【數學競賽】2025年廣東省佛山市南海區(qū)九年級潛能學生學科核心素養(yǎng)監(jiān)測數學試題（含答案）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.若a、b互為相反數，c、d互為倒數，m的絕對值為2，則m2A.-3B.3C.-5D.3或-5答案：B解析：因為a、b互為相反數，所以a+b=0；因為c、d互為倒數，所以cd=1；因為m的絕對值為2，所以m2=4，m=±2。當m=2時，m2-cd+a+b2.已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結論：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④2c<3b；⑤a+b>m(am+b)A.①②③B.②③④C.③④⑤D.②③⑤答案：C解析：①由拋物線開口向下得a<0，對稱軸x=-b2a>0，得b>0，拋物線與y軸交于正半軸，得c>0②當x=-1時，y=ab+c<0，所以b>a+c，故②錯誤。③當x=2時，y=4a+2b+c>0，故③正確。④由對稱軸x=-b2a=1，得a=-b2，把x=-1，y=ab+c<0中的a=-⑤當x=1時，y有最大值a+b+c，當x=m時，y=am2+bm+c，所以a+b+c>am2+bm+c（3.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D，下列結論中：①BC=BD=AD；②△ABC~△BCD；③S△ABD:SA.1個B.2個C.3個D.4個答案：D解析：①因為AB=AC，∠A=36°，所以∠ABC=∠ACB=72°，因為BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC=36②因為∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，所以③因為△ABD與△BCD高相同，根據三角形面積公式S=12ah④由△ABC~△BCD得BCAC=DCBC，又BC=AD，所以ADAC4.已知關于x的方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有兩個實數根xA.-154B.-1C.-答案：A解析：由韋達定理得x1+xx1因為方程有兩個實數根，所以Δ=(2k+1)2-4(當k=14時，-(k1)5.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是BC邊上一點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在點B'處。當△CEB'A.3B.6C.3或6D.3或3答案：C解析：分兩種情況討論：當∠EB'C=90°時，因為∠AB'由勾股定理得AC=2AB2+BC2=262在Rt△EB'C中，根據勾股定理x當∠B'EC=90°時，此時B'落在6.如圖，在平面直角坐標系中，A(0,4)，B(-3,0)，以點B為圓心，5為半徑作⊙B，交x軸于C、D兩點，點P是⊙B上一動點，連接AP，則線段AP的最小值是（）A.3B.4C.5D.6答案：B解析：連接AB，由A(0,4)，B(-3,0)，根據勾股定理得AB=2因為點P是⊙B上一動點，⊙B半徑為5，所以AP的最小值為AB5=51=4。7.已知反比例函數y=kx（k≠0）的圖象經過點(2,3)，若x>2，則A.y>3B.y<3C.0<y<3D.y>0答案：C解析：把(2,3)代入y=kx得k=2×3=6，所以反比例函數解析式為當x=2時，y=3，因為k=6>0，在每個象限內y隨x的增大而減小，當x>2時，0<y<3。8.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分線，DE?AB于點E。若AB=10，則A.8B.10C.12D.14答案：B解析：因為AD是∠BAC的平分線，∠C=90°，DE?AB，所以CD=DE，又因為AC=BC，所以BC=AE?！鱀BE的周長為BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=10。9.若關于x的不等式組{xa?032x>-1有且只有3個整數解，則a的取值范圍是（）A.-2?a<-1B.-2<a?-1C.-3<a?-2D.-3?a<-2答案：D解析：解不等式xa?0得x?a，解不等式32x>-1得x<2，所以不等式組的解集為a?x<2。因為不等式組有且只有3個整數解，即-1，0，1，所以-3?a<-2。10.如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A、B在x軸上，頂點D在反比例函數y=kx（k>0）的圖象上，頂點C在反比例函數y=4A.2B.4C.6D.8答案：B解析：設A(a,0)，B(b,0)，因為四邊形ABCD是正方形，所以D(a,ba)，C(b,ba)。因為點D在y=kx上，點C在y=4x上，所以k=a(ba)，又因為AB=ba，正方形面積S=(ba)2，由k>0，可得二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11.分解因式：a3答案：a(a2解析：a312.已知圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，則圓錐的側面積是cm答案：15π解析：圓錐的側面積公式為S=πrl（其中r為底面半徑，l為母線長），所以S=π×3×5=15π(cm13.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D，若AC=2，則答案：2解析：因為AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC，所以△ABC~△BCD，設AD=x，則DC=2x，由ADAB=BCAC，又BC=BD=AD=x，所以14.若關于x的分式方程xax1-3答案：1或-2解析：方程兩邊同乘x(x1)得x(xa)-3(x1)=x(x1)，展開得x2移項合并得(a+2)x=3。當a+2=0，即a=-2時，方程無解。當x=0或x=1是增根時，原方程無解。把x=0代入(a+2)x=3，方程不成立；把x=1代入(a+2)x=3，得a+2=3，解得a=1。15.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF。在此運動變化的過程中，答案：25解析：連接CD，因為∠C=90°，AC=6，BC=8，所以AB=262+82=10，因為D是AB中點，所以CD=AD=BD=5，∠A=∠DCF，又AE=CF，所以△ADE?△CDF(SAS)設AE=CF=x，則CE=6x，CF=x，EF2=(6x)2+x2=2x216.如圖，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3，?，An在x軸正半軸上，點B1，B2，B3，?，Bn在直線y=233x上，若A1答案：2解析：先求出B1的坐標，因為△A1B1A2是等邊三角形，A1(1,0)同理可得B2的橫坐標為2×(2+1)，A3(4,0)，B3的橫坐標為4×(4+1)，?，則Bn的橫坐標為2n1(三、解答題（本大題共6小題，共66分）17.（本題滿分10分）先化簡，再求值：(x+2x2解：\begin{align}&(\frac{x+2}{x(x2)}-\frac{x1}{(x2)^{2}})\div\frac{x4}{x}\\=&[\frac{(x+2)(x2)}{x(x2)^{2}}-\frac{x(x1)}{x(x2)^{2}}]\cdot\frac{x}{x4}\\=&\frac{x^{2}-4x^{2}+x}{x(x2)^{2}}\cdot\frac{x}{x4}\\=&\frac{x4}{x(x2)^{2}}\cdot\frac{x}{x4}\\=&\frac{1}{(x2)^{2}}\end{align}當x=2+22時，原式18.（本題滿分10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE?AC于點E。（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為3，∠BAC=60°，求（1）證明：連接OD，因為OB=OD，所以∠B=∠ODB，又因為AB=AC，所以∠B=∠C，則∠ODB=∠C，所以OD∥AC。因為DE?AC，所以DE?OD，又OD是⊙O的半徑，所以DE是⊙O的切線。（2）解：因為AB=AC，∠BAC=60°，所以△ABC是等邊三角形，所以因為AB=2×3=6，所以BC=6，因為AB是⊙O的直徑，所以AD?BC，BD=DC=3。在Rt△DEC中，sinC=DEDC，因為sin60°=19.（本題滿分12分）某商場銷售一種商品，已知這種商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系：y=-2x+100。設銷售這種商品每天的利潤為W（元），已知該商品的進價為每件20元。（1）求W與x之間的函數關系式；（2）當銷售單價為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少元？（3）如果該商場要使每天的銷售利潤不低于500元，且銷售量不低于20件，求銷售單價x的取值范圍。解：（1）W=(x20)y=(x20)(-2x+100)=-2x（2）W=-2x2+140x2000=-2(x35)2+450，因為-2<0，所以當即當銷售單價為35元時，每天的利潤最大，最大利潤是450元。（3）由W=-2x2+140x2000?500，即-2對于方程x2-70x+1250=0，x=70±2490050002=70±102又因為y=-2x+100?20，即-2x?20100，-2x?80，解得x?40。綜上，25?x?40。20.（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+b與反比例函數y=mx（m≠0）的圖象交于A(2,4)，（1）求反比例函數和一次函數的表達式；（2）求△AOB的面積；（3）直接寫出不等式kx+b>m（1）解：把A(2,4)代入y=mx得m=2×4=8，所以反比例函數表達式為把B(-4,n)代入y=8x得n=8把A(2,4)，B(-4,-2)代入y=kx+b得{2k+b=4-4k+b=-2，兩式相減得6k=6，解得k=1，把k=1代入2k+b=4得2+b=4，解得b=2，所以一次函數表達式為y=x+2。（2）解：設直線y=x+2與y軸交于點C，令x=0，則y=2，所以C(0,2)。S△AOB（3）解：由圖象可知，不等式kx+b>mx的解集為-4<x<0或21.（本題滿分10分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，E、F分別是AB、CD的中點，連接EF，BD，BD與EF交于點O。（1）求證：OE=OF；（2）若∠ABD=30°，BD=12，求（1）證明：連接DE，BF，因為AB∥CD，E、F分別是AB、CD的中點，所以DF=12CD，BE=12AB，又AB=CD，所以DF=BE，且（2）解：因為AD=BC，AB∥CD，所以四邊形ABCD是等腰梯形，所以AC=BD=12。因為四邊形DEBF是平行四邊形，所以EF與BD互相平分，OB=1過點E作EH?BD于點H，因為∠ABD=30°，所以設EH=x，則BE=2x，BH=23x，在Rt△EOH中，OH=OBBH=6-又因為EF=2OE，由∠ABD=30°，可得OE=3，所以22.（本題滿分12分）已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A(-1,0)，B(3,0)（1）求拋物線的表達式；（2）點P是拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，垂足為D，交直線BC于點E。①當點P在對稱軸右側的拋物線上運動時，是否存在點P，使四邊形OCEB的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。②當△BCE是以BC為直角邊的直角三角形時，求點P的坐標。（1）解：設拋物線的表達式為y=a(x+1)(x3)，把C(0,3)代入得3=a(0+1)(03)，解得a=-1，所以拋物線的表達式為y