一列出，再與有限集內(nèi)的元素進(jìn)行逐個對照，確定

是否存在與其相等的元素，進(jìn)而判斷集合與元素的關(guān)系；若集合是無限集，可將元素變形，看能否化為集

合中元素的形式，也可以代入集合的約束條件，判斷是否滿足，若滿足則屬于該集合，否則不滿足.

2.對于集合之間的關(guān)系常用到的結(jié)論：

(1)子集的傳遞性：AB，BCAC.

(2)ABA∩B＝AA?B＝B??UA?UB.

(3)空?集?是任何集合?的子∪集，是?任?何?非?空集合的真子集，故當(dāng)BA時，應(yīng)分B＝和B≠兩種情況討論.

???

3.破解集合間基本關(guān)系的方法：數(shù)軸法、Venn圖法.

舉一反三

【變式1-1】（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知集合Pxx21，Qxax1，若PQQ,則

a的值是（）

A．1B．1C．1或1D．0,1或1

【變式1-2】（24-25高三上·河北定州中學(xué)·階段測試）設(shè)集合

Axx23x20,Bxx22a1xa250.

(1)若AB2，求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若ABA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

易錯點(diǎn)3集合區(qū)間端點(diǎn)混淆

易錯典題

【例3】（25-26高三上·河南·開學(xué)考試）已知集合Ax∣x21x0,B{x∣2a3xa1}.

(1)若ABA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若ABA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

1

【答案】(1)0,;(2)4,

2

【解析】（1）Axx21x0x2x1，Bx2a3xa1，

因?yàn)锳BA等價(jià)于AB，

22a3

所以1a1（易錯點(diǎn)），

2a3a1

注意各端點(diǎn)值處的等號是否取得到

1

解得0a，

2

1

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,.

2

（2）因?yàn)锳BA等價(jià)于BA，

若B，則2a3a1（易錯點(diǎn)），

注意此處需取等號

即a4時，符合題意；

2a32

若B，則a11，無解（易錯點(diǎn)）；

2a3a1

列式時要考慮B自身滿足的條件：2a32，同時要注意端點(diǎn)值是否取等號

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為4,.

【錯因分析】

由集合間的關(guān)系或運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍時，容易因在區(qū)間端點(diǎn)處取不取等號而致錯.

知識混淆：對兩集合間“包含和真包含”概念理解不全面，從而導(dǎo)致列式時端點(diǎn)值該取等號時不取等號，

不能取等號時取等號.

概念模糊：對“集合包含關(guān)系”的邏輯推導(dǎo)不清晰，未系統(tǒng)分析“區(qū)間端點(diǎn)處是否能取等號”，導(dǎo)致思維存

在漏洞.

望文生義：分析兩集合間關(guān)系時，對區(qū)間端點(diǎn)值想當(dāng)然認(rèn)為能取等號，或者想當(dāng)然認(rèn)為不能取等號，未結(jié)

合數(shù)軸或Venn圖進(jìn)行全面分析.

避錯攻略

【方法總結(jié)】結(jié)合數(shù)軸或Venn圖，將集合表示出來，數(shù)形結(jié)合確定區(qū)間端點(diǎn)的取舍.

【知識鏈接】集合運(yùn)算的常見運(yùn)算性質(zhì)：

1.A∩B＝B∩A；A∩BA；A∩BB；A∩A＝A；A∩＝.

2.A∪B＝B∪A;AA?∪B;BA∪?B;A∪A＝A,A∪＝A

3.A∪(?UA)＝U，?A∩(?UA)＝?

舉一反三

【變式3-1】（25-26高三上·河南·階段練習(xí)）設(shè)全集UR，已知集合Axx21，集合

Bx2ax3a．

e

(1)當(dāng)a0時，求RAB；

(2)若AB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【變式3-2】(25-26高三上·北京·期中聯(lián)考）已知全集UR，集合Axx24x30，B{xx31}，

Cx|2axa2,aR

e

(1)分別求AB和AUB

；

(2)若BCB，求a的取值范圍；

(3)若AC，求a的取值范圍.

易錯點(diǎn)4充要條件顛倒邏輯

易錯典題

【例4】（25-26高三上·浙江寧波·階段測試）命題“x2,1，x2xa0”為假命題的一個充分不

必要條件是（）

1

A．a(chǎn)≤B．a(chǎn)0C．a(chǎn)6D．a(chǎn)8

4

【答案】D

【解析】若命題“x2,1，x2xa0”為假命題，

則命題的否定“x2,1，x2xa0”為真命題，

即ax2x，x2,1恒成立，

2

211

yxxx，x2,1，當(dāng)x2，取得最大值y6，

24

所以a6，選項(xiàng)中只有aa8是aa6的真子集，

所以命題“x2,1，x2xa0”為假命題的一個充分不必要條件為a8（易錯點(diǎn)）.

要注意“A是B的充分條件”和“A的充分條件是B”的區(qū)別.

故選D

【錯因分析】在判斷充分性和必要性時，易錯的地方是顛倒邏輯，混淆充分條件與必要條件.

知識混淆：不能區(qū)分“A的條件是B”和“A是B的條件”，將兩者混為一談.

概念模糊：對“充分性和必要性”的概念理解不夠透徹，從而導(dǎo)致思維存在漏洞.

望文生義：判斷或者探求充分性或必要性時，受思維定勢的影響，認(rèn)為“A的條件是B”等價(jià)于“A是B

的條件”，而未從邏輯上去分析兩者的區(qū)別.

避錯攻略

【方法總結(jié)】在判斷充分條件、必要條件、充要條件時，要特別注意哪一個是“條件”，哪一個是“結(jié)論”,

否則將犯“張冠李戴”的錯誤.需注意：若p是q的…,則p是條件，q是結(jié)論;若p的…條件是q,則p是結(jié)

論,q是條件.

【知識鏈接】1掌握充分、必要條件的概念及類型

(1)如果pq，則p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；

(2)如果pq，但qp，則p是q的充分不必要條件；

(3)如果pq，且q?p，則p是q的充要條件；

(4)如果qp，且pq，則p是q的必要不充分條件；

(5)如果pq，且q?p，則p是q的既不充分又不必要條件.

2.靈活運(yùn)?用判斷充分?、必要條件的方法

(1)定義法：直接利用定義進(jìn)行判斷；

(2)圖示法：多個條件間關(guān)系的判斷時，可以用用“”、“”、“”將條件彼此相連，然后再判斷它們之間的

關(guān)系.???

(3)利用集合間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷：

設(shè)滿足條件p的對象組成的集合為A，滿足條件q的對象組成的集合為B，則由集合間的包含關(guān)系易得如

下圖表:

記法A{x|p(x)},B{x|q(x)},

關(guān)系A(chǔ)BBAABAB,BA

AB

圖示

或

A

BB

AB

A=BA

p是q的充

p是q的必要p是q的充要p是q的既不充分

結(jié)論分不必要條

不充分條件條件也不必要條件.

件

(4)舉反例：要說明p是q的不充分條件,只要找到x0{x|p},但x0{x|q}即可．

舉一反三∈?

【變式4-1】（24-25高三上·青海西寧·期中）已知a0，b0，則使ab2成立的一個充分條件是

（）

A．a(chǎn)2b21B．a(chǎn)bab

C．2a2b4D．a(chǎn)b22

【變式4-2】（25-26高三上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A．AB是AB的充要條件

1

B．使不等式10成立的一個充分條件是1x0

x

C．若“x21”的一個必要不充分條件是“m2xm2”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是1m3

D．若關(guān)于x的不等式x22ax30在R上的解集是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是1a3

【變式4-3】（25-26高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知集合

Ax∣3x4,Bx∣1mx3m2,m1.

(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使得xA是xB成立的充要條件，若存在，求出實(shí)數(shù)m的值，若不存在，請說明理

由；

(2)若xA是xB成立的必要不充分條件，求出m的取值范圍.

易錯點(diǎn)5命題否定中量詞與結(jié)論漏改

易錯典題

【例5】（25-26高三上·河北·期中）設(shè)命題p:x0，2x2025cosx，則p的否定為（）

A．x0，2x2025cosxB．x0，2x2025cosx

C．x0，2x2025cosxD．x0，2x2025cosx

【答案】C

【解析】先變量詞：將變?yōu)椋?/p>

再否結(jié)論，將結(jié)論2x2025cosx否定為：2x2025cosx，

從而可得p的否定為：x0，2x2025cosx（易錯點(diǎn)）.

既要變量詞，又要否結(jié)論，缺一不可

故選C.

【錯因分析】在寫出含有一個量詞的命題的否定時，要注意“變量詞，否結(jié)論”，常見錯誤是只變量詞，

或者只否定結(jié)論.

知識混淆：以為命題的否定只需否定結(jié)論，或者只需修改量詞，錯因還是相關(guān)知識掌握不夠透徹.

概念模糊：未正確理解“命題的否定”的改寫方法，從而導(dǎo)致思維受阻.

望文生義：寫命題否定時，以為僅變量詞或僅否結(jié)論即可，從而造成邏輯錯誤.

避錯攻略

【方法總結(jié)】在寫出含有一個量詞的命題的否定時，只需先變量詞，再否定結(jié)論即可.

【知識鏈接】1.全稱量詞和存在量詞

量詞名稱常見量詞符號表示

全稱量詞所有、每一個、任意、任何、一切等

存在量詞有些、有一個、存在等?

2.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定?

命題名稱符號表示命題的否定

全稱量詞命題xM，x具有性質(zhì)p(x)xM，x不具有性質(zhì)p(x)

存在量詞命題?x∈M，x具有性質(zhì)p(x)?x∈M，x不具有性質(zhì)p(x)

[微提醒]對沒有量詞的命題否?定∈時，要結(jié)合命題的含義加上量詞，再改變?量∈詞.

舉一反三

【變式5-1】（25-26高三上·廣東梅州·期中）命題“x0,x22x30”的否定是（）

A．x0,x22x30B．x0,x22x30

C．x0,x22x30D．x0,x22x30

【變式5-2】（多選）（25-26高三上·陜西商洛·階段練習(xí)）已知命題p：平行四邊形的對角線相等，

q:x1,2,2xx40，則（）

A．p是存在量詞命題

B．q是存在量詞命題

C．p：有些平行四邊形的對角線不相等

D．q是真命題

易錯點(diǎn)6由命題的真假求參時不能正確轉(zhuǎn)化

易錯典題

【例6】（25-26高三上·山西·階段練習(xí)若命題p:x2,2，使得x22xm22m0為假命題，則

實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

A．,11,B．,02,

C．,42,D．,24,

【答案】D

【解析】因?yàn)閜為假命題，所以p:x2,2,x22xm22m0為真命題，

即當(dāng)2x2時，x22xm22m0恒成立（易錯點(diǎn)）.

本題易錯之處是不能將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題求解

因?yàn)楹瘮?shù)fxx22xm22m(x1)2m22m1圖象的對稱軸為x1，

22

所以當(dāng)2x2時，f(x)maxf2m2m8，所以m2m80，

即m22m80，解得m2或m4，

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為,24,.

故選：D.

【錯因分析】由含有一個量詞的命題的真假求參數(shù)的值或取值范圍時，不能正確進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而導(dǎo)致錯解.

知識混淆：混淆“恒成立”與“能成立”.

概念模糊：未正確理解由含有一個量詞命題的真假，從而導(dǎo)致無法正確轉(zhuǎn)化.

望文生義：審題不清，從而導(dǎo)致思維混亂.

避錯攻略

【方法總結(jié)】1.利用全稱量詞命題求解參數(shù)的范圍

全稱量詞命題的常見題型是“恒成立”問題，這是一類綜合性強(qiáng)，且有一定難度的問題，解決這類問

題時，若能分離參數(shù)，則盡量利用分離參數(shù)法求解.

2.利用存在量詞命題求解參數(shù)的范圍

存在量詞命題的常見題型是以滿足某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句來表述，

解答此類題目，一般要先對結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后由肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理證

明.若推出合理的結(jié)論，則存在性得以解決；若導(dǎo)致矛盾，則否定了存在性.

【知識鏈接】1.命題p和?p的真假性相反，在判斷命題的真假時，可先判斷此命題的否定的真假.

2．判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的否定的真假

(1)弄清命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，是正確寫出命題否定的關(guān)鍵.

(2)當(dāng)命題否定的真假不易判斷時，可以轉(zhuǎn)化為去判斷原命題的真假.當(dāng)原命題為真時，命題的否定為假;

當(dāng)原命題為假時，命題的否定為真.

3．不等式的恒成立：

若，恒成立，則

(1)xIf(x)0f(x)min0;

若，恒成立，則

(2)xIf(x)0f(x)max0.

(3)設(shè)f(x)與g(x)的定義域的交集為D若D恒成立則有.

xf(x)g(x)f(x)g(x)min0

若對、，恒成立，則

(4)x1I1x2I2f(x1)g(x2)f(x)ming(x)max.

4.不等式的能成立：

若，使得，則；

(1)x0If(x0)0f(x)max0

若，使得，則

(2)x0If(x0)0f(x)min0.

5.存在性與任意性并存：

若對，，使得則

(1)x1I1x2I2f(x1)g(x2),f(x)ming(x)min.

若對，，使得，則

(2)x1I1x2I2f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)max.

若，使得，則

(3)x2I2f(x1)g(x2)f(x)min<.

4.子集思想的應(yīng)用

已知在區(qū)間上的值域?yàn)椋趨^(qū)間上值域?yàn)椋?/p>

f(x)I1A,g(x)I2B

若對，使得成立，則

x1I1,x2I2f(x1)=g(x2)AB.

舉一反三

【變式6-1】（25-26高三上·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）若“x1,2,ax2x0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是.

4x1

【變式6-2】（25-26高三上·福建廈門·期中）已知函數(shù)fxx，gx2a，若x1,1，

x2

x22,3，使得fx1gx2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

x

【變式6-3】（25-26高三上·陜西商洛·月考）已知p：xR，ax2ax10，q：x1,1，2a0．

(1)若p為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若p，q中有且僅有一個為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

1．（25-26高三上·山東聊城·期中）已知命題p:x0,，x2x10，則p是（）

A．x,0，x2x10B．x,0，x2x10

C．x0,，x2x10D．x0,，x2x10

2．（25-26高三上·江蘇連云港·期中）已知集合A0,a，B1,a2,2a2，若AB，則a（）

2

A．1B．C．1D．2

3

a

3．（25-26高三上·重慶·階段練習(xí)）已知集合A1,4,a2，B4,，ABB，則實(shí)數(shù)a取值的集

2

合為（）

11

A．{2}B．{0}C．0,D．0,,2

22

4．（25-26高三上·新疆·月考）已知p：x0,，x2x10；q：x3,0，x53x1，則

（）

A．p是真命題，q是真命題B．p是真命題，q是真命題

C．p是真命題，q是真命題D．p是真命題，q是真命題

5．（25-26高三上·廣西·期中）“函數(shù)f(x)x22kx在(,3]上單調(diào)”的一個必要不充分條件可以是（）

A．k3B．k2C．k6D．k3

2e

6．（2025·新疆喀什·二模）已知集合Ax|x2，Bxx2x30，Cxxa且ARBCR，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A．1,B．,3

C．,1D．,3

7．（2025·北京·高考真題）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，則“f(x)的值域?yàn)镽”是“對任意MR，存在

x0D，使得fx0M”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條

件

8．（25-26高三上·福建福州·階段練習(xí)）fx2x33x212x，已知b0，若“fxa”的充要條件是

“xb”，則實(shí)數(shù)b的最小值為（）

51

A．2B．