/安徽省合肥市部分學(xué)校2025?2026學(xué)年上學(xué)期12月月考九年級數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．2的值為（

）A．2 B． C．3 D．2．在中，，則的值為（

）A．6 B．8 C．10 D．123．已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，下列各點(diǎn)在雙曲線上的是（

）A． B． C． D．4．下列相似圖形不是位似圖形的是（

）A． B．C． D．5．如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形．若，且的面積是2，則的面積是（

）A．16 B．18 C．20 D．246．如圖，在大小為的正方形網(wǎng)格中，三角形的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上，下列是相似三角形的是（

）A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④7．在中，的正切和的余弦滿足，則為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形8．二次函數(shù)與反比例函數(shù)（是常數(shù)，且）在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（）A． B．C． D．9．如圖，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，，則sinA的值為（）A． B． C． D．10．如圖，在中，，點(diǎn)為上任一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)在上，且滿足，連接，則的最小值為（

）A． B． C．1.5 D．2二、填空題11．已知，若，則．12．已知α是銳角，且，則α=．13．如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，迎水坡的斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比，背水坡的斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．若，則的長度是．（參考數(shù)據(jù)：．）14．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）；（2）連接，若交于點(diǎn)，則．三、解答題15．計(jì)算：．16．在中，，，，解此直角三角形．17．如圖，二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，與直線相交于點(diǎn)和點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上．（1）求該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)圖象寫出的取值范圍．18．已知，在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為，，．與是以點(diǎn)P為位似中心的位似圖形．（1）直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）以點(diǎn)O為位似中心，在y軸左側(cè)畫出的位似圖形，使與相似比為；（3）若點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M在內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．19．如圖，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔海里的島，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的東南方向上的島，求、兩島之間的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）【參考數(shù)據(jù)：，，】20．如圖，在中，于點(diǎn)，，連接并延長交邊于點(diǎn)，已知，，．（1）求的度數(shù)；（2）求的值．21．如圖1，是某中國工農(nóng)紅軍西路軍紀(jì)念碑，為緬懷革命先烈，傳承紅色情懷，某班組織學(xué)生參觀并測量紀(jì)念館中紀(jì)念碑的高度，測量方案如下：課題測量中國工農(nóng)紅軍西路軍紀(jì)念碑的高度測量工具卷尺、自制測角儀等自制測角儀使用方法利用量角器和鉛錘自制如圖2所示的簡易測角儀，使用過程如圖3，在點(diǎn)觀察所測物體最高點(diǎn)，當(dāng)量角器零刻度線上兩點(diǎn)與視線重合時(shí)，測得視線與鉛垂線所夾的銳角為．測量示意圖如圖4，紀(jì)念碑的高度為，小組成員從紀(jì)念碑的底部點(diǎn)出發(fā)，向前走到點(diǎn)處，用如圖2所示的自制測角儀測得的度數(shù)，再繼續(xù)向前走7.2到達(dá)點(diǎn)處，測得的度數(shù)，，為該成員眼睛到地面的距離，且點(diǎn)均在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)在同一條水平直線上，點(diǎn)在同一條水平直線上．測量數(shù)據(jù)在點(diǎn)測得的度數(shù)在點(diǎn)測得的度數(shù)該成員眼睛距離地面的高度21.參考數(shù)據(jù)．請根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)計(jì)算中國工農(nóng)紅軍西路軍紀(jì)念碑的高度（結(jié)果精確到）．22．如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，連接，取的中點(diǎn)，連接．①求證：；②若，求的值．23．如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)位于原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)位于原點(diǎn)右側(cè)，與軸交于點(diǎn)，連接，已知．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若是該拋物線的對稱軸，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)是第一象限內(nèi)對稱軸右側(cè)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)．①如圖2，連接，若的面積為3，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②如圖3，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，求的最大值．

答案1．【正確答案】B【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)．熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，，然后計(jì)算．【詳解】解：∵，∴．故選B．2．【正確答案】A【分析】本題考查了三角函數(shù)，理解正切的定義是解題的關(guān)鍵．利用正切的定義解題即可．【詳解】解：在中，，，又∵，，∴，解得：．故選A．3．【正確答案】B【分析】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，判斷點(diǎn)坐標(biāo)是否在反比例函數(shù)上．根據(jù)題意先計(jì)算出，再得到雙曲線的解析式為，再逐一將選項(xiàng)坐標(biāo)代入判斷即可．【詳解】解：∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴雙曲線的解析式為，A、當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)不在雙曲線上，故本選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在雙曲線上，故本選項(xiàng)符合題意；C、當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)不在雙曲線上，故本選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)不在雙曲線上，故本選項(xiàng)不符合題意；故選B4．【正確答案】C【分析】本題考查了位似變換，熟練掌握位似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)對應(yīng)邊是否平行判斷即可．【詳解】解：由各選項(xiàng)圖形可知，，，選項(xiàng)的相似圖形是位似圖形，選項(xiàng)的相似圖形不是位似圖形．故選C．5．【正確答案】B【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形是解題的關(guān)鍵．由題意得位似比，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，位似比為，，，的面積是2，的面積為18，故選B．6．【正確答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．分別求出三角形的邊長，根據(jù)對應(yīng)邊成比例三角形相似，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：第一個(gè)三角形的邊長分別為：，2，；第二個(gè)三角形的邊長分別為：，，；第三個(gè)三角形的邊長分別為：2，，；第四個(gè)三角形的邊長分別為：，3，；∵，對應(yīng)邊成比例的是①和③．故選A．7．【正確答案】B【分析】本題考查了解直角三角形，絕對值的非負(fù)性，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，令平方項(xiàng)和絕對值項(xiàng)分別為零，求出和的度數(shù)，再計(jì)算，從而判斷三角形形狀，即可作答．【詳解】解：∵，且平方項(xiàng)與絕對值項(xiàng)均非負(fù)，∴且，∴，，∴，，∴，∴為等邊三角形．故選B．8．【正確答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象特征，由反比例圖象得為正數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)圖象確定出是正數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)確定出函數(shù)圖象，從而得解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)圖象位于第一、三象限，，，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)在軸負(fù)半軸，，二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線，對稱軸在軸左邊，觀察各選項(xiàng)，只有選項(xiàng)符合．當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)圖象位于第二、四象限，，，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)在軸正半軸，，二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線，對稱軸在軸左邊，觀察各選項(xiàng)，沒有選項(xiàng)符合．故選A．9．【正確答案】B【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解．【詳解】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC則易證△ABE∽△ACD，∴又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴設(shè)AD=2a，則AC=5a，根據(jù)勾股定理得到因而sinA=故選B．10．【正確答案】A【分析】本題主要考查圓周角定理的推論、相似三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形等，取的中點(diǎn)為，可證得，得到點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以長為半徑的圓上．【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)為，可得．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以長為半徑的圓上．根據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)位于上時(shí)，可取得最小值，如圖所示．∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴．∴，．∴．∴．故選A11．【正確答案】0.618【分析】本題考查銳角三角函數(shù)的余角關(guān)系，掌握銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)互余角的三角函數(shù)關(guān)系，計(jì)算即可．【詳解】解：若兩個(gè)角互余，則其中一個(gè)角的正弦等于另一個(gè)角的余弦．∵，∴與互余，已知，故．12．【正確答案】45°【詳解】試題分析：∵sin60°=，α是銳角，且sin（α+15°）=，∴α+15°=60°，解得α=45°．故答案為45°．考點(diǎn)：特殊角三角函數(shù)值．13．【正確答案】31.6【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度問題和勾股定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．首先由迎水坡的斜面坡度求出，然后得到，然后由背水坡的斜面坡度求出，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】∵迎水坡的斜面坡度∴，即∴根據(jù)題意得，四邊形是矩形∴∵背水坡的斜面坡度∴，即∴∴．14．【正確答案】；【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，求角的正弦值，矩形的性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．（1）連接，先根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理求出的長，再求出，利用等面積法求出的長，最后根據(jù)正弦的定義求解即可；（2）延長交于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出，即可得，再證明，可得的長，進(jìn)而得出的長，然后證明，即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖，連接．∵四邊形為矩形，，∴，．∵是的中點(diǎn)，∴．在中，由勾股定理得．∵在矩形中，，∴．∵，，∴，∴，∴.（2）如圖，延長交于點(diǎn)．在中，，∴．∵，，∴，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴．15．【正確答案】1【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)的混合運(yùn)算，零次冪，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先化簡特殊角的三角函數(shù)值以及零次冪，再運(yùn)算乘法，最后運(yùn)算減法，即可作答．【詳解】解：．16．【正確答案】，，【分析】本題考查解直角三角形，需要求出直角三角形的未知邊長和角度，已知直角三角形的兩條直角邊，可先根據(jù)勾股定理求出斜邊，再利用三角函數(shù)求出兩個(gè)銳角．【詳解】解：在中，，，，∴，∴，∴，，即，，．17．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸即可求解；（2）根據(jù)圖象即可解題．【詳解】（1）解：在中，當(dāng)時(shí)，，∴，把點(diǎn)代入二次函數(shù)，得，∵該拋物線的對稱軸為直線，∴，解得，∴該二次函數(shù)的解析式為：，∴該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：當(dāng)時(shí)，根據(jù)圖象知的取值范圍為．18．【正確答案】（1）（2）見詳解（3）【分析】本題考查位似變換，坐標(biāo)與圖形，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）利用位似圖形的性質(zhì)得到位似中心的位置即可求解；（2）根據(jù)點(diǎn)O為位似中心，相似比為作圖即可；（3）利用位似圖形的性質(zhì)求解即可；【詳解】（1）解：如圖，連接，并延長相交于點(diǎn)P，∴；（2）解：如圖，即為所求；（3）解：由題意得，點(diǎn)M在內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.19．【正確答案】海里【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出、兩島之間的距離．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，∵，，∴（海里），（海里），在中，，，∴（海里），∴（海里），∴、兩島之間的距離約為海里．20．【正確答案】（1）；（2）．【分析】（1）由余弦定義求出，由勾股定理得出，由求出，由為等腰三角形即可得出答案；（2）過D作交于點(diǎn)G，求出，由平行線分線段成比例定理得，，得出，設(shè)，則，，即可得出答案．本題考查了解直角三角形、勾股定理、平行線分線段成比例等知識，熟練掌握解直角三角形和平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，，在中，，，，由勾股定理得：，，，，，為等腰三角形，；（2），，，過D作交于點(diǎn)G，，，，設(shè)，則，，，．21．【正確答案】米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．設(shè)，根據(jù)正切的定義可得，在中，根據(jù)正切的定義可得，列方程解答即可．【詳解】解：設(shè)，根據(jù)正切的定義可得：，即，在中，，即，解得：，∴，由題意可得，∴．答：中國工農(nóng)紅軍西路軍紀(jì)念碑的高度為米．22．【正確答案】（1）見詳解（2）①見詳解②【分析】（1）先利用正方形性質(zhì)證明，得到，進(jìn)而證明，再結(jié)合公共角，證明三角形相似．（2）①利用正方形對角線性質(zhì)，，且，結(jié)合第（1）問的相似結(jié)論，進(jìn)行等量代換；②過點(diǎn)作，根據(jù)，設(shè)，然后用表示出的長度，再結(jié)合勾股定理表示的長度；通過等面積法求出，然后根據(jù)正方形性質(zhì)可得為等腰直角三角形，則，據(jù)此求出，最后利用三角函數(shù)定義計(jì)算即可．【詳解】（1）解：四邊形為正方形，在和中，，，，，，，，．（2）解：①在正方形中，為對角線，為中點(diǎn)．故，由正方形性質(zhì)可得，則，即，根據(jù)，可得，故，即．②如圖，過點(diǎn)作．，設(shè)，則，，，，則，將、、代入，可得，解得，為對角線，，，為等腰直角三角形，，，，故．答：．23．【正確答案】（1）；（2）①點(diǎn)的坐標(biāo)為；②的最大值為3．【分析】（1）先求出，可得，再由得出求出再運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）①由點(diǎn)，，得直線的解析式，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，得關(guān)于的方程，解出即可；②由拋物線求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．由（?。┲本€的解析式為，則