/河北省石家莊市第四十八中學(xué)2025-?2026學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)第二次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知二次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)與，則（

）．A． B． C． D．無(wú)法確定3．在半徑為6的中有一條弦，則的長(zhǎng)度不可能是（）A．3 B．6 C．12 D．144．如圖，在中，點(diǎn)A、B、C、D在圓上，，，則（

）A． B． C． D．5．如圖，為的外接圓，，連接，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．如圖，已知的半徑為5，直線經(jīng)過(guò)上一點(diǎn)P，下列條件不能判定直線與相切的是（

）A． B． C．點(diǎn)O到直線的距離是5 D．7．如圖，正五邊形內(nèi)接于，點(diǎn)是優(yōu)弧上一點(diǎn)，連接，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．8．下列拋物線中，頂點(diǎn)為，且與拋物線的開(kāi)口方向相同的是（

）A． B．C． D．9．有3個(gè)二次函數(shù)，甲：；乙：；丙．嘉嘉說(shuō)：甲的圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到乙的圖象；淇淇說(shuō)：乙的圖象向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到丙的圖象．下列說(shuō)法正確的是（

）．A．嘉嘉說(shuō)的對(duì)，淇淇說(shuō)的不對(duì) B．嘉嘉說(shuō)的不對(duì)，淇淇說(shuō)的對(duì)C．兩人說(shuō)的都不對(duì) D．兩人說(shuō)的都對(duì)10．如圖，等邊三角形的內(nèi)切圓的半徑為2，則的邊長(zhǎng)為（

）A． B．4 C． D．11．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．拋物線的對(duì)稱軸是直線C．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減小D．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，若直線與相交，則的取值范圍為（

）

A． B．C． D．或二、填空題13．二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．14．如圖，已知，以為直徑的分別交，于點(diǎn)D，E，連接，，若，的半徑為4，則的長(zhǎng)為．15．如圖，若從半徑為的圓形紙片上剪去圓周的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處不重疊），則這個(gè)圓錐的高是．16．如圖，植物園新建了一個(gè)半徑為的圓形牡丹園，牡丹園兩側(cè)有兩條平行的小路，其中小路穿過(guò)牡丹園，出入口、之間的距離為，若兩條小路的距離為，則另外一條小路（填“穿過(guò)”或“不穿過(guò)”）牡丹園．三、解答題17．計(jì)算：（1）；（2）；（3）．18．百度推出了“文心一言”AI聊天機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱A款），抖音推出了“豆包”AI聊天機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱B款）．有關(guān)人員開(kāi)展了A，B兩款A(yù)I聊天機(jī)器人的使用滿意度評(píng)分測(cè)驗(yàn)，并從中各隨機(jī)抽取20份，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析（評(píng)分分?jǐn)?shù)用x表示，分為四個(gè)等級(jí)：不滿意，比較滿意，滿意，非常滿意），下面給出了部分信息：抽取的對(duì)A款A(yù)I聊天機(jī)器人的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)中“滿意”的數(shù)據(jù)：84，86，86，87，88，89；抽取的對(duì)B款A(yù)I聊天機(jī)器人的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；抽取的對(duì)A，B款A(yù)I聊天機(jī)器人的評(píng)分統(tǒng)計(jì)表設(shè)備平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)“非常滿意”所占百分比A88b96B8888c根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）上述圖表中，，；（2）在此次測(cè)驗(yàn)中，有280人對(duì)A款A(yù)I聊天機(jī)器人進(jìn)行評(píng)分、300人對(duì)B款A(yù)I聊天機(jī)器人進(jìn)行評(píng)分，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，估計(jì)此次測(cè)驗(yàn)中對(duì)AI聊天機(jī)器人不滿意的共有多少人？19．如圖，已知直線與雙曲線的圖象交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，交雙曲線于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫出的解集；（3）當(dāng)直線在軸的左側(cè)，且線段的長(zhǎng)為3時(shí)，求的值．20．如圖，以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為直徑作圓，在上取一點(diǎn)C，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，連接，，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．21．日晷是我國(guó)古代使用的一種計(jì)時(shí)儀器，某日晷底座的正面與晷面在同一平面上．如圖，表示日晷的晷面圓周，日晷底座的底邊在水平線上，為等邊三角形，，與分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，是上兩點(diǎn)，，過(guò)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．已知，，．（1）求的半徑；（2）求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）22．“工欲善其事，必先利其器”，如圖所示的是釣魚(yú)愛(ài)好者的神器“晴雨傘”，對(duì)稱軸是垂直于地面的支桿，用繩子拉直后系在樹(shù)干上的點(diǎn)E處（），C，E在一條直線上，通過(guò)調(diào)節(jié)點(diǎn)E的高度可控制“晴雨傘”的開(kāi)合，“晴雨傘”,于點(diǎn)O，支桿與樹(shù)干的橫向距離．（1）天晴時(shí)打開(kāi)“晴雨傘”，若，求遮陽(yáng)寬度；（2）下雨時(shí)收攏“晴雨傘”，使由減少到，求點(diǎn)E下降的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）23．推動(dòng)互聯(lián)互通，促進(jìn)興邊富民，磨憨邊民互市貿(mào)易平穩(wěn)有序，一輛輛滿載香蕉、百香果、菜豆等農(nóng)副產(chǎn)品的大貨車從國(guó)門進(jìn)入后，徐徐駛?cè)肽ズ┻吤窕ナ袌?chǎng)，現(xiàn)某超市銷售一批成本為每箱30元的香蕉，按單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于60元銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，香蕉每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示．銷售單價(jià)x（元）304045銷售數(shù)量y（件）1008070（1）求香蕉每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，才能使銷售香蕉每天獲得的利潤(rùn)w（元）最大？最大利潤(rùn)是多少元．24．已知二次函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為2；當(dāng)時(shí)，的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．

答案1．【正確答案】B【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖象在第一，三象限，則，屬于基礎(chǔ)題，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：圖象在第一，三象限，則，即可列出含的不等式，得到答案．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象位于第一，三象限，，，故選B．2．【正確答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，在解題時(shí)要能靈活應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)特征是本題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的增減性，即可判斷出的大小關(guān)系．【詳解】解：由可得拋物線的對(duì)稱軸為軸，開(kāi)口向上，，，故選B．3．【正確答案】D【分析】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦是直徑，難度較?。鶕?jù)半徑求得直徑的長(zhǎng)，然后利用圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦是直徑作出判斷即可．【詳解】解：∵圓的半徑，∴直徑，∵弦長(zhǎng)滿足，∴，選項(xiàng)D中，故不可能，故選D4．【正確答案】B【分析】本題考查弧，弦，角之間的關(guān)系，根據(jù)等弧所對(duì)的圓心角相等，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∴，∴；故選B．5．【正確答案】C【分析】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．求得，根據(jù)圓周角定理即可求得，即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，，，，故選C．6．【正確答案】A【分析】依據(jù)切線的判定定理“經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線”或“圓心到直線的距離等于半徑”進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，不能判定直線與相切，符合題意；B、由，得到，且點(diǎn)P在上，能判定直線與相切，不符合題意；C、點(diǎn)O到直線的距離是5，等于半徑，能判定直線與相切，不符合題意；D、且點(diǎn)P在上，能判定直線與相切，不符合題意；故選A．7．【正確答案】B【分析】本題考查了正五邊形的中心角的計(jì)算，圓周角定理的應(yīng)用，連接，求得，結(jié)合圓周角定理，計(jì)算求得即可．【詳解】解：如圖，連接，正五邊形內(nèi)接于，，，故選B．8．【正確答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；首先根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和開(kāi)口向上，對(duì)選項(xiàng)中的拋物線逐一判斷，然后可得答案．【詳解】解：所求拋物線與拋物線的開(kāi)口方向相同，所求拋物線開(kāi)口向上，A、的頂點(diǎn)為，開(kāi)口向上，與題干所要求的拋物線不相符；B、的頂點(diǎn)為，開(kāi)口向上，與題干所要求的拋物線相符；C、的頂點(diǎn)為，開(kāi)口向下，與題干所要求的拋物線不相符；D、的頂點(diǎn)為，開(kāi)口向下，與題干所要求的拋物線不相符；故選B9．【正確答案】C【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：甲向左平移3個(gè)單位、向上平移5個(gè)單位后的函數(shù)解析式為，與乙：不符，∴嘉嘉的說(shuō)法錯(cuò)誤；乙向右平移6個(gè)單位、向上平移5個(gè)單位后的函數(shù)解析式為，與丙：不符，∴淇淇的說(shuō)法錯(cuò)誤，∴兩人說(shuō)的都不對(duì)，故選C．10．【正確答案】C【分析】連接，，，解直角三角形求得，進(jìn)而得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接，，設(shè)與相切于點(diǎn)，連接，∵是等邊三角形，∴，∵是的內(nèi)切圓，∴，，，∴，∴，∴，，∴，∴，故選C．11．【正確答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)圖象與y軸交點(diǎn)即可判定，再利用二次函數(shù)的對(duì)稱性和與軸交點(diǎn)求出對(duì)稱軸，根據(jù)圖象即可判斷當(dāng)時(shí)，圖象位于對(duì)稱軸右側(cè)，隨的增大而減小，再由當(dāng)時(shí)，可得．【詳解】解：由圖象可知：拋物線與y軸交于正半軸，∴，A選項(xiàng)的結(jié)論不正確，不符合題意；二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，∴對(duì)稱軸為，故B選項(xiàng)的結(jié)論不正確，不符合題意；由圖象知：當(dāng)時(shí)，圖象位于對(duì)稱軸右側(cè)，隨的增大而減小，故C選項(xiàng)的結(jié)論正確，符合題意；當(dāng)時(shí)，，故D選項(xiàng)的結(jié)論不正確，不符合題意．故選C．12．【正確答案】B【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、解直角三角形，關(guān)鍵是求出圓心到直線的距離；求出直線與圓相切時(shí)的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，設(shè)直線與相切，且與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，過(guò)O點(diǎn)作于，則C為切點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，直線切于點(diǎn)，∴，∵，∴，即，∴若直線與相交，則.故選B．

13．【正確答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)配方法將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，從而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：，所以二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.14．【正確答案】【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形，三線合一，勾股定理，熟練利用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．通過(guò)得到，再利用圓內(nèi)接四邊形和角度的轉(zhuǎn)換得到，可利用三線合一得到，利用勾股定理即可解答．【詳解】解：，，，，，，是的直徑，，，，.15．【正確答案】【分析】本題主要考查了圓錐的計(jì)算，熟練掌握?qǐng)A錐的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式計(jì)算出剪去圓周的一個(gè)扇形的周長(zhǎng)，這個(gè)扇形的周長(zhǎng)就是圓錐底面圓的周長(zhǎng)，根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式計(jì)算出圓錐底面圓的半徑，利用勾股定理求出圓錐的高即可．【詳解】解：半徑為的圓，剪去圓周的一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則母線，則有，解得：，∴．16．【正確答案】不穿過(guò)【分析】本題考查了垂徑定理、勾股定理，關(guān)鍵是垂徑定理的應(yīng)用；根據(jù)題意求出圓心到的距離，再求得圓心到另一條小路的距離，將它與半徑做比較即可得出結(jié)論.【詳解】解：設(shè)另一條小路為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∴∵∴∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴直線與相離，即：另一條小路不穿過(guò)牡丹園．17．【正確答案】（1）（2），（3）【分析】本題考查了解一元二次方程，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）利用直接開(kāi)平方法即可解答；（2）利用因式分解法即可解答；（3）先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值和算術(shù)平方根，再加減即可．【詳解】（1）解：可得，解得；（2）解：可得或，解得，；（3）解：．18．【正確答案】（1）15，88.5，96（2）73人【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖、中位數(shù)、眾數(shù)以及樣本估計(jì)總體等知識(shí)，正確理解中位數(shù)、眾數(shù)的意義，熟練掌握中位數(shù)、眾數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．（1）用1分別減去其他三個(gè)等級(jí)所占百分比可得a的值，根據(jù)中位數(shù)的定義可得b的值，根據(jù)眾數(shù)的定義可得c的值；（2）由A、B兩款的不滿意的人數(shù)之和即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意得：，即，∵A款的評(píng)分非常滿意有（個(gè)），“滿意”的數(shù)據(jù)為84、86、86、87、88、89，∴把A款的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)是88、89，∴中位數(shù)，在B款的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)中，96出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)；故15，88.5，96；（2）解：（人），答：估計(jì)此次測(cè)驗(yàn)中對(duì)聊天機(jī)器人不滿意的大約共有73人．19．【正確答案】（1）（2）或（3）或【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合，掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)一次函數(shù)解析式確定的值，進(jìn)而可得的坐標(biāo)，然后將的坐標(biāo)代入即可求得的值；（2）先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象直接求解即可；（3）根據(jù)題意分別表示出，的坐標(biāo)，根據(jù)建立方程，解方程求解即可，注意分類討論．【詳解】（1）解：已知直線與雙曲線的圖象交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．，的坐標(biāo)為．把代入，得：，∴；（2）解：聯(lián)立解得或，由函數(shù)圖象可知：不等式的解集為或；（3）解：如圖所示，當(dāng)在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，

點(diǎn)，，，，解得，當(dāng)直線在軸的左側(cè)，，當(dāng)在B點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，同理可得：，，解得：或（舍去），綜上所述，或．20．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）3【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定定理及勾股定理．（1）連接，根據(jù)為直徑得出，由已知條件推得，從而證得，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）利用勾股定理得出，根據(jù)已知條件得出，解得的值，進(jìn)而得到的半徑．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵為直徑，∴，即，又∵，，∴，∴，即，又∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：∵，在中，由勾股定理得，，∵，，，∴，∴，∴的半徑為3．21．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查了利用垂徑定理求值、求其他不規(guī)則圖形的面積、三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵；（1）連接，推出，得，即可求解；（2）由（1）可知：,推出，根據(jù)為等邊三角形，求出，，結(jié)合，即可求解；【詳解】（1）解：連接，如圖所示：∵，，∴，∴，∵，∴；（2）解：由（1）可知：,∵．∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴陰影部分的面積22．【正確答案】（1）遮陽(yáng)寬度為；（2）點(diǎn)E下降的高度為．【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用和銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）在中利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，得，再在中銳角三角函數(shù)的定義可得，最后求出和時(shí)的長(zhǎng)即可解答．【詳解】（1）解：由對(duì)稱性可知，，在中，，，，，答：遮陽(yáng)寬度為；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)