第第頁廣東省陽江市第三中學(xué)2024--2025學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.）1．已知集合A=?π,?e,0,1,A．0,1,e B．?e,0,1 C．?2．若z=1+i1?A．?1 B．1 C．2i D．3．已知向量a=2,?1,b=A．4 B．5 C．35 D．4．已知sinα+cosα=A．?247 B．247 C．?5．5件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐一檢查，直至能確定所有次品為止，則第四次檢測結(jié)束的概率為（）A．310 B．25 C．356．若函數(shù)fx=lnA．1 B．12 C．－1 D．7．已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a3A．?8 B．?18 C．0 D．128．過雙曲線C:x22?y2=1的中心作直線l與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)雙曲線CA．33 B．1 C．2 D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9．對于直線l:x+y?1=0，下列說法正確的有（）A．直線l過點(diǎn)0,B．直線l與直線y=x垂直C．直線l的一個(gè)方向向量為1,1D．原點(diǎn)到直線l:x+y?1=0的距離為110．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列說法正確的是（）A．若B>C，則b>cB．sinC．若b2+cD．若b2+c11．若x+15A．a(chǎn)B．?dāng)?shù)據(jù)a0C．?dāng)?shù)據(jù)a0,aD．記i=05ai=μ，隨機(jī)變量X~N三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12．若函數(shù)fx=x2?2ax+413．已知拋物線C:x2=4y焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，則14．德陽市去年完工的華強(qiáng)溝水庫是壩斜面與水平面所成的二面角為60°，堤壩斜面上有一條直道CD與堤腳的水平線AB的夾角為30°，小李同學(xué)沿這條直道從C處向上行走到10米時(shí)，小李升高了四、解答題（本題共6小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.）15．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sinA?（1）求A；（2）若BD=2DA，BC=CD，求16．如圖，已知四棱錐S?ABCD的底面為菱形，∠BAD=π（1）求證：AC⊥平面BDS；（2）若AB=2,BS=3,DS=1，求四棱錐17．已知函數(shù)fx（1）若直線y=?1與曲線y=fx相切，求a（2）討論fx（3）若fx≤0在定義域內(nèi)恒成立，求18．已知橢圓x2a2+y（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)M0,2且斜率為k的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓外（O為原點(diǎn)），求k19．已知an是公差不為0的無窮等差數(shù)列.若對于an中任意兩項(xiàng)am，an，在an中都存在一項(xiàng)ai，使得（1）已知an=2n，bn=4n+3n=1,2,?，判斷數(shù)列a（2）若數(shù)列an具有性質(zhì)P，證明：a（3）若a1=18，求具有性質(zhì)P的數(shù)列

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：由題意可得B=x?2<x<3，所以A∩B=0,1,故答案為：A.【分析】解一元二次不等式得出集合B，再根據(jù)交集的運(yùn)算法則，從而得出集合A∩B.2．【答案】A【解析】【解答】解：z=1+i1?故答案為：A.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法、除法運(yùn)算，結(jié)合虛數(shù)的乘方求解即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：由2a?b=4?x,?4，且2a?所以b=6,2，

可得a?b=故答案為：B.【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示和向量垂直的坐標(biāo)表示，從而得出x的值，進(jìn)而得出向量b→的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的模的坐標(biāo)表示，從而得出a4．【答案】B【解析】【解答】解：將sinα+cosα=15與sin2α+cos2α=1聯(lián)立，由二倍角公式，可得tan2α=故答案為：B.【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和α∈0,π，從而得出角α的三角函數(shù)值，再利用二倍角的正切公式，從而得出5．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)闄z驗(yàn)4次的方法總數(shù)為A5又因?yàn)榍『脵z驗(yàn)4次就停止，所以前三次中檢驗(yàn)出一件次品，第4次檢驗(yàn)出第2件次品，共C3或前三次中檢驗(yàn)出一件次品，第4次檢驗(yàn)出一件正品，共C3所以滿足題意的概率為P=36+36故答案為：C．【分析】根據(jù)總的檢驗(yàn)方法數(shù)易求恰好檢驗(yàn)4次就停止，說明前三次中檢驗(yàn)出一件次品，第4次檢驗(yàn)出第2件次品或前三次中檢驗(yàn)出一件次品，第4次檢驗(yàn)出一件正品，再利用組合數(shù)公式，從而分別求出方法數(shù)后可得概率，再利用互斥事件加法求概率公式和古典概率公式，從而得出第四次檢測結(jié)束的概率.6．【答案】D【解析】【解答】解：函數(shù)fx=lnex?1+mx的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞)，

因?yàn)楹瘮?shù)fx=lnex?1所以f?x所以fx故選：D.【分析】先求得函數(shù)的定義域，進(jìn)而根據(jù)偶函數(shù)的定義，可得f?1=f17．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d因?yàn)閍3+S3=12,?a4+又因?yàn)镾9=9(a1故答案為：B.【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，再結(jié)合已知條件得出S98．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F'，連接PF'、QF'，

由∠PFQ=2π3不妨設(shè)P在雙曲線的右支上，再設(shè)PF'=m，PF=n，由雙曲線的定義，可得PF在?FPF'中，由余弦定理可得，則12=m2+所以S△PFQ故答案為：D.【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F'，連接PF'、QF'，根據(jù)雙曲線圖形的對稱性得到S△PFQ=S△PF9．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、把0,1代入x+y-1=0中得0+1-1=0，顯然直線l:x+y?1=0經(jīng)過點(diǎn)(0,1)B、由l:x+y?1=0可得y=?x+1，所以直線l的斜率為k1=?1，而直線y=x的斜率為k2=1，所以C、若直線l的一個(gè)方向向量為1,1，則其斜率應(yīng)該是k=1D、原點(diǎn)到直線l:x+y?1=0的距離為d=|?1|故選：AB.【分析】將0,110．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A，在?ABC中，B>C，則b>c，故A正確；對于B，因?yàn)閟in(A+C)=對于C，由b2+c2>對于D，由b2+c2<a2，得cos故答案為：ABD.【分析】根據(jù)三角形中的邊角關(guān)系判斷出選項(xiàng)A；利用三角形內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式，則判斷出選項(xiàng)B；利用已知條件和余弦定理以及三角形形狀的判斷方法，則判斷出選項(xiàng)C和選項(xiàng)D，從而找出說法正確的選項(xiàng).11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于選項(xiàng)A：令x=0，則a0對于選項(xiàng)B：因?yàn)閤+15的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=可得a0又因?yàn)閿?shù)據(jù)a0+1,a則平均數(shù)為x=方差為s2所以標(biāo)準(zhǔn)差為3，故B正確；對于選項(xiàng)C：將數(shù)據(jù)a0,a1,所以，該數(shù)據(jù)40%對于選項(xiàng)D：因?yàn)閕=05所以PX<20故答案為：ABD.

【分析】利用已知條件和賦值法，則判斷出選項(xiàng)A；根據(jù)二項(xiàng)式定理求出展開式的通項(xiàng)，再利用平均數(shù)公式和方差公式，則判斷出選項(xiàng)B；根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算公式，則可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)正態(tài)分布對應(yīng)的概率密度函數(shù)的圖象的對稱性，則判斷出選項(xiàng)D，從而找出結(jié)論正確的選項(xiàng).12．【答案】0,+∞【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)fx圖象的對稱軸為直線x=a，

由fx在0,+∞所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,+∞故答案為：0,+【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱性和單調(diào)性，從而得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.13．【答案】2【解析】【解答】解：由拋物線的定義，

則|PF|等于點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線y=?1的距離，因?yàn)閤P=2，代入x2=4y，所以|PF|=y故答案為：2.【分析】利用拋物線的定義進(jìn)行距離轉(zhuǎn)化，從而得出|PF|的值.14．【答案】5【解析】【解答】解：取CD上一點(diǎn)E，設(shè)CE=10米，

過點(diǎn)E作直線AB所在的水平面的垂線EG，垂足為G，

則線段EG的長就是所求的高度，在河堤斜面內(nèi)，作EF⊥AB，垂足為F，連接FG，

由三垂線定理的逆定理，得出FG⊥AB，所以∠EFG就是河堤斜面與水平面ABG所成的二面角的平面角，則∠EFG=60所以EG=EFsin故答案為：532.

【分析】取CD上一點(diǎn)E，過點(diǎn)E作直線AB所在的水平面的垂線EG，垂足為G，則線段EG的長為所求的高度，在河堤斜面內(nèi)，作EF⊥AB，垂足為F，連接FG，由三垂線定理的逆定理，得出FG⊥AB，則∠EFG就是河堤斜面與水平面ABG所成的二面角的平面角，從而得出∠EFG=6015．【答案】（1）解：因?yàn)閟inA?sinBc?b=所以b2+c2?由0<A<180°，

???????得（2）解：如圖，

因?yàn)锽D=2DA，BC=DC，

所以AD=13在?ADC中，由余弦定理，

得DC則a2在?ABC中，由余弦定理，

得BC則a2=所以c29+b2由c>0，解得b=43c，

代入①，得a2=139在?ABC中，由余弦定理，

得cosB=【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合正弦定理和余弦定理以及三角形中角A的取值范圍，從而得出角A的值.（2）由（1）結(jié)合題意可得AD=13c，DC=a，在?ADC和?ABC中，利用余弦定理建立方程c29+b（1）sinA?sinB得b2+c由0<A<180°，得（2）如圖，因?yàn)锽D=2DA，BC=DC，所以AD=1在△ADC中，由余弦定理得DC即a2在△ABC中，由余弦定理得BC即a2=所以c29+由c>0解得b=43c，代入①得a2=在△ABC中，由余弦定理得cosB=16．【答案】（1）證明：設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，

所以AC⊥BD，且O為AC、BD中點(diǎn)，又因?yàn)锳S=CS，

所以SO⊥AC,SO∩BD=O,SO、BD?平面BDS，所以AC⊥平面BDS.（2）解：因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠BAD=π3,AB=2，

所以?ABD是等邊三角形，

在?BDS中，BS=3,DS=1,BD=2，滿足根據(jù)勾股定理逆定理，可知∠BSD=90°，則由（1）知AC⊥平面BDS，

所以VS?ABCD又因?yàn)镾△SBD所以VS?ABCD【解析】【分析】（1）由菱形的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，從而可得線線垂直，再根據(jù)線面垂直的判定定理得出直線AC⊥平面BDS.（2）由菱形的性質(zhì)與勾股定理以及逆定理，從而得出SD⊥SB，結(jié)合（1）知AC⊥平面BDS，再利用三角形面積公式和四棱錐體積公式，從而得出四棱錐S?ABCD的體積.（1）設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以AC⊥BD，且O為AC、BD中點(diǎn).又因?yàn)锳S=CS，所以SO⊥AC,SO∩BD=O,SO、BD?平面BDS，所以AC⊥平面BDS.（2）因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠BAD=π3,AB=2，所以△ABD在△BDS中，BS=3,DS=1,BD=2，滿足根據(jù)勾股定理逆定理可知∠BSD=90°，即由（1）知AC⊥平面BDS，所以VS?ABCDS△SBD則VS?ABCD17．【答案】（1）解：因?yàn)閒x=lnax+x由f'x=1x+1=0，

可得x=?1，

所以直線則f?1=ln?a?1=?1（2）解：因?yàn)閍<0，

所以函數(shù)fx的定義域?yàn)?由f'x=x+1x<0，

可得?1<x<0，

由所以，函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?∞,?1（3）解：由（2）可得fxmax=f?1=又因?yàn)閍<0，

所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是?e【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再結(jié)合切線方程可得出切點(diǎn)的坐標(biāo)，將切點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)fx的解析式，從而可得實(shí)數(shù)a（2）利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系，從而得出函數(shù)fx（3）由（2）可得fxmax，再解不等式fxmax≤0（1）因?yàn)閒x=ln由f'x=1x+1=0，可得x=?1，所以直線故f?1=ln（2）因?yàn)閍<0，所以函數(shù)fx的定義域?yàn)?由f'x=x+1x<0可得故函數(shù)fx的增區(qū)間為?∞,?1（3）由（2）可得fxmax=f又因?yàn)閍<0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是?e18．【答案】（1）解：設(shè)橢圓的半焦距為c，

則2c=23，得c=因?yàn)闄E圓離心率為ca=32，

解得所以，橢圓的方程為x2（2）解：設(shè)直線的方程為y=kx+2，Ax1,y由y=kx+2x24+y由Δ=16k2則x1+x因?yàn)辄c(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓外，

所以∠AOB為銳角，因?yàn)锳,B,O不共線，

所以cos∠AOB>0則OA?OB>0，

又因?yàn)閥所以x=12解得k2因?yàn)閗2>3解得?2<k<?32或則實(shí)數(shù)k的取值范圍為?2,?3【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦距公式和離心率公式以及橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式，從而可得a,b,c的值，進(jìn)而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)題意，設(shè)出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，再根據(jù)韋達(dá)定理和點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓外，則∠AOB為銳角其余弦值大于0，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示和k2>3（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，則2c=23，得c=又離心率為ca=32，解得故橢圓的方程為x2（2）設(shè)直線的方程為y=kx+2，Ax1,y由y=kx+2x24由Δ=16k2則x1+因?yàn)辄c(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓外，所以∠AOB為銳角，因A,B,O不共線，所以cos∠AOB>0故OA?OB>0因y所以x=解得k2因?yàn)閗2>3解得?2<k<?32或故實(shí)數(shù)k的取值范圍為?2,?319．【答案】（1）解：因?yàn)閍n=2n，aman=2m×2n=22mn=a2mn，又因?yàn)閎n=4n+3，令m=1,n=2，

則b1b2=4+34×2+3=7×11=77，77=4×19+1

（2）證明：設(shè)數(shù)列an的公差為dd≠0，

因?yàn)閿?shù)列an具有性質(zhì)P，

同理，存在aj=ana則j?id=and，

因?yàn)?/p>