第六章

平行四邊形專(zhuān)項(xiàng)突破14

平行四邊形性質(zhì)和判定的常見(jiàn)應(yīng)用榮德基eUDDEE溫馨提示：點(diǎn)擊

進(jìn)入講評(píng)5678習(xí)題鏈接1234中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段CE上，連接BH,

點(diǎn)G,F

分別為BH,CH

的中點(diǎn)

.(1)求證：四邊形DEFG為平行四邊形；專(zhuān)項(xiàng)突破1.[2023株洲]如圖，在△ABC中，點(diǎn)D,E分別為AB,AC的專(zhuān)項(xiàng)突破證明：∵點(diǎn)D,E

分別為AB,AC的中點(diǎn)，∴DEIIBC,

∵點(diǎn)G,F分別為BH,CH的中點(diǎn)，.GFIIBC,GF=BC,∴GFIIDE,GF=DE,∴四邊形

DEFG

為平行四邊形.專(zhuān)項(xiàng)突破(2若DG

⊥BH,BD=3,EF=2,

求線段BG的長(zhǎng)度

.解：∵四邊形DEFG

為平行四邊形，∴DG=EF=2.∵DG⊥BH,

∴∠DGB=90°.∵BD=3,專(zhuān)項(xiàng)突破2.[2024浙江模擬]如圖，在□ABCD中，BE⊥AC于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F.(1)求證：AE=CF;專(zhuān)項(xiàng)突破證明：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴ABIICD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF.∵BE⊥AC于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,∴∠AEB=∠CFD=90°.∠AEB=∠CFD,在△ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCF,AB=CD,∴△ABE≌△CDF(AAS),∴AE=CF.專(zhuān)項(xiàng)突破

(2)若AD=5,AB=

√

13,EF=2,

求

AC

的

長(zhǎng)

.解：∵AB=√

13,∴CD=√

13.易知∠AFD=∠CFD=90°.由(1)知

AE=CF,

設(shè)

AE=CF=x.

∵EF=2,∴AF=2+x.在Rt△ADF和

Rt△CDF

，得

AD2-AF2=CD2-CF2,即52-(2+

x)2=(

√

13)2-x2,解得x=2,∴AE=CF=2,∴AC=AE+EF+CF=2+2+2=6

.返回專(zhuān)項(xiàng)突破3.

如圖，將-ABCD

沿過(guò)點(diǎn)A

的直線l折疊，使點(diǎn)D

落到AB邊上的點(diǎn)D

處，直線l交CD

邊于點(diǎn)E,連接BE.若BE

平

分∠ABC,

求證：AB2=AE2+BE2

.專(zhuān)項(xiàng)突破證明：∵BE平分∠ABC,

∴∠CBE=∠EBA.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADIIBC.∴∠DAB+∠ABC=180°.由折疊的性質(zhì)可得∠DAE=∠BA∴∠BAE+∠EBA=90°.

∴∠AEB=90°.∴AB2=AE2+BE2.(1)求證：四邊形ABDE是平行四邊形；證明：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴AB//CD,AB=CD.∵DE=CD,

B∴AB=DE,∴四邊形ABDE是平行四邊形.專(zhuān)項(xiàng)突破4.[2024濟(jì)南萊蕪區(qū)期末]如圖，已知-ABCD,AC,BD

相交于點(diǎn)0,延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E,

使DE=CD,連接AE.EC專(zhuān)項(xiàng)突破(2)連接BE,

交AD于點(diǎn)F,連接OF,判斷CE與OF的數(shù)量關(guān)

系，并說(shuō)明理由.解：CE

與

0F的數(shù)量關(guān)系為CE=4OF.理由如下：由(1)得四邊形ABDE是平行四邊形，∴BF=

EF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴

OB=OD,∴OF

是△BDE的中位線，∴DE=20F.∵CD=DE,∴CE=2DE,∴CE=4OF.

專(zhuān)項(xiàng)突破5.

如圖，□

ABCD

中，E是BC

的中點(diǎn)，AE=9,BD=12,AD=10.求證：AE⊥BD.專(zhuān)項(xiàng)突破證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH//AE

交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC,BC=AD=10,∴四邊形AEHD是平行四邊形，∴DH=AE=9,EH=AD=10.∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=5,∴BH=15.∵DH2+BD2=225,BH2=225,∴DH2+BD2=BH2,

∴∠BDH=90°,∴BD⊥DH.∵AE//DH,∴AE⊥BD.返回A專(zhuān)項(xiàng)突破6.[2024濟(jì)寧兗州區(qū)月考]如圖，在-ABCD

中

，AD⊥

BD,AD=4,OD=3.(1)求△COD的周長(zhǎng)；專(zhuān)項(xiàng)突破解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴△COD

的周長(zhǎng)為

OD+OC+CD=8+2

√

13.∴BD=2OD=2×3=6.∵AD⊥BD,AD=4,∴CD=AB=2√

13,OC=OA=5,。

。專(zhuān)項(xiàng)突破(2)直接寫(xiě)出ABCD的面積.解：SABCD=AD·BD=4×6=24專(zhuān)項(xiàng)突破7.

如圖，在四邊形

ABCD

中，AD//BC,BC=18

cm,AD=10

cm,AB=12

cm,動(dòng)點(diǎn)P,Q

分別從A,C

同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2

cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以3

cm/s的速度由C

向B

運(yùn)動(dòng).幾秒后，四邊形ABQP

為平行四邊形?并求出此時(shí)四邊形ABQP的周長(zhǎng)

.專(zhuān)項(xiàng)突破解：設(shè)xs

后，四邊形ABQP為平行四邊形.∵AD//BC,∴

當(dāng)AP=BQ

時(shí)，四邊形ABQP為平行四邊形，此時(shí)2x=18-3x,

解得x=3.6.∴3.6s后，四邊形ABQP為平行四邊形，此時(shí)四邊形ABQP

的周長(zhǎng)是3.6×2×2+12×2=38.4(cm).專(zhuān)項(xiàng)突破8.問(wèn)

題

：如圖①,在□ABCD中

，AB=8,AD=5,∠DAB,

∠ABC

的平分線AE,BF

分別與直線CD交于點(diǎn)E,F,則EF=

2

(1)把“問(wèn)題”中的條件“AB=8”去掉，其余條件不變.①如圖②,當(dāng)點(diǎn)E

與點(diǎn)F重合時(shí)，求AB

的長(zhǎng)；A

BB①

②A專(zhuān)項(xiàng)突破解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB,BC=AD=5,AB//CD,∴∠DEA=∠BAE.∵AE

平分∠DAB,

∴∠DAE=∠BAE,∴∠DEA=∠DAE,∴DE=AD=5.同理CF=BC=5.∵點(diǎn)

E

與點(diǎn)F

重合，∴

AB=CD=DE+CF=10.專(zhuān)項(xiàng)突破②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C

重合時(shí)，則EF=

5

專(zhuān)項(xiàng)突破(2)把“問(wèn)題”中的條件“AB=8,AD=