2026年河南許昌市高職單招數(shù)學(xué)試題解析及答案一、選擇題

1.若函數(shù)f(x)=x^33x在x=a處取得極值，則a的取值范圍是（）

A.a>0

B.a<0

C.a=0

D.a∈(∞,+∞)

解析：首先，求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^23。由極值的定義，當導(dǎo)數(shù)等于0時，函數(shù)可能取得極值。所以，令f'(x)=0，解得x=±1。將x=±1分別代入原函數(shù)，得到f(1)=2，f(1)=2。因為f(x)在x=1處取得極大值，在x=1處取得極小值，所以a的取值范圍為D.a∈(∞,+∞)。

答案：D

2.若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4=16，a3=4，則首項a1等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有S4=2a1+6d=16，a3=a1+2d=4。聯(lián)立這兩個方程，解得a1=2，d=1。

答案：B

3.若直線y=kx+b與圓x^2+y^2=1相切，則k和b的關(guān)系是（）

A.k^2+b^2=1

B.k^2+b^2<1

C.k^2+b^2>1

D.k^2+b^2=0

解析：圓心到直線的距離為d=|k0+b0|/√(k^2+1)=|b|/√(k^2+1)。因為直線與圓相切，所以d=1。將d的值代入，得到|b|/√(k^2+1)=1，兩邊平方，得到k^2+b^2=1。

答案：A

4.若矩陣A=[[2,3],[4,5]]，則A的逆矩陣A^1等于（）

A.[[5/11,3/11],[4/11,2/11]]

B.[[5/11,3/11],[4/11,5/11]]

C.[[5/11,3/11],[4/11,2/11]]

D.[[5/11,3/11],[4/11,2/11]]

解析：首先計算A的行列式det(A)=2534=2。因為det(A)≠0，所以A可逆。根據(jù)公式A^1=(1/det(A))adj(A)，其中adj(A)為A的伴隨矩陣。計算adj(A)=[[5,3],[4,2]]，然后求A^1=(1/2)[[5,3],[4,2]]=[[5/2,3/2],[2,1]]?；喌玫紸^1=[[5/11,3/11],[4/11,2/11]]。

答案：A

5.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，且f(1)=2，f(3)=8，則f(2)的取值范圍是（）

A.f(2)>2

B.f(2)<8

C.2<f(2)<8

D.f(2)=4

解析：因為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(2)>f(1)=2，同時f(2)<f(3)=8。所以，f(2)的取值范圍是2<f(2)<8。

答案：C

二、填空題

1.若等比數(shù)列{an}的首項a1=2，公比q=3，則第5項a5等于_______。

解析：等比數(shù)列的第n項公式為an=a1q^(n1)。所以，a5=23^(51)=281=162。

答案：162

2.若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線y=1對稱，則f(x)+f(2x)的值等于_______。

解析：函數(shù)圖像關(guān)于直線y=1對稱，意味著對于任意x，都有f(x)+f(2x)=2。

答案：2

3.若矩陣A=[[1,2],[3,4]]與矩陣B=[[a,b],[c,d]]的乘積為單位矩陣，則a+b+c+d的值等于_______。

解析：計算矩陣A與矩陣B的乘積，得到[[a+2c,b+2d],[3a+4c,3b+4d]]。因為乘積為單位矩陣[[1,0],[0,1]]，所以有a+2c=1，b+2d=0，3a+4c=0，3b+4d=1。解這個方程組，得到a=2，b=1，c=1，d=1。所以，a+b+c+d=2+1+11=1。

答案：1

三、解答題

1.已知函數(shù)f(x)=x^22x+1，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。

解析：首先求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x2。當導(dǎo)數(shù)大于0時，函數(shù)單調(diào)遞增。所以，解不等式2x2>0，得到x>1。因此，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)。

答案：單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)。

2.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2n^2+n，求首項a1和公差d。

解析：根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)，可以得到2n^2+n=n/2(2a1+(n1)d)。整理得到4n+2=2a1+(n1)d。當n=1時，得到a1=3。當n=2時，得到a1+d=5。解這個方程組，得到a1=3，d=2。

答案：首項a1=3，公差d=2。

3.已知矩陣A=[[1,2],[3,4]]，求矩陣A的特征值和特征向量。

解析：首先求特征多項式det(AλI)=det([[1λ,2],[3,4λ]])=(1λ)(4λ)6=λ^25λ+2。解特征多項式得到特征值λ1=1，λ2=2。對于λ1=1，解方程組