/安徽省淮北市五校聯(lián)考2025?2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．2025年9月3日，紀(jì)念中國(guó)人民抗日戰(zhàn)爭(zhēng)暨世界反法西斯戰(zhàn)爭(zhēng)勝利80周年閱兵式在北京隆重舉行．九三閱兵的核心意義在于銘記歷史、緬懷先烈、展示國(guó)防實(shí)力、弘揚(yáng)抗戰(zhàn)精神，并傳遞中國(guó)維護(hù)世界和平的堅(jiān)定決心．下列圖形中，屬于中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B．C． D．2．設(shè)的半徑為4，圓心O的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，則點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系是（

）．A．點(diǎn)P在外 B．點(diǎn)P在上 C．點(diǎn)P在內(nèi) D．點(diǎn)P在內(nèi)或上3．一條上山直道的坡度為，沿這條直道上山，每前進(jìn)所上升的高度為（

）A． B． C． D．4．周末彤彤和父母在某處游覽時(shí)，發(fā)現(xiàn)青石橋面上有三葉蟲化石，她想了解化石的長(zhǎng)度，但沒有測(cè)量工具，于是她把自己的筆放在化石旁，并拍下了照片（如圖所示），回家后，她量得照片上筆和化石的長(zhǎng)度分別為和．已知筆的實(shí)際長(zhǎng)度為，則該化石的實(shí)際長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．5．點(diǎn)經(jīng)過某種圖形變換后得到點(diǎn)這種圖形變換可以是()A．關(guān)于軸對(duì)稱 B．關(guān)于軸對(duì)稱C．繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) D．繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)6．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．7．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．8．如圖，的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．9．如圖，是的中位線，是中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．10．如圖，在中，，，繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至的位置，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則的最大值和最小值分別為（

）A． B．C． D．二、填空題11．在中，均為銳角，且滿足，則．12．江南水鄉(xiāng)蘇州現(xiàn)存100多座石拱橋，已知（如圖）一石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯x為，橋拱半徑為，則水面寬．13．如圖，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過作的垂線交雙曲線于點(diǎn)，若，則的值為．14．如圖，在中，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，．（1）點(diǎn)到的距離為．（2）的度數(shù)為．三、解答題15．如圖，方格紙中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，其坐標(biāo)分別為．請(qǐng)以點(diǎn)為位似中心，畫出與的相似比為的所有位似圖形．16．《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測(cè)量物體的高度．如圖，點(diǎn)，，在同一水平線上，和均為直角，與相交于點(diǎn)．測(cè)得，，，求樹高．17．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（）的圖象交于點(diǎn)，．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）利用圖象，直接寫出不等式的解集為______；18．如圖，在中，，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，，且，連接交于點(diǎn)，連接．求證：（1）；（2）．19．2025年國(guó)慶期間，某商家推出兩款文旅紀(jì)念品．已知款紀(jì)念品進(jìn)價(jià)40元/個(gè)，款紀(jì)念品進(jìn)價(jià)20元/個(gè)．（1）根據(jù)網(wǎng)上預(yù)約的情況，如果該商家計(jì)劃用不超過12000元購(gòu)進(jìn)兩款紀(jì)念品共400個(gè)，那么至少需要購(gòu)進(jìn)款紀(jì)念品多少個(gè)？（2）在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)每個(gè)款紀(jì)念品售價(jià)60元時(shí)，可售出200個(gè)，售價(jià)每增加1元，銷售量將減少5個(gè)．設(shè)每個(gè)款紀(jì)念品售價(jià)元，表示該商家銷售款紀(jì)念品的利潤(rùn)（單位：元），求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出的最大值．20．已知：和都是等腰直角三角形，．（1）如圖①E在上，點(diǎn)D在上時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；（2）把繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置，連接，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；21．如圖，在中，，，，點(diǎn)沿方向以的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)沿方向以的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，則___________，___________．（2）當(dāng)為何值時(shí)，的面積為．（3）求四邊形面積的最小值．22．如圖所示的是李亮利用無人機(jī)進(jìn)行測(cè)量的示意圖，點(diǎn)在同一平面內(nèi)，當(dāng)無人機(jī)在離地面的高度為時(shí)，測(cè)得李亮所在位置的俯角為，樓頂?shù)母┙菫?，點(diǎn)到大樓的水平距離為．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到）（1）若無人機(jī)到李亮的距離在內(nèi)是遙控器的可控范圍，此時(shí)飛機(jī)是否在可控范圍內(nèi)？請(qǐng)說明理由．（2）若讓無人機(jī)在可控范圍內(nèi)，李亮最多可由點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)多少米？（3）求大樓的高．23．如圖1，在半徑為1的中，弦，點(diǎn)是的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)，連接．（1）求證：平分．（2）如圖2，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，求所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)．（3）如圖2，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．

答案1．【正確答案】C【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形，掌握中心對(duì)稱圖形的概念是解題關(guān)鍵．根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原圖重合，作答即可．【詳解】解：選項(xiàng)的圖形不能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對(duì)稱圖形；選項(xiàng)C的圖形能找到一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形；故選C．2．【正確答案】A【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉半徑與兩點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．求得線段的長(zhǎng)后與圓的半徑比較即可得到答案．【詳解】解：∵圓心O的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，∴，∵的半徑為4，∴，∴點(diǎn)P在外．故選A．3．【正確答案】B【分析】本題主要考查坡比解直角三角形的運(yùn)用，坡度表示垂直高度與水平距離之比，設(shè)上升高度為h，則水平距離為，利用勾股定理建立方程求解．【詳解】解：∵一條上山直道的坡度為，∴設(shè)上升的高度為，則水平距離為，∵斜邊長(zhǎng)為，∴由勾股定理，得+=，即，化簡(jiǎn)得，，∴，∴每前進(jìn)所上升的高度為，故選B．4．【正確答案】D【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，設(shè)該化石的實(shí)際長(zhǎng)度為，根據(jù)題意得出，即可求解．【詳解】解：設(shè)該化石的實(shí)際長(zhǎng)度為，依題意，，解得：．故選D．5．【正確答案】A【分析】直接利用利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案．【詳解】∵點(diǎn)（4，3）經(jīng)過某種圖形變化后得到點(diǎn)B（4，-3），∴這種圖形變化可以是關(guān)于x軸對(duì)稱．故選A．6．【正確答案】C【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，先計(jì)算點(diǎn)P坐標(biāo)求其關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Q，再將Q繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，利用全等得點(diǎn)R坐標(biāo)．【詳解】解：∵，，∴，∵點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)得，，∴，∴，∴，∴，，∴．故選C．7．【正確答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)圖象，二次函數(shù)中的正負(fù)與圖象的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，二次函數(shù)的圖象開口向上，與y軸交于正半軸，一次函數(shù)，二次函數(shù)同時(shí)過點(diǎn)，根據(jù)選項(xiàng)的圖象可得A，B，C，D均不符合題意；當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限，二次函數(shù)的圖象開口向上，與y軸交于負(fù)半軸，一次函數(shù)，二次函數(shù)同時(shí)過點(diǎn)，根據(jù)選項(xiàng)的圖象可得A，B，C，D均不符合題意；當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限，二次函數(shù)的圖象開口向下，與y軸交于正半軸，一次函數(shù)，二次函數(shù)同時(shí)過點(diǎn)，根據(jù)選項(xiàng)的圖象可得A，C，D均不符合題意，B選項(xiàng)符合題意；當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限，二次函數(shù)的圖象開口向下，與y軸交于負(fù)半軸，一次函數(shù)，二次函數(shù)同時(shí)過點(diǎn)，根據(jù)選項(xiàng)的圖象可得A，B，C，D均不符合題意；故選B．8．【正確答案】C【分析】根據(jù)勾股定理以及網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，可以求得的長(zhǎng)，然后根據(jù)等積法求得的長(zhǎng)，然后根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可得到的值．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn),作于點(diǎn)，由已知可得，，，，．故選C．9．【正確答案】B【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)及判定，關(guān)鍵是知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用；由中點(diǎn)可知，又由于為的中點(diǎn)，可得，進(jìn)而根據(jù)三角形相似可得．【詳解】解：∵是的中位線，∴且，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案選：B．10．【正確答案】B【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)．先利用直角三角形性質(zhì)求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和直角三角形斜邊中線性質(zhì)確定的長(zhǎng)度，再利用三角形三邊關(guān)系計(jì)算的最大值和最小值．【詳解】解：∵在中，，，，∴，；∵繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，∴，；∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，∴的最大值為，的最小值為．故選B．11．【正確答案】/度【分析】本題主要考查三角函數(shù)的計(jì)算，偶次冪、絕對(duì)值的非負(fù)性，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出和的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求．【詳解】解：∵，，且它們的和為0，∴，，即，，∵均為銳角，∴，∴．12．【正確答案】【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理，連接，則，由垂徑定理可得，求出，再利用勾股定理計(jì)算出，即可得解，熟練掌握垂徑定理及勾股定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，則，，，，，，.13．【正確答案】【分析】延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)題意可得和均為等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而可得到，結(jié)合，可得，所以點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之積為，即得的值．【詳解】解：延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，，，和均為等腰直角三角形，，，，．，，整理得，，即，，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴，．14．【正確答案】；75°【分析】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，三角形的外角性質(zhì)，熟練根據(jù)特殊角構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作，垂足為，利用，即可求出；（2）連接，證明，可得，再證明，再證明，則為等腰直角三角形，，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)作，垂足為，∵，，∴，∴.（2）連接，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，則為等腰直角三角形，，∴.15．【正確答案】見詳解【分析】本題主要考查了位似變換，直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案．【詳解】解：如圖，即為所作．16．【正確答案】樹高為8米【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意可得，然后由相似三角形的性質(zhì)，即可求解，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：和均為直角，．,．，，，．．答：樹高為8米．17．【正確答案】（1），（2）或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出反比例函數(shù)解析式，再把點(diǎn)B坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出點(diǎn)B坐標(biāo)，最后把點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出一次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象找到一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方時(shí)自變量的取值范圍即可得到答案．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，∴，解得，∴反比例函數(shù)的解析式為；在中，當(dāng)時(shí)，，∴，∵一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，∴，解得，∴一次函數(shù)解析式為；（2）解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象下方時(shí)自變量的取值范圍為或．∴不等式的解集為或．18．【正確答案】（1）見詳解（2）見詳解【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用全等性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)解答．（1）利用“邊角邊”即可證明；（2）根據(jù)題意可得，再證明，可得，即可求證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，即，∴．19．【正確答案】（1）至少需要購(gòu)進(jìn)款紀(jì)念品200個(gè)；（2），最大值為4500．【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意列出方程組，函數(shù)關(guān)系式和不等式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)需要購(gòu)進(jìn)款紀(jì)念品個(gè)，則需要購(gòu)進(jìn)款紀(jì)念品個(gè)，根據(jù)購(gòu)買資金不超過12000元建立不等式求解即可；（2）根據(jù)題意可得每個(gè)A款紀(jì)念品的利潤(rùn)為元，銷售量為個(gè)，據(jù)此列出W關(guān)于a的二次函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出W的最大值即可．【詳解】（1）解：設(shè)需要購(gòu)進(jìn)款紀(jì)念品個(gè)，則需要購(gòu)進(jìn)款紀(jì)念品個(gè)，由題意得，，解得，∴的最小值為200，答：至少需要購(gòu)進(jìn)款紀(jì)念品200個(gè)；（2）解：由題意得，，∵，∴當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，最大，最大值為4500．20．【正確答案】（1），（2）（1）中的結(jié)論還成立，理由見詳解【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，；再利用線段的和差可得；（2）運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)證明可得、；如圖：設(shè)與、分別交與O，F(xiàn)，結(jié)合運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理可得，即．【詳解】（1）解：，，理由如下：∵和都是等腰直角三角形，．∴，，∴，即．（2）解：（1）中的結(jié)論還成立，理由如下：∵和都是等腰直角三角形，．∴，即，∴，∴，，如圖：設(shè)與、分別交于O，F(xiàn)，∵，∴，即．21．【正確答案】（1），（2）當(dāng)或時(shí)，的面積為（3）當(dāng)時(shí)，四邊形面積的最小值，最小面積為【分析】本題主要考查勾股定理，動(dòng)點(diǎn)的計(jì)算，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，理解圖示中動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)用，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，線段長(zhǎng)度的計(jì)算即可求解；（2）結(jié)合（1）的計(jì)算，根據(jù)面積公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)題意，，，則，由此列式，結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，，∴，點(diǎn)沿方向以的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)沿方向以的速度從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，∴，，∴.（2）解：根據(jù)題意，點(diǎn)從的時(shí)間為，點(diǎn)從的時(shí)間為，由面積公式得，，整理得，，解得，，∴當(dāng)或時(shí)，的面積為；（3）解：，，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，四邊形面積的最小值，最小面積為．22．【正確答案】（1）飛機(jī)在可控范圍內(nèi)，理由見詳解（2）李亮最多可由點(diǎn)向點(diǎn)的