第十八章平行四邊形專項(xiàng)突破練6判定平行四邊形的五種

常用方法榮德基2UDDE方法1

利用兩組對(duì)邊分別平行判定平行四邊形1.如圖，在-ABCD

中

，E,F

分別為AD,BC上的點(diǎn)，且BF=DE,連接AF,CE,BE,DF,AF

與BE相交于點(diǎn)M,DF

與CE相交于點(diǎn)N.求證：四邊形FMEN為平行四邊形.證明：∵

四邊形ABCD

是平行四邊形，

DE=BF

,∴DE蘭BF.:四邊形BFDE為平行四邊形.∴BE//DF.

同

理

，AF//CE.∴

四邊形FMEN為平行四邊形.BC方法2利用兩組對(duì)邊分別相等判定平行四邊形2.如圖，在四邊形ABCD

中，AB=DC,AD=BC,點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AD

上，AF=CE,EF

與對(duì)角線BD

相交于點(diǎn)0.求證：0是BD

的中點(diǎn).證明：如圖，連接BF,DE.∵AB=CD,AD=BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.

∴AD//BC.∵AF=CE,AD=BC,∴DF=BE.又∵

DF//BE,∴四邊形BEDF

是平行四邊形.

∴OB=0D,

即0是BD的中點(diǎn).3.如圖，已知△ABD,△BCE,△ACF

都是等邊三角形.求證：四邊形ADEF

是平行四邊形.證明：∵△ABD,△BCE,△ACF都是等邊三角形，∴BA=BD=AD,BC=BE=CE,AF=AC=CF,∠DBA=∠EBC=60°.∴∠EBC-∠EBA=∠DBA-∠EBA,即∠ABC=∠DBE.∴△ABC≌△DBE(SAS).∴AC=DE.∴AF=DE.同理可證△ABC≌△FEC,∴AB=FE.∴AD=EF.∴

四邊形ADEF是平行四邊形.方法3利用一組對(duì)邊平行且相等判定平行四邊形4.如圖，在-ABCD中，點(diǎn)E,F

分別是邊AB,CD

的中點(diǎn)，求證：

AF=CE.證明：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴AB//CD,AB=CD.∵

點(diǎn)E,F分別是邊AB,CD

的中點(diǎn)，

,

∴AE=CF,∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF=CE.5.

[教材P50習(xí)題T?變式]如圖，點(diǎn)E,F在□ABCD的邊BC,AD

上

，

,連接BF,DE.求證：四邊形

BEDF

是平行四邊形.證明：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴AD=BC,AD//BC.又∵

DF//BE,∴

四邊形BEDF

是平行四邊形.,

∴BE=DF.方法4利用兩組對(duì)角分別相等判定平行四邊形6.

[教材P50習(xí)題T?0變式]如圖，在-ABCD中，BE

平分∠ABC,

交AD

于點(diǎn)E,DF平分∠ADC,

交BC于點(diǎn)F,那么四邊形BFDE是平行四邊形

嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.解：四邊形BFDE

是平行四邊形.理由：在-ABCD中，∠ABC=∠ADC,∠A=∠C.∵BE平分∠ABC,DF

平分∠ADC,

.∴∠ABE=∠CBE=∠CDF=∠ADF.∵∠DFB=∠C+∠CDF,∠BED=∠ABE+∠A,∴∠DFB=∠BED.∴四邊形BFDE是平行四邊形.7.

[教材P47習(xí)題例4變式]如圖，在-ABCD

中，∠DAB=60

°,

點(diǎn)E,F

分別在CD,AB的延長(zhǎng)線上，且AE=AD,CF=CB.(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；證明：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴DC//AB,∠DCB=∠DAB=60°.∴∠ADE=∠DAB=∠DCB=∠CBF=60°.∵AE=AD,CF=CB,∴△AED,△CFB

是等邊三角形.∴∠AEC=∠BFC=60°,

∠EAD=∠FCB=60°.∴∠EAF=∠FCE=120°.∴

四邊形AFCE是平行四邊形.(2)若去掉已知條件的“∠DAB=60°”,

上述的結(jié)論還成立嗎?若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：上述的結(jié)論還成立.證明如下：∵

四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠DAB=∠BCD,AD=BC,DC//AB,AD//BC.∴∠ADE=∠BCD,∠BCD=∠CBF.∴∠ADE=∠CBF.∵AE=AD,CB=CF,∴∠ADE=∠AED,∠CBF=∠CFB.∴∠AED=∠CFB.又∵∠ADE=∠CBF,AD=CB,∴△ADE≌△CBF(AAS).∴∠DAE=∠BCF,

∴∠EAF=∠ECF,∴

四邊形AECF

是平行四邊形.方法5利用對(duì)角線互相平分判定平行四邊形8.如圖①,□ABCD

中，點(diǎn)0是對(duì)角線AC

的中點(diǎn)，EF

過(guò)點(diǎn)0,與AD,BC

分別相交于點(diǎn)E,F,GH

過(guò)點(diǎn)0,與AB,CD

分別相交于點(diǎn)G,H,連

接EG,FG,FH,EH.(1)求證：四邊形EGFH是平行四邊形；證明：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴AD//BC.

∴∠EAO=∠FCO.∵0是AC

的中點(diǎn)，∴OA=OC.∴△OAE≌△OCF(ASA).∴OE=0F.同理可得OG=0H,∴

四邊形EGFH

是平行四邊形.在△OAE

和△OCF

中

，(2)如圖②,