/北京市石景山區(qū)2025?2026學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．下列汽車標志圖形中，是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．7的算術(shù)平方根是（

）A． B．7 C． D．3．在中，作出邊上的高，正確的是（）A．

B．

C．

D．

4．下列運算正確的是（）A． B． C． D．5．下列說法正確的是（

）A．“擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上”是不可能事件B．“今天是周一，明天是周三”是隨機事件C．“將三個球放進兩個盒子里，至少有一個盒子中有球”是必然事件D．“若x是任意實數(shù)，則”是隨機事件6．已知（其中，且a，b都不為0），下列與M的值相等的是（

）A． B． C． D．7．如圖，在中，點在上，，，則的大小為（

）A． B． C． D．8．如圖，在等腰中，．以點為圓心，的長為半徑作弧，交于點，以點為圓心，的長為半徑作弧，交于點．分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在右側(cè)交于點，作直線交于點．若，則的長為（

）

A． B． C． D．二、填空題9．若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是．10．有9張卡片，上面分別寫有1，2，3，4，5，6，7，8，9．抽取一張，該卡片上的數(shù)是3的倍數(shù)的可能性大小為．11．化簡的結(jié)果是．12．如圖，在和中，，，在不添加任何輔助線的情況下，添加一個條件使得，這個條件可以是（寫出一個即可）．13．如圖，在等邊中，D為的中點，E為延長線上一點，且，則的大小為．14．已知分式（m，n為常數(shù)）滿足表格中的信息，則的值為．x的值1分式的值不存在015．如圖，在中，，點，，在邊，，上，沿直線折疊，點落在邊上的點處，連接，，恰有．則的大小為；若，，，則的長為．16．如圖，在中，，，的面積為．邊的垂直平分線分別交，于點，．若為邊的中點，為線段上一動點，則周長的最小值為．三、解答題17．計算：．18．計算：．19．計算：．20．如圖，為線段上一點，，，．（1）求證：；（2）若，，求的長．21．已知，求代數(shù)式的值．22．解方程：．23．已知：如圖，，點在邊上．求作：點，使得射線平分，且．作法：①作的角平分線；②以為圓心，的長為半徑作弧，交于點，連接．點即為所求作的點．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）判斷與的位置關(guān)系，并證明．24．2024年12月4日，中國春節(jié)被列入世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，春節(jié)貼春聯(lián)是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．某商店為了滿足人們的需求，計劃在春節(jié)前購進甲、乙兩種春聯(lián)進行銷售．經(jīng)了解，乙種春聯(lián)的單價比甲種春聯(lián)的單價多2元，用900元購進甲種春聯(lián)的數(shù)量與用1200元購進乙種春聯(lián)的數(shù)量相同．求甲、乙兩種春聯(lián)的單價分別是多少元？25．如圖，在和中，，，，，．求證：．26．小石根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規(guī)律．下面是小石的探究過程，請補充完整：（1）具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．第1個等式；第2個等式；第3個等式；第4個等式；第5個等式_________（根據(jù)規(guī)律填空）（2）觀察、歸納、得出猜想．第n個等式為_________（用含n的式子表示，n為正整數(shù)）（3）證明你的猜想；（4）應(yīng)用運算規(guī)律．若（a，b均為正整數(shù)），則的值為_________．27．在中，，．作射線，（）．點關(guān)于射線的對稱點為點，連接，直線交射線于點．（1）如圖，射線位于線段左側(cè)．①在圖中補全圖形；②直接寫出的大??；③求證：；（2）如圖2，射線位于線段右側(cè)，直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．28．如圖，在正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長為單位1，網(wǎng)格線的交點為格點．直線l與水平網(wǎng)格線重合，點Q為網(wǎng)格中一點．直線l向上（）或向下（）平移個單位得到直線，點Q向右（）或向左（）平移個單位得到點，點關(guān)于直線的對稱點記為，則稱點是點Q的“關(guān)聯(lián)點”．例如，圖中點是點P的“2-關(guān)聯(lián)點”．圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)，，，是格點．（1）圖中，在點，，中，點_________是點A的“1-關(guān)聯(lián)點”；（2）點B是點A的“關(guān)聯(lián)點”，則_________；（3）直線上有一點T，點T的“關(guān)聯(lián)點”為．若在長方形上或其內(nèi)部時，m的取值范圍是_________，此時點T與直線l的距離的最大值為_________．

答案1．【正確答案】B【分析】本題考查軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形的定義，一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠相互重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，逐項判斷即可．【詳解】解：A、該圖形不是軸對稱圖形，故該選項不符合題意；B、該圖形是軸對稱圖形，故該選項符合題意；C、該圖形不是軸對稱圖形，故該選項不符合題意；D、該圖形不是軸對稱圖形，故該選項不符合題意；故選B．2．【正確答案】D【分析】本題考查了求算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的計算方法計算即可得解，熟練掌握算術(shù)平方根的計算方法是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：7的算術(shù)平方根是，故選D．3．【正確答案】D【分析】本題主要考查了三角形高的定義，熟練掌握“從三角形的一個頂點向?qū)叄ɑ驅(qū)叺难娱L線）作垂線，頂點和垂足之間的線段即為該邊上的高”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形高的定義，判斷從頂點向邊（或其延長線）作垂線，垂足在邊（或其延長線）上的圖形．【詳解】解：A選項：所作垂線不是從點出發(fā)，故A項錯誤；B選項：所作垂線是從點出發(fā)，不是從點出發(fā)，故B項錯誤；C選項：所作垂線不是從點出發(fā)，故C項錯誤；D選項：所作垂線是從點出發(fā)，且垂足在的延長線上，符合邊上高的定義，故D項正確故選D．4．【正確答案】C【分析】本題考查平方根的運算性質(zhì)，包括除法、乘法、加法和完全平方公式．通過直接計算每個選項，判斷其正確性．【詳解】選項A：∵，∴A錯誤；選項B：∵，∴B錯誤；選項C：∵，∴C正確；選項D：∵，∴D錯誤；故選C．5．【正確答案】C【分析】本題考查事件類型的判斷，包括不可能事件、隨機事件和必然事件．根據(jù)每個選項的描述，分析事件是否一定發(fā)生、可能發(fā)生或不可能發(fā)生．【詳解】解：∵選項A：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上可能發(fā)生，是隨機事件，不是不可能事件，∴A錯誤．∵選項B：今天是周一，明天必是周二，不可能是周三，是不可能事件，不是隨機事件，∴B錯誤．∵選項C：三個球放進兩個盒子，至少有一個盒子有球，是必然事件，∴C正確．∵選項D：對于任意實數(shù)x，，永不成立，是不可能事件，不是隨機事件，∴D錯誤．故選C．6．【正確答案】B【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，通過分式的基本性質(zhì)，判斷各選項是否能化簡為即可．【詳解】解：∵，選項B：，∴選項B與M的值相等．對于選項A、C、D，均不可化簡，與M的值不相等，故選：B．7．【正確答案】A【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，并用方程思想結(jié)合三角形內(nèi)角和定理建立等式是解題的關(guān)鍵．通過設(shè)未知數(shù)表示各角的度數(shù)，利用等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)，結(jié)合三角形外角性質(zhì)和內(nèi)角和定理，建立方程求解的大?。驹斀狻拷猓涸O(shè)，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得故選．8．【正確答案】A【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)與尺規(guī)作圖，熟練掌握等腰直角三角形的邊角關(guān)系以及線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)作圖得到以及垂直平分，從而推出，，；再結(jié)合等腰直角的性質(zhì)得到，進而判斷為等腰直角三角形，求出的長度；最后設(shè)，利用等腰直角三角形的邊長關(guān)系建立方程，求解得到的長．【詳解】解：∵作圖可知，，垂直平分，∴，，，∵是等腰直角三角形，，∴，，∵，，∴是等腰直角三角形，∵，∴，設(shè)，則，∵是等腰直角三角形，∴，∴，解得，∴，故選A．9．【正確答案】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，解題關(guān)鍵是熟練掌握列不等式、解不等式．根據(jù)二次根式有意義的條件，列出不等式求解．【詳解】解：∵在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得.10．【正確答案】【分析】本題主要考查了簡單事件的概率計算，熟練掌握概率公式符合條件的結(jié)果數(shù)總結(jié)果數(shù)是解題的關(guān)鍵．先確定總結(jié)果數(shù)和符合條件（是3的倍數(shù)）的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式計算可能性大小．【詳解】解：∵共有9張卡片，∴總結(jié)果數(shù)為9，∵卡片上的數(shù)是3的倍數(shù)的有3，6，9，∴符合條件的結(jié)果數(shù)為3，∴該卡片上的數(shù)是3的倍數(shù)的可能性大小為.11．【正確答案】【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)．根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可得．【詳解】解：∵，∴，∴．12．【正確答案】（答案不唯一）．【分析】本題主要考查了直角三角形全等的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．題目已知兩個直角三角形和中，，且斜邊．根據(jù)全等三角形的判定添加一個角的條件使兩三角形全等即可．【詳解】解：添加條件：，∵在和中，，，，∴（）13．【正確答案】/度【分析】本題考查了三角形的外角的定義及性質(zhì)，等邊對等角，等邊三角形的性質(zhì)等知識點，解題關(guān)鍵是掌握上述知識點并能運用來求解．先根據(jù)中點的意義得出，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)得出，再利用三角形外角的性質(zhì)求得．【詳解】解：∵點D為的中點，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴∵，∴，∴，又是的一個外角，∴，∴，∴.14．【正確答案】【分析】本題考查了分式無意義的條件及分式的值為零的條件，根據(jù)分式無意義的條件（分母為零）和分式值為零的條件（分子為零且分母不為零），分別求出和的值，再計算．【詳解】解：當時，分式無意義，則，即，解得．當時，分式的值為0，則分子，即，解得．所以．15．【正確答案】；【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理構(gòu)造方程是解題的關(guān)鍵．利用等腰三角形性質(zhì)（）得，由折疊性質(zhì)得，．在中，故，進而推出，可得．設(shè)，則，．先求，連接，在和中，由勾股定理得和，聯(lián)立方程求解．【詳解】解：∵，∴，∵沿折疊得到，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，設(shè)，則，，連接，在中，，在中，，∴，展開得，化簡得，解得.16．【正確答案】【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)及最短路徑問題，熟練掌握“利用垂直平分線的性質(zhì)將線段進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合兩點之間線段最短求最小值”是解題的關(guān)鍵．先利用等腰三角形性質(zhì)和面積公式求出的長度，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，從而把的周長轉(zhuǎn)化為，求出最小值．【詳解】解：連接，，∵，為中點，∴，∵的面積為，，∴，解得，∵為中點，∴，∵是的垂直平分線，∴，∵的周長，∵（兩點之間線段最短），∴當、、三點共線時，，∴周長的最小值.17．【正確答案】4【分析】本題考查了求立方根，二次根式的化簡及加減運算，依次進行化簡，最后進行加減運算即可．【詳解】解：．18．【正確答案】【分析】本題考查了分式的減法運算，會進行通分是解題的關(guān)鍵．對異分母分式先進行通分，再進行減法運算并化簡即可．【詳解】解：．19．【正確答案】11【分析】本題考查了二次根式的混合運算及完全平方公式，熟知運算法則和運算順序是解題的關(guān)鍵．根據(jù)運算法則和運算順序計算即可．【詳解】解：．20．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理（）及利用全等三角形對應(yīng)邊相等進行線段計算是解題的關(guān)鍵．（1）先由平行線性質(zhì)得到一組角相等，再結(jié)合已知的邊和角相等，利用判定三角形全等．（2）由（1）的全等結(jié)論得到對應(yīng)邊相等，通過線段的和差關(guān)系求出的長度．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，，，，∴（）（2）解：∵，∴，，∵，∴．21．【正確答案】【分析】本題考查了分式的混合運算的化簡求值，熟知分式的各運算法則是解題的關(guān)鍵．先對代數(shù)式進行化簡，再根據(jù)化簡結(jié)果，可以把轉(zhuǎn)化為，故可求的值，問題即可解決．【詳解】解：，∵，∴，即，∴原式．22．【正確答案】【分析】本題考查了解分式方程，通過尋找公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后檢驗分母是否為零，確保解的有效性即可．【詳解】解：方程兩邊同乘，得，去括號，得，整理得，解得，檢驗：當時，，，∴原方程的解為．23．【正確答案】（1）見詳解；（2），見詳解【分析】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定，熟練掌握角平分線的尺規(guī)作圖方法、等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì)及平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）按照尺規(guī)作圖的基本步驟，先作的角平分線，再以點為圓心、為半徑畫弧，交于點，最后連接即可補全圖形．（2）先根據(jù)角平分線的定義得到；再由作圖中，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到；進而推出；最后根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，得出與的位置關(guān)系．【詳解】（1）解：按尺規(guī)作圖步驟：①作的角平分線；②以為圓心，的長為半徑作弧，交于點；③連接，得到所求圖形．（2）解：結(jié)論：，證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴24．【正確答案】甲種春聯(lián)的單價為6元，乙種春聯(lián)的單價為8元【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，正確列出分式方程．設(shè)每副甲種春聯(lián)的單價是元，則每副乙種春聯(lián)的單價是元，利用數(shù)量總價單價，結(jié)合用900元購進甲種春聯(lián)的數(shù)量與用1200元購進乙種春聯(lián)的數(shù)量相同，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出x的值（即每副甲種春聯(lián)的單價），再將其代入中，即可求出每副乙種春聯(lián)的單價．【詳解】解：設(shè)每副甲種春聯(lián)的單價是元，則每副乙種春聯(lián)的單價是元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，∴（元）．答：每副甲種春聯(lián)的單價是6元，每副乙種春聯(lián)的單價是8元．25．【正確答案】見詳解【分析】要證明，只需證明為直角三角形且．我們通過在上截取，構(gòu)造全等三角形，將轉(zhuǎn)化為，再在中用勾股定理逆定理判定直角，求出的長度，最后回到驗證勾股定理逆定理即可．【詳解】解：在上截取，連接，∵，，，∴（SAS），∴，，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．26．【正確答案】（1）（2）（3）見詳解（4）【分析】本題考查規(guī)律型、數(shù)字的變化類、二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是明確題意，根據(jù)已知等式總結(jié)一般規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律解題．（1）根據(jù)題目中的例子并計算可以寫出第5個等式；（2）根據(jù)（1）中特例及發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可以寫出相應(yīng)的猜想；（3）根據(jù)猜想的左邊利用分式的通分和二次根式的性質(zhì)進行化簡發(fā)現(xiàn)與右邊一樣即可；（4）根據(jù)（2）中的規(guī)律對比即可求解．【詳解】（1）解.（2）解：第n個等式為.（3）證明：；（4）解：根據(jù)和，得，解得，∴.27．【正確答案】（1）①見詳解；②見詳解（2），理由見詳解【分析】（1）①根據(jù)“點關(guān)于射線的對稱點為點”，過作的垂線并延長，使垂線段到的距離等于到的距離，得到點；再連接、，補全圖形．②連接，利用軸對稱性質(zhì)得，，推出；在等腰中求出?；再在中用內(nèi)角和定理求．③在上截取，連接；證明（），得到，；推出，為等腰直角三角形，得；從而得到．（2）連接，同理可得，?；在的延長線上截取，證明（），得到，，；從而得到．【詳解】（1）解：①補全圖形如下：②連接，∵點與點關(guān)于對稱，∴，，∵，，∴，，∵，∴，在中，，③在上截取，連接，∵，?，在和中，，∴（），∴，，∵，