第一章

三角形的證明2等腰三角形第1課時

等腰三角形的性質(zhì)榮德基UDDE

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進(jìn)入講評235689⑩答案呈現(xiàn)BBBBA131.[2025廣安期中]已知△ABC是等腰三角形，若∠A=40°,則△ABC的頂角度數(shù)是(

C

)A.40°B.100°C.40°或100°D.

以上都不正確基礎(chǔ)提優(yōu)題榮德基eUDEre2.

[2025揚州]在如圖的房屋人字梁架中，AB=AC,點D在BC上，下列條件不能說明AD⊥BC的是(B)A.∠ADB=∠ADCB.∠B=∠CC.BD=CDD.AD

平分∠BAC基礎(chǔ)提優(yōu)題榮德基eUDEre別落在直線l,m上，若∠ABE=21°,則∠ACD的度數(shù)是(B

)A.45°B.39°C.29°D.21°

基礎(chǔ)提優(yōu)題3.如圖，直線l//m,等邊三角形ABC的兩個頂點B,C

分榮德基eUDEre基礎(chǔ)提優(yōu)題4.如圖，在△ABC中，AB=AC,點D

在AC

上，且BD=BC=AD,

則∠DBC的度數(shù)是(

)A.30°B.36°C.45°D.54°榮德基eUDEre基礎(chǔ)提優(yōu)題【點

撥

】設(shè)∠A=x°.∵BD=AD,∴∠ABD=∠A=x°.

∴∠BDC=2x°.∵BD=BC,

∴∠BCD=∠BDC=

2x°.∵AB=AC,

∴∠ABC=∠BCD=2x°.

∴∠DBC=x°.

∴x+2x+2x=180,解得x=36.∴∠DBC=36°

.【答案】B榮德基eUDEre基礎(chǔ)提優(yōu)題5.如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°,

在BC上截取BD=BA,作∠ABC的平分線與AD相交于點P,連接PC,若△ABC的面積為4cm2,則△BPC的面積為APB

D

C榮德基2

cm2【點撥】∵BD=BA,BP是∠ABC的平分線，∴AP=PD..∴.S△ABD,

∵△ABC的面積為4cm2,

基礎(chǔ)提優(yōu)題

榮eU

E基re6.

如圖，在等邊三角形ABC中，點D,E

分別在邊AB,BC上，把△BDE

沿直線DE

翻折，使點B落在點B'處，DB',

EB′分別交邊AC于點F,G.如果測得∠GEC=36°,那么∠ADF=

84°

>B′GB

E

CAD

F基礎(chǔ)提優(yōu)題榮德基2UDDEe基礎(chǔ)提優(yōu)題

榮eU

E基re7.[2025河北]如圖，四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于

點E,AC=AD,∠ACB=∠ADB,

點F在ED上，∠BAF=∠EAD.(1)求證：△

ABC≌△AFD;【證明】∵∠BAF=∠EAD,∴∠BAF-ZCAF=∠EAD-ZCAF,即∠BAC=∠FAD.又∵AC=AD,∠ACB=∠ADF,∴△ABC≌△AFD.基礎(chǔ)提優(yōu)題(2)若BE=FE,

求證：AC⊥BD.【證明】∵△ABC≌△AFD,∴AB=AF.∵BE=FE,∴AE⊥BF,

即AC⊥BD.榮德基eUDEre點0為圓心，

OA長為半徑畫弧，交射線ON于點B.

若分別以點A,B

為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧在∠MON內(nèi)部交于點C,

連接AC,

則∠OAC

的大小為(

)8.[2025北京]如圖，∠MON=100°,

點A在射線OM上，以A.80°B.100°C.110°D.120°綜合應(yīng)用題榮德基eUDEre【點撥】

如圖，連接

BC,

由作圖可得，

OA=OB,A

,∴△ABC

為等邊三角形.

∴∠ACB=60°∵OC=OC,∴△OAC≌△OBC(SSS).

∴

∠OAC=180°-21-∠3=180°-30°-50°=100°.【答案】B

綜合應(yīng)用題

榮eU

E基re9.如圖，在射線OA,OB

上分別取一點A?,B?,連接A?B?

,在B?A?,B?B上分別截取B?A?=B?B?,連

接A?B?,

…

,按此規(guī)律作下去，若∠A?B?O=a,

則

∠A?025B?025O=A

.綜合應(yīng)用題B.D.榮德基eUDEre【點撥】∵B?A?=B?B?,∠A?B?O=α,同理得∠

綜合應(yīng)用題

榮eU

E基re【答案】AβαB10.如圖，在△ABC

中

，AB=AC,△DEF為等邊三角形，則二

.

2a-β

(用含α,β的代數(shù)式表示).A綜合應(yīng)用題

榮德基【點

撥

】如

圖

.

∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∴∠2+γ=∠1+a.∴∠2-∠1=a-y.∵△

DEF

是等邊三角形，∴∠4=∠3=60°∴∠2+a=∠1+β=120°.∴∠2-∠1=β-a.a-γ=β-a.∴γ=2a-β.綜合應(yīng)用題

榮eU

E基re11.如圖，在△

ABC中，AB=AC=13,BC=10,AD平分

∠BAC,E

是線段AC

上的動點，P

是線段AD

上的動點，則PC+PE

的最小值為

13

CEPA綜合應(yīng)用題

榮德基D120B【點撥】

∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,CD=BD=5..點B,C

關(guān)于直線AD

對稱，易得AD=12.

如圖，過點B

作

BH1

AC

于點

H,連接

PB,BE,

則易知

PB=PC..PC+PE=PB+PE≥BE.

當(dāng)點

E

與點H

重合時，BE

的長最小，若此時點P

在

綜合應(yīng)用題

榮eU

E基re∴PC+PE

的最小值為ABH

上，則

PC+PE

的值最小，為BH

的長

.BF.(1)求證：∠AFB=90°;【證明】∵BA=BC,F是AC的中點，∴BFLAC.

∴∠AFB=90°.12.如圖，在四邊形ABCD

中，∠ADC=90°,

DC//AB,BA=BC,AE⊥BC,垂足為點E,點F為AC的中點，連接綜合應(yīng)用題榮德基eUDEre綜合應(yīng)用題(2)求證：△ADC≌△AEC;【證明】∵AE⊥BC,∠ADC=90°,∴∠ADC=∠AEC=90°.∵DC//AB,

∴∠DCA=∠CAB.∵BA=BC,

∴∠ECA=∠CAB,∴∠DCA=∠ECA.

又∵AC=AC,

∴△ADC≌△AEC.榮德基eUDEre綜合應(yīng)用題(3)連接DE,

試判斷DE與BF的位置關(guān)系，并證明.【解】DE//BF.證明：設(shè)DE交AC于點H.∵△ADC≌△AEC,∴AD=AE,∠DAH=∠EAH.∴AHLDE.

∴∠AHE=90°.∵∠AFB=90°,

∴∠AFB=∠AHE.∴DE//BF.榮德基eUDEre13.在△ABC中，AB=AC,點D在BC上，點E在AC上，連接AD,DE,

且∠

ADE=∠AED.(1)當(dāng)點D在BC邊(點B,C

除外)上運動(如圖),且點E在

AC邊上時，猜想∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并證

創(chuàng)新拓展題

榮德基AEB

D明你的猜想；創(chuàng)新拓展題【解】猜想：∠BAD=2∠C

DE.證明如下：設(shè)∠B=x,∠ADE=y.∵AB=AC,

∴∠C=∠B=x.∵∠AED=∠ADE,

∴∠AED=y.∴∠CDE=∠AED-ZC=y-x,∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-2y.∴∠BAD=180°-∠B-∠C-∠DAE=180°-x-x-(180°-2y)=2(y-x).∴∠BAD=2∠CDE.榮德基eUDEre創(chuàng)新拓展題

榮U

(2當(dāng)點D在直線BC上運動(∠BAC>25°),

且點E在AC邊所

在的直線上時，若∠BAD=25°,

求∠CDE的度數(shù).【解】∵∠BAC>25°,∠BAD=25°,∴點D

不在BC

的延長線上，故可分為以下情況：當(dāng)點D

在線段BC

上時，如圖①,此時點E在CA的延長線上或線段AC

上

，則∠ADE

=∠AED,∠ADE'=∠AE'D,∴∠ADE+∠ADE'=∠AED+∠AE'D.又∵∠ADE+∠ADE'+∠AED+∠AE'D=180°,∴∠ADE+∠ADE'=∠AED+∠AE'D=90°.由(1)知，

,

∴∠CDE'=12.5°.∴∠