/安徽省宣城市部分學(xué)校2025-2026學(xué)年上學(xué)期第三次月考九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知銳角滿足，則銳角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如圖，在四邊形中，，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，若，則為（

）A． B． C． D．4．已知，且相似比為，則與的面積比為（

）A． B． C． D．5．如圖，某攔水壩橫截面如圖所示，若迎水坡，迎水坡的坡度，則壩高的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．6．若點(diǎn)，，都在拋物線上，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．7．如圖，在中，，是邊上的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．已知，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．8．已知二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．9．如圖，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接，平分交于點(diǎn)，連接，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B． C．4 D．10．如圖，在正方形中，是的中點(diǎn)，在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)使，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題11．已知銳角滿足，則．12．拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為．13．如圖，的頂點(diǎn)在第一象限，頂點(diǎn)在軸的正半軸上，且，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象與交于點(diǎn)，連接．若的面積為，則的值為．14．如圖，在矩形中，，是邊上一點(diǎn)，將沿折疊后展開，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，連接（1）（填“”“”或“”）；（2）作的平分線交邊于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為．三、解答題15．計(jì)算：16．在由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知格點(diǎn)（格點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．(1)以點(diǎn)O為位似中心．在第一象限畫出的位似圖形，使與的相似比為；(2)若點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于位似中心O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．17．人們把黃金分割譽(yù)為“天賦”的比例法則．如圖，在中，若點(diǎn)M是線段的黃金分割點(diǎn)（），，求證：．18．如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接，，(1)求的長(zhǎng)；(2)求的值．19．巢湖是位于長(zhǎng)江中下游的中國(guó)五大淡水湖之一，因地形原因，湖泊兩端，（點(diǎn)與點(diǎn)之間隔著小山）的距離不易測(cè)量，某科技小組需要用無人機(jī)進(jìn)行測(cè)量．如圖，將無人機(jī)上升并飛行至距湖面的點(diǎn)處（，，三點(diǎn)在同一豎直平面內(nèi)），從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的俯角為，測(cè)得點(diǎn)的俯角為．請(qǐng)你利用所學(xué)過的知識(shí)求湖泊兩端，之間的距離（精確到）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）20．某電商公司以每盒34元的價(jià)格從某工廠購(gòu)進(jìn)一批玩具．根據(jù)往年銷售數(shù)據(jù)，當(dāng)售價(jià)定為50元/盒時(shí)，平均每天可售出180盒；若售價(jià)每提高5元，每天銷售量就減少15盒（價(jià)格調(diào)整為5元的整數(shù)倍）．(1)若售價(jià)定為元/盒，則每天可售出盒（用含的式子表示）；(2)在（1）的條件下，若該公司銷售玩具時(shí)每天支出的各項(xiàng)人工、場(chǎng)地等費(fèi)用共計(jì)500元，此外每盒玩具的運(yùn)輸損耗成本為2元，求銷售價(jià)格定為多少元/盒時(shí)，該公司每天獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？21．如圖，已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及的值；(2)直接寫出不等式的解集；(3)保持點(diǎn)位置不變，將直線逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)得到新的直線，且與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，（點(diǎn)在第二象限），且點(diǎn)，的橫坐標(biāo)之和為，求點(diǎn)，的坐標(biāo)．22．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)該拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．①若點(diǎn)是該拋物線的對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，如圖1，求的最小值和此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；②如圖2，若拋物線的頂點(diǎn)為，點(diǎn)是位于軸上方的拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．23．綜合與探究【初探】如圖1，點(diǎn)，分別是平行四邊形的邊，的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，求的值；【再探】如圖2，點(diǎn)，分別是正方形的邊，的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．求證：（1）；（2）．

答案1．【正確答案】D【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的特殊值，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的余弦值．根據(jù)特殊角的余弦值，由得出的度數(shù)，進(jìn)而求出的度數(shù)．【詳解】解：因?yàn)?，且是銳角，所以，解得．故選：D．2．【正確答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征．根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而判斷即可．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)為，∵，，∴頂點(diǎn)位于第二象限．故選：B．3．【正確答案】C【分析】本題考查了平行線分線段成比例．根據(jù)已知條件得到，再根據(jù)平行線分線段成比例解答．【詳解】解：∵，∴，即∵在四邊形中，，，∴，∴．故選：C．4．【正確答案】C【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，即面積比等于相似比的平方．相似三角形的面積比等于相似比的平方．【詳解】解：∵，且相似比為，∴面積比為．故選：C．5．【正確答案】A【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用和勾股定理．利用坡比的定義得出，進(jìn)而利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：迎水坡的坡比是，，解得，，解得：（負(fù)值舍去），故選：A．6．【正確答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．計(jì)算，，的值，比較大小關(guān)系即可．【詳解】解：：，：，：，因此．故選：B．7．【正確答案】A【分析】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理以及三角形等面積法的應(yīng)用．先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出，由是邊上的中點(diǎn)，可得，，再由勾股定理可得，利用等面積法得到的長(zhǎng)，然后由勾股定理得到的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)．【詳解】解：在中，，，，，，，又是邊上的中點(diǎn)，，，，，，在中，，，故選：．8．【正確答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的綜合判斷．根據(jù)二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象得到，，進(jìn)而判斷即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)開口向上，∴，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限，∴，∵中，∴一次函數(shù)經(jīng)過二、四象限，∵中，∴一次函數(shù)經(jīng)過第三象限，即一次函數(shù)經(jīng)過二、三、四象限．故選：D．9．【正確答案】D【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，中位線的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定；過作交的延長(zhǎng)線于，連接，證明得出，，進(jìn)而證明是的中位線，證明，可得是直角三角形，證明，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，過作交的延長(zhǎng)線于，連接，，，，，，，，，，，是的中位線，，，，，，∴∵∴∴是直角三角形，，，，，，，即，解得．故選：D．10．【正確答案】C【分析】本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，正切定義，解直角三角形等知識(shí)．設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，證明，由可得；由即得．【詳解】四邊形是正方形，設(shè)，E是BC的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故選：C．11．【正確答案】【分析】本題考查了解直角三角形．根據(jù)構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，，∵，∴，∵，∴，即．故．12．【正確答案】3【分析】本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題．求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，需分別計(jì)算與y軸的交點(diǎn)和與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，故與y軸交于點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，即，判別式，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；綜上，拋物線與坐標(biāo)軸共有3個(gè)交點(diǎn)．故3．13．【正確答案】/【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形綜合，正切的定義，根據(jù)正切的定義，得出，先求得，根據(jù)的面積為，得出，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為，∵，∴∵∴，即∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，在第一象限，∴設(shè)，則∴解得：（負(fù)值舍去）∴∴，∴∵的面積為，∴∴∵∴∴∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴故．14．【正確答案】8【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形與折疊問題，勾股定理．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）過點(diǎn)M作于點(diǎn)N，證明，得出，進(jìn)而根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，證明得出，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理建立方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）四邊形ABCD是矩形，，，由折疊知，，，，，，故；（2）如圖，過點(diǎn)M作于點(diǎn)N，平分，，，，，，，，，由折疊知，，，，，，在和中，．設(shè)，則，，在中，，，解得或（舍去），，．故．15．【正確答案】【分析】本題考查了特殊三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，將特殊三角函數(shù)值代入，按照實(shí)數(shù)混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：原式．16．【正確答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了畫位似圖形，求位似圖形對(duì)應(yīng)坐標(biāo)．（1）根據(jù)位似比為找出對(duì)應(yīng)坐標(biāo)，進(jìn)而作圖即可；（2）根據(jù)位似比為作答即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：∵，相似比為，∴點(diǎn)P關(guān)于位似中心O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．故．17．【正確答案】見解析【分析】本題考查黃金分割點(diǎn)，相似三角形的判定，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義可得，由已知推出，再結(jié)合，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：由題意可知，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，，又，，，即，．18．【正確答案】(1)(2)【分析】此題考查了解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵．（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)分別求出，即可得到的長(zhǎng)；（2）求出的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出的值．【詳解】（1）解：在中，，，在中，，，，；（2）是的垂直平分線，，，在中，．19．【正確答案】湖泊兩端，之間的距離約為【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過作垂線構(gòu)造直角三角形；過點(diǎn)作于點(diǎn)，由平行線的性質(zhì)得，，，根據(jù)三角函數(shù)可得，，，因?yàn)?，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，由題可知，，在中，，∴，在中，∵，∴，∴．答：湖泊兩端，之間的距離約為．20．【正確答案】(1)(2)銷售價(jià)格定為75元/盒時(shí)才能使公司獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是3595元【分析】本題考查了列代數(shù)式，二次函數(shù)的應(yīng)用．（1）根據(jù)“當(dāng)售價(jià)定為50元/盒時(shí)，平均每天可售出180盒；若售價(jià)每提高5元，每天銷售量就減少15盒”列代數(shù)式即可；（2）設(shè)該公司每天的利潤(rùn)為元，求出與的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合“價(jià)格調(diào)整為5元的整數(shù)倍”作答即可．【詳解】（1）解：當(dāng)銷售價(jià)格定為元/盒時(shí)，則每天可售出盒；故；（2）解：設(shè)該公司每天的利潤(rùn)為元，則，，，且價(jià)格調(diào)整為5元的整數(shù)倍，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為3595元，答：銷售價(jià)格定為75元/盒時(shí)才能使公司獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是3595元．21．【正確答案】(1)，(2)或(3)【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)．（1）將點(diǎn)代入求出反比例函數(shù)解析式，將代入反比例函數(shù)解析式，求出即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，得出不等式的解集即可；（3）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為，設(shè)直線的表達(dá)式為，聯(lián)立，得出，根據(jù)點(diǎn)，的橫坐標(biāo)之和為，得出，求出，再求出直線和雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，∴，解得：；（2）解：由圖象可得，的解集為：或；（3）解：把代入得：，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，設(shè)直線的表達(dá)式為，聯(lián)立，則，整理得：，，解得：，，解得：，，∵點(diǎn)在第二象限，∴點(diǎn)．22．【正確答案】(1)(2)①的最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；②存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）將點(diǎn)和代入，得到方程組，解方程組即可；（2）①連接，交對(duì)稱軸于點(diǎn)，連接，此時(shí)，的值最小，由拋物線解析式可以求得、的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，再把代入即可求解；②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，可計(jì)算出，則，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，∴，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：當(dāng)時(shí)，，解得或，∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，∴點(diǎn)，點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)．①∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，∴連接交直線于點(diǎn)，如圖，此時(shí)的值最小，設(shè)直線的表達(dá)式為，根據(jù)題意得，解得，∴直線的表達(dá)式為，∴的最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；②存在點(diǎn)使．∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由①知拋物線的對(duì)稱軸與直線的交點(diǎn)為，∴，∵點(diǎn)是位于軸上方的拋物線上一點(diǎn)，，∴，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，整理得，解得或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，二次函數(shù)與面積綜合，分類討論是解題的關(guān)鍵．23．【正確答案】[初探]：；[再探]：（1）見解析；（2）見解析【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定；[初探]：取的中點(diǎn)，連接，證明是的中位線，，根據(jù)平