上海市曹揚(yáng)第二中學(xué)2026屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.若，分別是直線，的方向向量，則直線，所成的角的余弦值是B.若，分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則直線l與平面所成的角的正弦值是C.若，分別是平面，的法向量，則平面，所成的角的余弦值是D.若，分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則直線l與平面所成的角的正弦值是2．已知雙曲線C1的一條漸近線方程為y=kx，離心率為e1，雙曲線C2的一條漸近線方程為y=x，離心率為e2，且雙曲線C1、C2在第一象限交于點(diǎn)(1，1)，則=（）A.|k| B.C.1 D.23．直線的傾斜角為A. B.C. D.4．2021年11月，鄭州二七罷工紀(jì)念塔入選全國(guó)職工愛(ài)國(guó)主義教育基地名單．某數(shù)學(xué)建模小組為測(cè)量塔的高度，獲得了以下數(shù)據(jù)：甲同學(xué)在二七廣場(chǎng)A地測(cè)得紀(jì)念塔頂D的仰角為45°，乙同學(xué)在二七廣場(chǎng)B地測(cè)得紀(jì)念塔頂D的仰角為30°，塔底為C，（A，B，C在同一水平面上，平面ABC），測(cè)得，，則紀(jì)念塔的高CD為（）A.40m B.63mC.m D.m5．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是A. B.C. D.6．在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列中，首項(xiàng)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A. B.C. D.7．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外切 B.內(nèi)切C.相交 D.相離8．已知橢圓方程為，則該橢圓的焦距為（）A.1 B.2C. D.9．已知雙曲線，則雙曲線M的漸近線方程是（）A. B.C. D.10．如圖所示，用3種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C中，要求相鄰的矩形不能使用同一種顏色，則不同的涂法有（）ABCA.3種 B.6種C.12種 D.27種11．命題“”為真命題一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.12．已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，橢圓上的A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，|FA|=2|FB|，且·≤a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A.（0，] B.（0，]C.，1) D.，1)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于A，兩點(diǎn)，，則的值為_(kāi)_________14．已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，則動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程為_(kāi)_____15．已知，在直線上存在點(diǎn)P，使，則m的最大值是_______.16．?dāng)?shù)列中，，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中（1）討論的單調(diào)性；（2）若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓（）的離心率是e，定義直線為橢圓的“類準(zhǔn)線”，已知橢圓C的“類準(zhǔn)線”方程為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線l交橢圓C于E，F(xiàn)兩不同點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)與點(diǎn)A不重合），且滿足，若點(diǎn)P滿足，求直線的斜率的取值范圍.19．（12分）如圖在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，是與的交點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面；（3）求直線與平面的距離.20．（12分）在中，（1）求的大?。唬?）若，．求的面積21．（12分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離.22．（10分）已知命題：“，”，命題：“，”，若“且”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用空間角的意義結(jié)合空間向量求空間角的方法逐一分析各選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，因分別是直線的方向向量，且，直線所成的角為，則，A正確；對(duì)于B，D，因分別是直線l的方向向量與平面的法向量，且，直線l與平面所成的角為，則有，B正確，D錯(cuò)誤；對(duì)于C，因分別是平面的法向量，且，平面所成的角為，則不大于，，C正確.故選：D2、C【解析】根據(jù)漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，再由過(guò)點(diǎn)，可知雙曲線方程，從而可求離心率.【詳解】由題，設(shè)雙曲線的方程為，又因?yàn)槠溥^(guò)，且可知，不妨設(shè)，代入，得，所以雙曲線的方程為，所以，同理可得雙曲線的方程為，所以可得，所以，當(dāng)時(shí)，結(jié)論依然成立.故選：C3、B【解析】分析出直線與軸垂直，據(jù)此可得出該直線的傾斜角.【詳解】由題意可知，直線與軸垂直，該直線的傾斜角為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角，關(guān)鍵是掌握直線傾斜角的定義，屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】設(shè)，先表示出，再利用余弦定理即可求解.【詳解】如圖所示，，設(shè)塔高為，因?yàn)槠矫鍭BC，所以，所以，又，即，解得.故選：B.5、D【解析】由題，為可導(dǎo)函數(shù)，，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是，選D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義，切線的斜率，以及極限的運(yùn)算，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)所給的極限式進(jìn)行整理，得到符合導(dǎo)數(shù)定義的形式6、C【解析】當(dāng)時(shí)，，故可以得到，因?yàn)?，進(jìn)而得到，所以是等比數(shù)列，進(jìn)而求出【詳解】由，得，得，又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，∴，∴，即∴數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和，得，故選：C.7、A【解析】根據(jù)兩圓半徑和、差、圓心距之間的大小關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】由，該圓的圓心為，半徑為.圓圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A的圓心距為，兩圓的半徑和為，所以兩圓的半徑和等于兩圓的圓心距，因此兩圓相外切，故選：A8、B【解析】根據(jù)橢圓中之間的關(guān)系，結(jié)合橢圓焦距的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，則焦距為，故選：B.9、C【解析】由雙曲線的方程直接求出見(jiàn)解析即可.【詳解】由雙曲線，則其漸近線方程為：故選：C10、C【解析】根據(jù)給定信息，按用色多少分成兩類，再分類計(jì)算作答.【詳解】計(jì)算不同的涂色方法數(shù)有兩類辦法：用3種顏色，每個(gè)矩形涂一種顏色，有種方法，用2色，矩形A，C涂同色，有種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理得(種)，所以不同的涂法有12種.故選：C11、B【解析】求解命題為真命題的充要條件，再利用集合包含關(guān)系判斷【詳解】命題“”為真命題，則≤1,只有是的真子集,故選項(xiàng)B符合題意故選：B12、B【解析】如圖設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，根據(jù)題意和橢圓的定義可知，利用余弦定理求出，結(jié)合平面向量的數(shù)量積計(jì)算即可.【詳解】由題意知，如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，則，因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形為平行四邊形，由，得，，在中，，所以，由，得，整理，得，又，所以.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】求出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可，，由拋物線的定義可知，，，即可得到【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)，，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，，，則直線的方程為，代入可得，，，由拋物線的定義可知，，，，解得故答案為：214、【解析】設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)題意，列出點(diǎn)滿足的關(guān)系式即．則點(diǎn)的軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求點(diǎn)的軌跡方程【詳解】設(shè)動(dòng)圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即，點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓，，點(diǎn)的軌跡方程為，故答案：15、11【解析】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件知，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得P點(diǎn)位于圓上，再根據(jù)P存在于直線上，可知直線和圓有交點(diǎn)，因此列出相應(yīng)的不等式，求得m范圍，可得m的最大值.【詳解】設(shè)P（x,y）,則，由題意可知,所以，即，即滿足條件的點(diǎn)P在圓上，又根據(jù)題意P點(diǎn)存在于直線上，則直線與圓有交點(diǎn)，故有圓心(1,0)到直線的距離小于等于圓的半徑，即，解得，則m的最大值為11，故答案為：11.16、1【解析】根據(jù)可得，則，所以可得數(shù)列是以6為周期周期數(shù)列，再由計(jì)算出的值，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，因?yàn)?，，所以，所以，所以所以，故答案為?三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分和討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由題意得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可【小問(wèn)1詳解】由，得當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，令，得，得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【小問(wèn)2詳解】依題意得對(duì)一切恒成立，即令，則令，則在上單調(diào)遞增，而當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴∴，即k的最大值為18、（1）；（2）.【解析】（1）由題意列關(guān)于，，的方程，聯(lián)立方程組求得，，，則橢圓方程可求；（2）分直線軸與直線l不垂直于x軸兩種情況討論，當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)，，直線l：（，），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消元由，得到，再列出韋達(dá)定理，由則，解得，再由，求出的坐標(biāo)，則，再利用基本不等式求出取值范圍；【詳解】解：（1）由題意得：，，又，聯(lián)立以上可得：，，，橢圓C的方程為.（2）由（1）得，當(dāng)直線軸時(shí)，又，聯(lián)立得，解得或，所以，此時(shí)，直線的斜率為0.當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)，，直線l：（，），聯(lián)立，整理得，依題意，即（*）且，.又，，，即，且t滿足（*），，，故直線的斜率，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)；綜上，直線的斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)法求橢圓方程，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于難題.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】（1）法一：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量數(shù)量積證明，法二：通過(guò)線面垂直證明，法三:根據(jù)三垂線證明；（2）法一：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量數(shù)量積證明，法二：通過(guò)面面平行證明線面平行；（3）法一：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量方法求解，法二：運(yùn)用等體積法求解.【小問(wèn)1詳解】證明：法一：在直三棱柱中，因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，所以所以，所?法二：連接，在直三棱柱中，有面，面，所以，又，則，因?yàn)?，所以面因?yàn)槊?，所以因?yàn)?，所以四邊形為正方形，所以因?yàn)?，所以面因?yàn)槊?，所?法三：用三垂線定理證明：連接，在直三棱柱中，有面因?yàn)槊?，所以，又，則，因?yàn)?，所以面所以在平面?nèi)的射影為，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因此根?jù)三垂線定理可知【小問(wèn)2詳解】證明：法一：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，所以、，依題意可知為重心，則，可得所以，，設(shè)為平面的法向量，則即取得則平面的一個(gè)法向量為.所以，則，因?yàn)槠矫?，所以平?法二：連接.在正方形中，為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以又為中點(diǎn)，所以四邊形是矩形，所以且因?yàn)榍?，所以，所以四邊形為平行四邊形，所?因?yàn)?，平面平面平面平面，所以平面平面，平面，所以平面【小?wèn)3詳解】法一：由（2）知平面的一個(gè)法向量，且平面，所以到平面的距離與到平面的距離相等，，所以，所以點(diǎn)到平面的距離所以到平面的距離為法二：因?yàn)榉謩e為和中點(diǎn)，所以為的重心，所以，所以到平面的距離是到平面距離的.取中點(diǎn)則，又平面平面，所以平面，所以到平面的距離與到平面的距離相等.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，又，所以，所以到平面的距離是，所以到平面的距離為.20、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，即可得解；（2）首先由余弦定理求出，即可得到，再根據(jù)面積公式計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理可得，即，又在中，，所以，，所以；【小?wèn)2詳解】解：由余弦定理得，即，解得，所以，又，所以；.21、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角