義務教育教科書數(shù)學八年級上冊第15章軸對稱綜合與實踐最短路徑問題1.如圖，連接A，B兩點的所有連線中，哪條最短？為什么？①②③AB復習舊知結(jié)論：線段②（AB）最短。理由：兩點之間，線段最短。2.如圖，點P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連接的所有線段中，哪條最短？為什么？復習舊知結(jié)論：線段PC最短。理由：垂線段最短?；顒右荒撩耧嬹R問題任務1

如圖，牧民從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧民到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？lAB如圖，在直線l上找一點C，使CA+CB的和最小.已知，如圖，點A、B在直線l的異側(cè)，在l上求作一點C，使得CA+CB的和最小．解決問題一連接AB，線段AB與直線l交于點C，點C即為所求．兩點之間，線段最短.作法：依據(jù)：如圖，在直線l上求作一點C，使CA+CB的和最?。伎迹耗芊裢ㄟ^軸對稱，把左邊未知的問題轉(zhuǎn)化為我們右邊研究過的問題呢？lABA、B在直線l的同側(cè)A、B在直線l的異側(cè)解決問題二轉(zhuǎn)化lABB'追問：此題，能否作點A關于直線l

的對稱點呢？CB'AB抽象成數(shù)學模型如圖，牧民從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧民到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？lAB聯(lián)想舊知解決實際問題用舊知解決新知歸納總結(jié)牧民飲馬問題在l上另外任取一點C'，連接AC'，BC'，B'C'.任務2

如何證明任務1中得到的CA+CB的和最小？需證明：任務3

你還能舉出類似上述數(shù)學模型的其他現(xiàn)實問題嗎？

請舉例并加以解決.B'牧民飲馬問題的拓展實際問題活動二任務1

如圖，牧民從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，最后回到A處，牧民怎樣走可使所走的路徑最短?A草地河已知直線m、直線n及點A，在直線m上找一點B,在直線n上找一點C，使AB+BC+CA的和最小.數(shù)學問題A'A"BC實際問題任務2

如圖，牧馬從A地出發(fā),先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處.牧民怎樣走可使所走的路徑最短？請在圖上畫出牧馬人行走的最短路線.A草地河已知直線m,n及點A,B，在直線m上找一點P,在直線n上找一點Q，使AP+PQ+QB的和最小.數(shù)學問題BB'A'PQ實際問題任務3

如圖，牧民每天從生活區(qū)的邊沿A處出發(fā)，先到草地邊的B處牧馬，再到河邊C處飲馬，然后回到A處，如何確定A，B，C的位置，使從A處出發(fā)，到B處牧馬，再到C處飲馬，最后回到A處所走的路徑最短?已知△DEF，在EF上找一點A，在DE上找一點B，在DF上找一點C，使AB+BC+CA的和最小.數(shù)學問題思考1

對于這個實際問題，我們怎樣把它抽象成數(shù)學問題呢？草地河生活區(qū)已知△DEF，在EF上找一點A，在DE上找一點B，在DF上找一點C，使AB+BC+CA的和最小.問題解決思考3

如圖，連接DA1,DA2，(1)猜想△DA1A2的形狀并說明理由？(2)猜想∠A1DA2與∠EDF的數(shù)量關系并說明理由？A1A2思考2

這個問題與任務1中的問題有什么區(qū)別？如何把任務3中的問題轉(zhuǎn)化為任務1中的問題？假設點A的位置是固定的思考4

當點A位于什么地方時，DA1的長度最?。緼1A2因為DA1=DA，所以當DA⊥EF時，根據(jù)垂線段最短，此時DA最短，所以DA1最短，所以A1A2最短，即AB+BC+CA最短.已知△DEF，在EF上找一點A，在DE上找一點B，在DF上找一點C，使AB+BC+CA的和最小.問題解決作法：(1)過點D作DA⊥EF；(2)作點A關于DE的對稱點A1,點A關于DF的對稱點A2；(3)連接A1A2，交DE,DF于點B，C.如圖所示,牧民行走的最短路線是A→B→C→A.AA1A2BC任務4

舉出類似上述數(shù)學模型的其他現(xiàn)實問題并加以解決.活動三造橋選址問題任務1

如圖，A，B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）追問：當點N在直線b的什么位置時，AM+NB最小.如圖，將點A沿垂直于直線a的方向平移到A′，使AA′等于河寬，連接A′B交直線b于點N，在點N處造橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.作法：問題解決需證明：AM'+M'N'+BN'>AM+MN+NB思考：如何證明這條路徑AMNB最短？

A'N'+BN'>A'B另任作橋M′N′，連接A′N′.MN=M′N′AM'+BN'>AM+NBAM'=A′N′AM＝A′N兩點之間，線段最短任務2

舉出類似上述數(shù)學模型的其他現(xiàn)實問題并加以解決.1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建

一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設方案，圖中

實線表示鋪設的管道，則所需要管道最短的是()2.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點A到河岸CD的中點的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河