高二數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：2025年11月12日14：30-16：30試卷滿分：150分★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、單選題：共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義，即可求解三角形的周長(zhǎng).【詳解】由橢圓的定義可得：，的周長(zhǎng)為：．故選：B．2.已知直線與平行，那么k的值為（）A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2【答案】C【解析】【分析】討論k的取值，結(jié)合兩直線平行列式求解，即得答案；也可采用排除法.【詳解】當(dāng)時(shí)，兩直線為，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因已知兩條直線平行，所以，解得.另解：把代入已知兩條直線方程，得與，此時(shí)兩條直線的斜率不相等，所以兩條直線不平行，所以，排除A，B，D.故選：C3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用概率的基本性質(zhì)列式計(jì)算即得.【詳解】由，得．故選：B4.在空間直角坐標(biāo)系中，若，且，則（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得，得到，結(jié)合向量模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由向量，因?yàn)?，可得，解得，所以，則，所以.故選：D.5.已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)方向向量求出直線的斜率，再求出傾斜角.【詳解】已知直線的一個(gè)方向向量為，根據(jù)直線方向向量與斜率的關(guān)系，直線的斜率.因?yàn)橹本€的斜率，且，所以.故選：A.6.拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記錄骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，若用表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)結(jié)果，設(shè)事件；事件：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為6；事件；事件.則下列說(shuō)法正確的是（

）A.事件與事件為互斥事件 B.事件與事件為互斥事件C.事件與事件相互獨(dú)立 D.事件與事件相互獨(dú)立【答案】D【解析】【分析】A選項(xiàng)，寫出事件包含情況，得到，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，寫出事件包含的情況，結(jié)合A選項(xiàng)，得到，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，寫出事件包含的情況，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，寫出事件和包含的情況，得到，D正確.【詳解】A選項(xiàng)，事件包含的情況有，事件：至少有一顆點(diǎn)數(shù)為6包含的情況有，故，事件與事件不為互斥事件，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，事件包含的情況有，故，事件與事件不為互斥事件，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的骰子，共有種情況，故，事件包含的情況為，故，故，故事件與事件不相互獨(dú)立，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，事件包含的情況有，，共18種情況，故，事件包含的情況有：，故，因?yàn)?，所以事件與事件相互獨(dú)立，D正確.故選：D7.若兩條直線與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則（）A. B.1 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】由題意，直線平行，且與圓的四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成矩形，則可知圓心到兩直線的距離相等且，由圓的圓心為，圓心到的距離為，圓心到：距離為，所以，整理得到，由，所以．故選：D．8.已知點(diǎn)及圓，點(diǎn)，在圓上，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖所示，當(dāng)四邊形為正方形且時(shí)，取得最小值或最大值，求出的坐標(biāo)即可得出答案．【詳解】如圖所示，當(dāng)四邊形為正方形且時(shí)，取得最小值或最大值．由圖可知所在直線斜率，則方程為，則與圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為、，，解得，，所以，，，，則的最小值為：，最大值為：，所以的取值范圍為，．故選：A．【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，根據(jù)對(duì)稱性，求得PM的方程，進(jìn)而可求得M點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得答案，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想，考查了計(jì)算能力，屬中檔題．二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知橢圓，，分別為它的左右焦點(diǎn)，分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（）A.短軸長(zhǎng)是3 B.的周長(zhǎng)為15C.離心率 D.若，則的面積為9【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)短軸長(zhǎng)的定義可判斷A；利用橢圓的定義可判斷B；根據(jù)離心率來(lái)判斷C；利用勾股定理以及橢圓的定義求出可判斷D.【詳解】A，由，可得，，所以橢圓的短軸長(zhǎng)為，故A不正確；B，的周長(zhǎng)為，故B不正確.C，離心率，故C正確；D，，，又因?yàn)?，所以，即，解?所以，故D正確.故選：CD10.如圖，在正方體中，為底面的中心，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，P點(diǎn)滿足，則（）A.平面 B.平面C. D.P，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷ABC；求出點(diǎn)坐標(biāo)，再推導(dǎo)出判斷D.【詳解】在正方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，則，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，對(duì)于A，，且平面，則平面，A正確；對(duì)于B，，平面，則平面，B正確；對(duì)于C，，，，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，即，則，，即，因此，即四點(diǎn)共面，D正確.故選：ABD.11.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值（）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為圓，下列結(jié)論正確的是（）A.圓的方程是B.過(guò)點(diǎn)向圓引切線，兩條切線的夾角為C.過(guò)點(diǎn)作直線，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線距離為2，該直線斜率為D.在直線上存在異于，的兩點(diǎn)，，使得【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)，求出其軌跡方程，然后再逐項(xiàng)運(yùn)算驗(yàn)證.【詳解】因?yàn)?，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得：，即，故A正確；因?yàn)?，所以，則，解得，故B正確；易知直線的斜率存在，設(shè)直線，因?yàn)閳A上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線距離為2，則圓心到直線的距離為：，解得，故C錯(cuò)誤；假設(shè)存在異于，的兩點(diǎn)，，則，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)辄c(diǎn)P的軌跡方程為：，所以解得或（舍去），故存在，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)求出點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三點(diǎn)共線，則______．【答案】0【解析】【分析】方法一、根據(jù)題意，得到，根據(jù)A，C，D三點(diǎn)共線得，再利用向量相等的條件求解參數(shù)即可；方法二、假設(shè)為空間的一個(gè)單位正交基底，再利用空間坐標(biāo)的平行表示計(jì)算即可.【詳解】方法一、因?yàn)?，，，所以．因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以存在唯一的實(shí)數(shù)y，使得，即，即，解得．方法二、因?yàn)橄蛄?，，不共面，所以可假設(shè)為空間的一個(gè)單位正交基底，則在此基底下的坐標(biāo)為，同理，，則，若A，C，D三點(diǎn)共線，則，即，解得．故答案為：0.13.柜子里有3雙不同的鞋子，分別用表示6只鞋，從中有放回地取出2只，記事件“取出的鞋是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”，則事件的概率是____________．【答案】【解析】【分析】列舉法寫出試驗(yàn)的樣本空間，根據(jù)古典概型的概率公式直接可得解.【詳解】設(shè)表示三只左鞋，表示三只右鞋，則從中有放回取出2只的所有可能為：，共計(jì)36種，其中滿足取出的鞋一只左腳一只右腳，但不是一雙鞋的有12種，.故答案為：.14.棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則直線與直線所成的角的余弦值的最大值為_____.【答案】##【解析】【分析】利用給定條件判斷的軌跡，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用線線角的向量求法將所求夾角余弦值表示為三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求出取值范圍即可.【詳解】首先，記在底面內(nèi)的投影為，則底面，因平面，所以，因?yàn)檎拿骟w，所以是等邊三角形，由題意得，是的中心，則，由題意得，則，所以的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)與軸正半軸所成的角為，則，，所以，設(shè)直線與直線所成的角為，所以，因?yàn)?，所以，即直線與直線所成的角的余弦值的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.翱翔藍(lán)天，報(bào)效祖國(guó)是很多有志青年夢(mèng)想，而實(shí)現(xiàn)這個(gè)夢(mèng)想，需要依次通過(guò)五關(guān)：目測(cè)、初檢、復(fù)檢、文考（文化考試）、政審．若某校甲、乙、丙三位同學(xué)都順利通過(guò)了前兩關(guān)，根據(jù)分析甲、乙、丙三位同學(xué)通過(guò)復(fù)檢關(guān)的概率分別是，他們能通過(guò)文考關(guān)的概率分別是，若后三關(guān)之間通過(guò)與否沒(méi)有影響．（1）求甲、乙都能進(jìn)入政審這一關(guān)的概率；（2）求甲、乙、丙三位同學(xué)中恰好有兩個(gè)人通過(guò)復(fù)檢的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別求甲、乙能進(jìn)入政審這一關(guān)的概率，結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解；（2）分析可知恰好有兩個(gè)人通過(guò)復(fù)檢的有：甲乙或甲丙或乙丙，結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：甲、乙分別能進(jìn)入政審這一關(guān)的概率，所以甲、乙都能進(jìn)入政審這一關(guān)的概率.【小問(wèn)2詳解】甲、乙、丙三位同學(xué)中恰好有兩個(gè)人通過(guò)復(fù)檢的有：甲乙或甲丙或乙丙，所以恰好有兩個(gè)人通過(guò)復(fù)檢的概率.16.在如圖所示的平行六面體中，，，，，，設(shè)，，.（1）用，，表示，，；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用空間向量的加減法計(jì)算求解；（2）應(yīng)用空間向量數(shù)量積公式計(jì)算，再應(yīng)用異面直線所成角的余弦公式計(jì)算求解.【小問(wèn)1詳解】，，；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，，又，，所以，，，設(shè)異面直線與所成角為，則17.已知圓過(guò)兩點(diǎn)、，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)圓的切線方程；（3）若直線的橫截距為，縱截距為，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求的最小值．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）設(shè)圓心為，根據(jù)結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式可求出的值，可得出圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出圓的半徑，由此可得出原的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分析可知，點(diǎn)在圓外，對(duì)切線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在切線斜率不存在時(shí)，直接驗(yàn)證即可；在直線斜率的存在時(shí)，設(shè)出切線的方程，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑求出切線斜率的值，綜合可得出切線的方程；（3）利用直線截圓的弦長(zhǎng)可得出圓心到直線的距離為，求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出，利用基本不等式結(jié)合二次不等式的解法可求得的最小值.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)閳A心在直線上，設(shè)圓心為，因?yàn)辄c(diǎn)、在圓上，所以，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可得圓，則圓心，半徑，因?yàn)?，則點(diǎn)在圓外，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，則直線方程為，圓心到直線的距離為，故直線為圓的切線；當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在，可設(shè)直線方程，即，圓心到該直線的距離，由直線與圓相切，則，即，可得，解得，此時(shí)，直線方程為，即，綜上，切線的方程為或.【小問(wèn)3詳解】解：直線被圓截的弦長(zhǎng)為，所以，圓心到直線的距離為，又直線的橫截距為，縱截距為，則直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，整理可得，由，得，即，解得或，因?yàn)?，，則，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為.18.如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，.（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成角（即兩個(gè)平面相交時(shí)所成的銳二面角）的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由線面垂直得到，進(jìn)而得到線面垂直，最后得到平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)和法向量，結(jié)合點(diǎn)面距離公式計(jì)算即可；（3）結(jié)合（2），設(shè)，得到平面的一個(gè)法向量，結(jié)合題意，構(gòu)造方程計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由平面平面，則，又，由，且平面，所以面，又面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）易知，又，過(guò)作于，由面面，面面面，所以面，過(guò)作，易知，故可構(gòu)建如圖示空間直角坐標(biāo)系.又，則，所以，若是面的一個(gè)法向量，則解得，所以點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)3詳解】同（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，易知平面的法向量設(shè)，于是，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，因?yàn)槠矫媾c平面所成角的余弦值為，所以，整理得，即或（舍）故，所以19.已知圓與圓相外切.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求的最小值；（3）已知，P為圓上任意一點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)B（異于點(diǎn)A），使得為定值?若存在，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（3）存在定點(diǎn)B，B的坐標(biāo)為.【解