/河北省區(qū)石家莊市第二十一中學(xué)2025?2026學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．要使分式值為0，則x的取值應(yīng)該滿足（

）A． B． C． D．2．在《哪吒2》特效制作中，為呈現(xiàn)細(xì)膩的法術(shù)光芒，對(duì)單個(gè)粒子的渲染精度要求極高．其中某關(guān)鍵特效粒子的半徑為0.0000025米，0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．3．下列分式是最簡分式的是（）A． B． C． D．4．要使分式的值擴(kuò)大到原來的4倍，則（）A．的值都擴(kuò)大到原來的2倍B．的值都擴(kuò)大到原來的4倍C．的值不變，的值擴(kuò)大到原來的4倍D．的值不變，的值擴(kuò)大到原來的4倍5．已知，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．6．已知是方程的解，那么實(shí)數(shù)m的值為（

）A．2 B． C．4 D．7．化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．8．若，互為倒數(shù)，則分式的值為（）A． B． C． D．9．新建、改造社區(qū)養(yǎng)老工程是2025年山西省政府確定的民生實(shí)事之一，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)投標(biāo)某社區(qū)養(yǎng)老工程改造建設(shè)任務(wù)，甲隊(duì)單獨(dú)施工比乙隊(duì)單獨(dú)施工完成此項(xiàng)任務(wù)多用10天，且甲隊(duì)單獨(dú)施工45天和乙隊(duì)單獨(dú)施工30天的工作量相同，設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)需要x天，則可列方程為（

）A． B． C． D．10．如果關(guān)于x的不等式﹣3x+2a≥0的解能中僅含有兩個(gè)正整數(shù)解，且關(guān)于x的分式方程有非負(fù)數(shù)解，則整數(shù)a的值(

)A．2或3或4 B．3 C．3或4 D．2或3二、填空題11．若分式有意義，則的取值范圍是.12．計(jì)算：．13．如果，那么代數(shù)式的值為．14．甲、乙兩輛汽車同時(shí)從地出發(fā)，開往相距的地，甲、乙兩車的速度之比是，結(jié)果乙車比甲車早分鐘到達(dá)地，則甲車的速度為．15．若關(guān)于的分式方程無解，則的值為．三、解答題16．解答下列各題．（1）計(jì)算：．（2）解方程：．17．解答下列各題．（1）計(jì)算：；（2）先化簡，然后從，0，1，3中選一個(gè)合適的數(shù)作為的值代入求值．18．隨著快遞業(yè)務(wù)的不斷增加，分揀快件是一項(xiàng)重要工作，某快遞公司為了提高分揀效率，引進(jìn)智能分揀機(jī)，每臺(tái)機(jī)器每小時(shí)分揀的快件量是人工每人每小時(shí)分揀快件數(shù)量的20倍，經(jīng)過測(cè)試，由3臺(tái)機(jī)器分揀7200件快件的時(shí)間，比20個(gè)人人工分揀同樣數(shù)量的快件節(jié)省4小時(shí)．求人工每人每小時(shí)分揀多少件？19．復(fù)習(xí)備考時(shí)，老師在黑板上寫了一道分式化簡題的正確計(jì)算結(jié)果，隨后用手遮住了原題目的一部分，如圖：（）（1）求被手遮住部分的代數(shù)式，并將其化簡；（2）這道分式化簡題的值能等于3嗎？請(qǐng)說明理由．20．為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某停車場計(jì)劃購買兩種型號(hào)的充電樁，已知型充電樁比型充電樁的單價(jià)少萬元，且用萬元購買型充電樁與用萬元購買型充電樁的數(shù)量相等．（1）兩種型號(hào)充電樁的單價(jià)各是多少萬元？（2）該停車場計(jì)劃購買型充電樁共個(gè)，購買總費(fèi)用不超過萬元，且購買型充電樁的數(shù)量不少于型充電樁數(shù)量的．問：共有哪幾種購買方案？哪種方案所需購買總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少萬元？21．閱讀材料，解答下列問題：神奇的等式當(dāng)a≠b時(shí)，一般來說會(huì)有a2+b≠a+b2，然而當(dāng)a和b是特殊的分?jǐn)?shù)時(shí)，這個(gè)等式卻是成立的例如：（）2+=+，（）2+=+，（）2+=+（）2，…（）2+=+（）2，…（1）特例驗(yàn)證：請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)具有上述特征的等式：；（2）猜想結(jié)論：用n（n為正整數(shù)）表示分?jǐn)?shù)的分母，上述等式可表示為：；（3）證明推廣：①（2）中得到的等式一定成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說明理由；②等式（）2+=+（）2（m，n為任意實(shí)數(shù)，且n≠0）成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出一個(gè)這種形式的等式（要求m，n中至少有一個(gè)為無理數(shù)）；若不成立，說明理由．

答案1．【正確答案】C【分析】本題考查了分式的值為零的條件．當(dāng)分式的值為零時(shí)：分子為零；分母不為零，據(jù)此即可判斷．【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得，故選C．2．【正確答案】C【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法的一般形式為，其中，n為整數(shù)．對(duì)于0.0000025，需將小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)6位得到2.5，故．【詳解】解：∵0.0000025的第一個(gè)非零數(shù)字為2，將小數(shù)點(diǎn)移至2后得2.5，此時(shí)小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)了6位，∴，故選C．3．【正確答案】B【分析】本題考查了最簡分式，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)最簡分式的定義“一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式時(shí)叫最簡分式”，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，故原式不是最簡分式；B、不能再約分，故原式是最簡分式；C、，故原式不是最簡分式；D、，故原式不是最簡分式；故選B．4．【正確答案】B【分析】本題考查了分式的變化計(jì)算，準(zhǔn)確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．設(shè)，通過計(jì)算變化后的分式值，與原始值比較，即可判斷．【詳解】解：設(shè)，A、∵的值都擴(kuò)大到原來的2倍，∴，不符合題意；B、∵的值都擴(kuò)大到原來的4倍，∴，符合題意；C、∵的值不變，的值擴(kuò)大到原來的4倍，∴，不符合題意；D、∵的值不變，的值擴(kuò)大到原來的4倍，∴，不符合題意；故選B．5．【正確答案】C【分析】本題考查負(fù)指數(shù)、平方和零指數(shù)冪的計(jì)算，注意零指數(shù)冪的底數(shù)不能為零，根據(jù)運(yùn)算法則分別計(jì)算的值，再比較大?。驹斀狻俊?/p>

，，，∴，即．故選C．6．【正確答案】D【分析】本題考查了方程的解．熟練掌握方程的解是解題的關(guān)鍵．將代入得，，計(jì)算求解即可．【詳解】解：將代入得，，解得，，故選D．7．【正確答案】A【分析】先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)計(jì)算括號(hào)里面的減法，再計(jì)算即可．【詳解】解；原式，故選A．8．【正確答案】C【分析】由，互為倒數(shù)，得到，代入，化簡求值，即可，本題考查了倒數(shù)，代數(shù)式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握提公因式法，進(jìn)行代數(shù)式的化簡．【詳解】解：，互為倒數(shù)，，，故選．9．【正確答案】B【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，設(shè)乙隊(duì)完成此項(xiàng)任務(wù)需要x天，則甲隊(duì)完成此項(xiàng)任務(wù)天，根據(jù)甲隊(duì)單獨(dú)施工45天和乙隊(duì)單獨(dú)施工30天的工作量相同，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)乙隊(duì)完成此項(xiàng)任務(wù)需要x天，則甲隊(duì)完成此項(xiàng)任務(wù)天，根據(jù)題意，得．故選B．10．【正確答案】C【分析】先解不等式﹣3x+2a≥0，得x≤，因?yàn)閮H含有兩個(gè)正整數(shù)解，所以x＝1，2，即2≤＜3，于是3≤a＜，然后解分式方程，得x＝a﹣2，所以a﹣2≥0，a≥2，因此a＝3，4．【詳解】解：解不等式﹣3x+2a≥0，得x≤，∵僅含有兩個(gè)正整數(shù)解，∴x＝1，2，2≤＜3，∴3≤a＜，解分式方程，得x＝a﹣2，∴a﹣2≥0，∴a≥2，∴3≤a＜∴a＝3，4，故選C．11．【正確答案】【分析】本題考查分式有意義的條件，分母不能等于0，即可求解．【詳解】解：∵分式有意義，∴，解得.12．【正確答案】/18【分析】本題考查分式的混合運(yùn)算，掌握分式乘方和分式乘法的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先算乘方，然后再算乘法．【詳解】解.13．【正確答案】1【分析】本題考查了分式的化簡求值，解決本題的關(guān)鍵是分式的混合運(yùn)算．首先將代數(shù)式中的括號(hào)部分通分合并，利用完全平方公式化簡，再與外部分式相乘約分，得到簡化形式后代入已知條件求值即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，．14．【正確答案】80【分析】設(shè)甲車的速度為，則乙車的速度為，根據(jù)乙車比甲車早30分鐘到達(dá)B地列方程求解即可.【詳解】設(shè)甲車的速度為，則乙車的速度為，依題意，得，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，故答案為80.15．【正確答案】或【分析】本題主要考查了分式方程的無解問題，先把原方程去分母化為整式方程得到，分式方程無解有兩種情況，當(dāng)和當(dāng)時(shí)，分式方程有增根，據(jù)此分情況討論求解即可．【詳解】解：去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，∵關(guān)于的分式方程無解，∴當(dāng)，即時(shí)，原方程無解；當(dāng)，即時(shí)，則∵原方程無解，∴原方程有增,即或解得：；綜上所述，或.16．【正確答案】（1）（2）原分式方程無解【分析】本題考查了同底數(shù)冪的除法、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的運(yùn)算以及分式方程的求解．（1）根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義、零指數(shù)冪的定義分別計(jì)算各項(xiàng)，再進(jìn)行加法運(yùn)算；（2）先將分式方程化為整式方程，再求解整式方程，最后需要檢驗(yàn)所得的根是否為增根．【詳解】（1）解：．（2）解：原方程整理為，去分母，得，解得．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．因此不是原分式方程的解．所以原分式方程無解．17．【正確答案】（1）（2），當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式（選一個(gè)即可）【分析】本題考查了分式的運(yùn)算及化簡求值，分式有意義的條件，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則并準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）先將括號(hào)內(nèi)的分式通分，計(jì)算減法，再把除法化為乘法，化簡約分即可解答；（2）小括號(hào)內(nèi)進(jìn)行通分，對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，除法轉(zhuǎn)化為乘法，化簡約分即可得到化簡的結(jié)果，根據(jù)分式有意義的條件得到a的取值，代入求值即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；∵當(dāng)或3時(shí)，原分式無意義，∴只能取1或0，當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式．（寫一種情況即可）18．【正確答案】人工每人每小時(shí)分揀60件快件．【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握正確理解題意，根據(jù)題意找出數(shù)量關(guān)系，列出方程求解．設(shè)人工每人每小時(shí)分揀件，則每臺(tái)機(jī)器每小時(shí)分揀件，根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)人工每人每小時(shí)分揀件，則每臺(tái)機(jī)器每小時(shí)分揀件，依題意列方程：．解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解且有實(shí)際意義所以原方程的解為答：人工每人每小時(shí)分揀60件快件．19．【正確答案】（1）（2）不能，理由見詳解【分析】（1）由題意知被遮擋部分可表示為：，先因式分解，然后乘除，最后通分化簡即可；（2）由解得的值，然后根據(jù)分式方程中的取值進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：由題意知被遮擋部分可表示為：，∴被遮擋部分的代數(shù)式為．（2）解：不能，理由如下：當(dāng)原式的值為3時(shí)，則，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，此時(shí)原分式的分母a+1=0,分式無意義,∴原式的值不能為3．20．【正確答案】（1）型充電樁的單價(jià)為萬元，型充電樁的單價(jià)為萬元（2）該停車場有4種購買方案．方案一：購買型充電樁個(gè)、型充電樁個(gè)；方案二：購買型充電樁個(gè)、型充電樁個(gè)；方案三：購買型充電樁個(gè)、型充電樁個(gè)；方案四：購買型充電樁個(gè)、型充電樁個(gè)．方案四所需購買總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為萬元【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出分式方程和一元一次不等式組是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“用萬元購買型充電樁與用萬元購買型充電樁的數(shù)量相等”列分式方程求解；（2）根據(jù)“購買總費(fèi)用不超過萬元，且購買型充電樁的數(shù)量不少于型充電樁數(shù)量的”列不等式組確定取值范圍從而分析計(jì)算求解．【詳解】（1）解：設(shè)型充電樁的單價(jià)為萬元，則型充電樁的單價(jià)為萬元．根據(jù)題意，得，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解且符合題意．則．答：型充電樁的單價(jià)為萬元，型充電樁的單價(jià)為萬元．（2）解：設(shè)購買型充電樁個(gè)，則購買型充電樁個(gè)．根據(jù)題意，得解得．為整數(shù)，，，或．該停車場有4種購買方案．方案一：購買型充電樁個(gè)、型充電樁（個(gè)）；方案二：購買型充電樁個(gè)、型充電樁（個(gè)）；方案三：購買型充電樁個(gè)、型充電樁（個(gè)）；方案四：購買型充電樁個(gè)、型充電樁（個(gè)）．型充電樁的單價(jià)低于型充電樁的單價(jià)，購買型充電樁越多，總費(fèi)用越少．，方案四所需購買總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為（萬元）．21．【正確答案】（1）（）2+=+（）2；；（2）（）2+=+（）2；；（3）①成立,理由見詳解；②成立,理由見詳解．【分析】（1）根據(jù)題目中的