直角三角形【題型1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余】

【題型2:判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】【題型3:銳角互余的三角形是直角三角形】【題型4:利用勾股定理的逆定理求解】

【題型5:勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用】

【題型6：直角三角形全等的判定和性質(zhì)綜合】考點(diǎn)1：直角三角形的性質(zhì)（1）直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方;（2）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半;（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。（4）兩個(gè)銳角互余?！绢}型1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余】【典例1】（24-25八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）在△ABC中，∠C=90°,∠A=2∠A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】B【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟記直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計(jì)算即可．【詳解】解：在△ABC中，∠則∠A∵∠A∴∠B故選：B．【變式1-1】（24-25八年級(jí)上·山西朔州·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊上的高，DE⊥AB于點(diǎn)EA．∠B B．∠DAC C．∠ADE【答案】D【分析】本題考查余角的個(gè)數(shù)，直角三角形兩銳角互余，注意同一角由多種表示法，不能遺漏也不能重復(fù)，先確定直角，在找互余兩角是解題關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余，找出直接與∠C相加=90°的角，或與∠C的等角相加等于【詳解】解：∵∠BAC∴∠C∵AD⊥∴∠C+∠∴∠C∵DE⊥∴∠ADE∴∠C∴∠C的余角有三個(gè)，分別為∠B，∠DAC，∠ADE，∠故選擇D．【變式1-2】（24-25八年級(jí)上·云南昆明·階段練習(xí)）如圖，有一個(gè)直角三角形紙板破損了一個(gè)角，如果把它補(bǔ)成完整的三角形紙板，需要補(bǔ)的角的度數(shù)是（

）A．45° B．35° C．55° D．25°【答案】B【分析】本題考查了直角三角形兩銳角互余，根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解，掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：需要補(bǔ)的角的度數(shù)是90°-55°=35°，故選：B【變式1-3】（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期中）一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角的度數(shù)比為2:3，則這個(gè)直角三角形的最小銳角度數(shù)是．【答案】36°/36度【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)及一元一次方程的應(yīng)用，解題時(shí)注意：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．根據(jù)比例設(shè)兩銳角分別為2k【詳解】解：設(shè)兩銳角分別為2k2解得k=18°所以這個(gè)直角三角形的最小銳角度數(shù)為18×2=36°．故答案為：36°．考點(diǎn)2：勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.2.如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.【題型2:判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形】【典例2】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）下列各組長(zhǎng)度的線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．4，6，8 B．23，42C．3，4，5 D．32，42，52【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用．熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷，看較短兩邊的平方和是否等于長(zhǎng)邊的平方即可．【詳解】解：A．42B．23C．32D．322故選B．【變式2-1】（24-25八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）以下列長(zhǎng)度的各組線段為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（）A．3cm，4cm，5cm B．3cm，8cm，8cmC．4cm，5cm，6cm D．4cm，4cm，4cm【答案】A【分析】本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的逆定理解答．根據(jù)勾股定理的逆定理和直角三角形的性質(zhì)，可以判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．【詳解】解：32+432+842+54=4=4，故選項(xiàng)D中的三條線段組成的是等邊三角形，不符合題意；故選：A．【變式2-2】（24-25八年級(jí)上·寧夏中衛(wèi)·期中）下列四組線段中，不可以構(gòu)成直角三角形的是（

）A．4，5，6 B．3，4，5 C．5，12，13 D．1，

2，3【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【詳解】解：A、42B、32C、52D、12故選：A．【變式2-3】（24-25八年級(jí)上·浙江寧波·期中）下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（

）A．a(chǎn)=3，b=5，c=8 B．a(chǎn)C．a(chǎn)=5，b=12，c=13 D．a(chǎn)=9【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形判斷即可．【詳解】A．a(chǎn)2+bB．a(chǎn)2+bC．a(chǎn)2+bD．a(chǎn)2+b故答案為：C【題型3:銳角互余的三角形是直角三角形】【典例3】（24-25八年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）下列條件：①∠A+∠B=∠C；②∠A:∠B:∠C=1:2:3；③∠A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】C【分析】本題考查了直角三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)角和是180°和有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形是解題的關(guān)鍵；根據(jù)直角三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理逐項(xiàng)計(jì)算判定即可。【詳解】解：①∵∠A+∠B∴2∠C∴∠C∴△ABC故本選項(xiàng)符合題意；②∵∠A∴∠C∴△ABC故本選項(xiàng)符合題意；③∵∠A∴∠A∴△ABC故本選項(xiàng)符合題意；④∵∠A=∠B∴∠A∴△ABC故本選項(xiàng)不符合題意；⑤∵∠A∴設(shè)∠C=x∵∠A∴x解得：x=∴∠A∴△ABC故本選項(xiàng)不符合題意；∴能確定△ABC是直角三角形的條件有①②③，共有3故選：C．【變式3-1】（24-25八年級(jí)上·吉林·期中）下列條件不能判定△ABC是直角三角形的是（

A．∠A:∠BC．∠A=2∠B=3∠C【答案】C【分析】本題考查了直角三角形的判定，三角形的內(nèi)角和，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的判定逐項(xiàng)判斷即可，掌握三角形內(nèi)角和定理及直角三角形的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】A、由題意可設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為x、2x、3∴x+2∴x=30°，故三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為30°、60°、90°∴此選項(xiàng)中是直角三角形，不符合題意；B、∵∠B∴∠B∴∠B∴此選項(xiàng)中是直角三角形，不符合題意；C、設(shè)∠B=3x，∠C=2∵∠A∵6x∴x=∴∠A=1080°11，∠∴此選項(xiàng)中不是直角三角形，符合題意；D、∵∠A=40°，∠∴∠C∴此選項(xiàng)中是直角三角形，不符合題意；故選：C．【變式3-2】（24-25八年級(jí)上·山東日照·階段練習(xí)）已知△ABC的三個(gè)角分別是∠A、∠B、∠C，下列選項(xiàng)中：①∠A=∠B-∠C；②∠A:∠B:∠CA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了直角三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)角和是180°和有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形是解題的關(guān)鍵；根據(jù)直角三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理逐項(xiàng)計(jì)算判定即可．【詳解】解；①∵∠A=∠B∴∠B∴∠B∴△ABC②∵∠A:∠B∴∠C∴△ABC③∵∠A=∠B∴∠A∴△ABC④∵∠A+∠B∴1∴∠C∴△ABC⑤∵∠A∴設(shè)∠C=x∵∠A∴x解得：x=∴∠A∴△ABC綜上所述，不能判斷△ABC是直角三角形的有3故選：C．【變式3-3】（23-24八年級(jí)上·安徽六安·期中）具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（

A．∠A=∠BC．∠A+∠B【答案】A【分析】本題主要考查了直角三角形以及三角形的內(nèi)角和定理．根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，∠A=∠B=3∠C，得到∠A=∠B=540°7，∠C=180°7，得到具備條件A的△ABC不是直角三角形；根據(jù)∠A-∠B=∠C，得到∠【詳解】A、由∠A=∠B=3∠C及∠A+∠B、由∠A-∠B=∠C及∠C、由∠A+∠B=∠C及∠AD、由∠A:∠B:∠C=1:2:3及∠A+∠B故選：A．【題型4:利用勾股定理的逆定理求解】【典例4】（24-25八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖∠B=90°，AB=20，BC=15，CD=7【答案】∠【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理，連接AC，先根據(jù)勾股定理求出AC2的值，再由勾股定理的逆定理判斷出【詳解】解：如圖，連接AC，∵∠B∴AC∵CD=7∴CD∴△ACD∴∠D【變式4-1】（23-24八年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=13cm，D是AB(1)求證：∠ADC(2)求BC的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)4【分析】此題主要考查勾股定理以及其逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的內(nèi)容．（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ADC（2）根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【詳解】（1）證明：∵AB=13cm，∴AD=∵AC=13cm，∴AD而AC∴AD∴∠ADC（2）解：在Rt△BDC中，∠BDC=180°-90°=90°，由勾股定理得：BC=即BC的長(zhǎng)是413【變式4-2】（2024八年級(jí)上·上海·專題練習(xí)）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=AD=2(1)求∠B(2)求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)135°(2)2+【分析】本題主要考查了勾股定理及逆定理的應(yīng)用，求四邊形的面積，將不規(guī)則四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）連接BD，根據(jù)勾股定理求出BD及∠ABD，再根據(jù)勾股定理逆定理說(shuō)明△（2）根據(jù)兩個(gè)三角形的面積和求出答案即可．【詳解】（1）解：連接BD，如圖所示．∵AB=AD=∴∠ABD根據(jù)勾股定理得BD=在△BCD中，BD∴△BCD是直角三角形，且∠∴∠ABC（2）S四邊形【變式4-3】（24-25八年級(jí)上·浙江寧波·期中）如圖，點(diǎn)D在△ABC中，∠BDC=90°，CD=3，BD=4(1)求BC長(zhǎng)；(2)求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)5(2)24【分析】本題考查勾股定理及其逆定理，三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是求出BC的長(zhǎng)．（1）根據(jù)勾股定理和∠BDC=90°，BD=4，CD（2）根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷△ABC的形狀，從而根據(jù)S【詳解】（1）解：∵∠BDC=90°，BD=4∴BC答：BC長(zhǎng)是5；（2）解：∵AB=13，AC=12∴A∴△ACB是直角三角形，∠∴S故圖中陰影部分的面積為24．【題型5:勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用】【典例5】（24-25八年級(jí)上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）如圖，某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量∠D=90°，AD=4m，AB=13(1)求四邊形ABCD的面積；(2)若每平方米草皮需要200元，問學(xué)校需要投入多少資金買草皮？【答案】(1)24(2)學(xué)校需要投入4800元買草皮【分析】此題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，通過(guò)勾股定理由邊與邊的關(guān)系也可證明直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）連接AC，利用勾股定理求出AC，由AC、AB、BC的長(zhǎng)度關(guān)系可得三角形ABC為一直角三角形，用S△（2）根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：如圖，連接AC，∵∠D=90°，AD=4在Rt△ACD中，∵AB=13m，∴BC∴BC∴△ABC是直角三角形，且∠∴四邊形ABCD的面積為：S△===24m（2）解：根據(jù)題意：200×24=4800（元）答：學(xué)校需要投入4800元買草皮．【變式5-1】（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，豐富校園文化生活，推行中小學(xué)生每天鍛煉一小時(shí)的“陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)”，某學(xué)校決定在校園內(nèi)某一區(qū)域內(nèi)新建一塊塑膠場(chǎng)地DABC，供同學(xué)們課間活動(dòng)使用，如圖，已知AB=9m，BC=12m，CD=17(1)連接AC，求AC的長(zhǎng)度；(2)若平均每平方米的材料成本加施工費(fèi)為110元，請(qǐng)計(jì)算該學(xué)校建成這塊塑膠場(chǎng)地需花費(fèi)多少元？【答案】(1)15(2)12540元【分析】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的實(shí)際應(yīng)用：（1）直接利用勾股定理求解即可；（2）直接利用勾股定理的逆定理得出∠DAC=90°，再根據(jù)【詳解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∴AC=（2）解：在△ADC中，CD∴AD∴A∴△ADC為直角三角形，且∠∴S四邊形∴114×110=12540（元）．答：該學(xué)校建成這塊塑膠場(chǎng)地需花費(fèi)12540元．【變式5-2】（24-25八年級(jí)上·陜西西安·期中）圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖，現(xiàn)測(cè)得AB=CD=60cm，BC=30cm，AD=90cm，其中AB與【答案】該車符合安全標(biāo)準(zhǔn)．理由見解析【分析】本題考查勾股定理以及勾股定理的逆定理等知識(shí)，由勾股定理求出BD2=4500，再由勾股定理的逆定理證明△【詳解】解：∵∠ABD=90°，AB=CD=60∴BD在△BCD中，B∴BC∴△BCD是直角三角形，且∠∴BC⊥∴該車符合安全標(biāo)準(zhǔn)．【變式5-3】（23-24八年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，某小區(qū)的兩個(gè)噴泉A，B位于小路AC的同側(cè)，兩個(gè)噴泉之間的距離AB的長(zhǎng)為250m．現(xiàn)要為噴泉鋪設(shè)供水管道AM，BM，供水點(diǎn)M在小路AC上，供水點(diǎn)M到AB的距離MN的長(zhǎng)為120m，BM的長(zhǎng)為(1)求供水點(diǎn)M到噴泉A需要鋪設(shè)的管道長(zhǎng)；(2)試說(shuō)明∠BMA【答案】(1)供水點(diǎn)M到噴泉A需要鋪設(shè)的管道長(zhǎng)為200(2)見解析【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用；（1）在Rt△MNB中，勾股定理求得BN，進(jìn)而求得AN的長(zhǎng)，在Rt△（2）根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明．【詳解】（1）解：由題意可知MN在Rt△MNB∴AN=在Rt△AMN∴供水點(diǎn)M到噴泉A需要鋪設(shè)的管道長(zhǎng)為200m（2）解：∵AB=250m，AM=200∴AB∴∠AMB考點(diǎn)5：直角三角形的判定（直角邊、斜邊）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)寫成"斜邊、直角邊"或"HL"）。注意：用“HL”證明兩個(gè)直角三角形全等，書寫時(shí)兩個(gè)三角形符號(hào)前面要加上“Rt”?！绢}型6：直角三角形全等的判定和性質(zhì)綜合】【典例6】（24-25八年級(jí)上·浙江嘉興·期中）如圖所示，△ABC中，AB=AC，直線DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，CD⊥DE，BE⊥DE(1)求證：△ACD(2)當(dāng)∠CAD=20°時(shí)，求【答案】(1)見解析(2)∠CBE的度數(shù)為【分析】此題考查了全等三角的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，選擇適當(dāng)?shù)娜热切蔚呐卸ǘɡ碜C明△ACD（1）由CD⊥DE，BE⊥DE，得∠D=∠E=90°，而CA=（2）由全等三角形的性質(zhì)得∠CAD=∠ABE=20°，則∠BAE=70°，求得【詳解】（1）證明：∵CD⊥DE∴∠D在Rt△ACD和AB=∴△ACD（2）解：由（1）得△ACD∴∠CAD∴∠BAE∴∠BAC∵AB∴∠ABC∴∠CBE∴∠CBE的度數(shù)為65°【變式6-1】（24-25八年級(jí)上·重慶·期中）如圖，Rt△ABC與Rt△DEF的頂點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D共線，AB與EF交于點(diǎn)G，BC與DE相交于點(diǎn)H，∠B(1)求證：Rt△(2)若GF=1.5，求線段HC【答案】(1)見解析；(2)1.5．【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握HL和ASA證明三角形全等是解題的關(guān)鍵：（1）先證明AC=DF，再根據(jù)（2）先證明∠AFG=∠DCH【詳解】（1）證明：∵∴即AC∠在Rt△ABC和AC∴（2）解：∵∴∠A=∠D又∵∠1+∠3=∠2+∠4=180°∴∠3=∠4在△AFG和△∠A∴△∴HC【變式6-2】（24-25八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖：∠BAC=∠CDB=90°，AC=DB，(1)求證：OB=(2)求證：AD∥【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由∠BAC=∠CDB=90°，AC=BD，（2）先通過(guò)線段和差得出OA=OD，則∠OAD本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵∠BAC∴在Rt△BAC和AC=∴Rt△∴∠ACB∴OB=（2）證明：∵AC=BD，∴AC-∴OA=∴∠OAD∵∠AOB=∠OBC∴2∠OBC∴∠OBC∴AD∥【變式6-3】（24-25八年級(jí)上·浙江杭州·期中）已知：如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AC上一點(diǎn)，且BF(1)求證：△BDF(2)已知AF=6，BC=12，求【答案】(1)見解析(2)9【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)HL即可證明三角形全等；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵AD⊥∴∠ADB在Rt△BDF和BF=∴Rt△（2）解：∵Rt△∴BD=∵BC=∴AD+∴AF+∵DF=∴AF+2∵AF=6∵DF=3∴AD=一、單選題1．（24-25八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）以下列長(zhǎng)度的各組線段為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（

）A．3?cm，4?cm，5?cm BC．4?cm，5?cm，6?cm D【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】因?yàn)?2+4因?yàn)?2+8因?yàn)?2+5因?yàn)?2+4故選：A．2．（24-25八年級(jí)上·山東臨沂·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=25°，AD是△

A．72° B．65° C．50° D．36°【答案】B【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，利用等腰三角形的三線合一和直角三角形的兩個(gè)銳角互余解決問題即可．【詳解】解：∵AB=AC∴AD⊥∴∠CAD故選：B．3．（24-25八年級(jí)上·遼寧本溪·期中）如圖，△ABD和△ABC的頂點(diǎn)均在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，則∠BACA．120° B．135° C．150° D．165°【答案】B【分析】延長(zhǎng)BA到E，連接CE，先利用勾股定理的逆定理證明△AEC是直角三角形，從而可得∠AEC=90°【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BA到E，連接CE，由題意可得：CE2=12∴AE∴△AEC∴∠AEC∵EA=∴∠EAC∴∠BAC故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，勾股定理的逆定理，等邊對(duì)等角，三角形的內(nèi)角和定理，利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求角度等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．4．（24-25九年級(jí)上·湖北·階段練習(xí)）如圖，已知直線a∥b，AB⊥a，垂足為B，∠1=48°，則A．32° B．42° C．48° D．52°【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)可得∠ACB【詳解】解：∵a∥b，∴∠ACB∵AB⊥∴∠ABC∴∠A故選：B．5．（24-25九年級(jí)上·河南駐馬店·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，若∠A=30°，A．3 B．3 C．33 D．【答案】A【分析】本題考查三角形中求線段長(zhǎng)，涉及直角三角形兩銳角互余、高的定義、含30°的直角三角形性質(zhì)等知識(shí)，先由直角三角形兩銳角互余得到∠BCD=∠A=30°，在Rt△BCD和Rt△ABC中，由、含【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB∵CD是AB邊上的高，∴∠ADC∴∠ACD∴∠BCD在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠BCD在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A∴AD故選：A．6．（2025·山東青島·一模）如圖，直線m∥n,Rt△ABC的頂點(diǎn)A在直線n上，∠CA．65° B．55° C．45° D．35°【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠3=∠2=70°，再求出∠BAC本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)．【詳解】解：∵m∴∠3=∠2=70°，

∴∠BAC∵∠C∴∠B故選：C．二、填空題7．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為6，8，10，這個(gè)三角形的形狀是三角形．【答案】直角【分析】本題考查了勾股定理的逆定理．根據(jù)勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵62+∴6∴這個(gè)三角形是直角三角形，故答案為：直角．8．（24-25八年級(jí)上·湖北孝感·期中）如圖，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于點(diǎn)E，BD⊥CD于點(diǎn)D，【答案】5【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，利用HL證明Rt△AEC≌Rt△【詳解】解：∵AE⊥CE于點(diǎn)E，BD⊥∴∠AEC在Rt△AEC和∵AC=∴Rt△∴AE=CD=7∴DE=故答案為：5．9．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）裁剪師傅將一塊長(zhǎng)方形布料ABCD沿著AE折疊，使D點(diǎn)落在BC邊上的F點(diǎn)處，若∠BAF=50°，則∠AEF【答案】70【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)可求出∠FAD=40°，由折疊可得對(duì)應(yīng)角相等可得∠AFE【詳解】解：∵∠BAF∴∠FAD由折疊的性質(zhì)知，∠DAE∴在Rt△AEF中，故答案為：70．三、解答題10．（24-25八年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A