/黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)2025?2026學(xué)年九年級上學(xué)期12月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．中國是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，并進(jìn)行負(fù)數(shù)運(yùn)算的國家．若零上10℃記作+10℃，則零下10℃可記作（

）A．10℃ B．0℃ C．-10℃ D．-20℃2．下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．3．赤道長約為40000000m，用科學(xué)記數(shù)法可以把數(shù)字40000000表示為（

）A．4×107 B．40×106 C．400×105 D．4000×1034．如圖是由4個(gè)相同的小正方體組成的幾何體，它的主視圖是（

）

A．

B．

C．

D．

5．分式方程的解為（

）A． B． C． D．6．二次函數(shù)的最小值為（

）A． B．5 C．1 D．7．如圖，每幅圖中有若干個(gè)大小不同的菱形，第1幅圖中有1個(gè)菱形，第2幅圖中有3個(gè)菱形，第3幅圖中有5個(gè)菱形，則第6幅圖中有（

）個(gè)菱形．A．9 B．11 C．13 D．158．如圖，，與相交于點(diǎn)，且，，，那么的值為（

）A． B． C．2 D．9．如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)G，則的面積是（）A． B． C． D．10．如圖，有一張矩形紙片，，，點(diǎn)，分別在矩形的邊，上，將矩形紙片沿直線折疊，使點(diǎn)落在矩形的邊上，記為點(diǎn)，點(diǎn)落在處，連接，交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②四邊形是菱形；③，重合時(shí)，；④的面積的最小值為5．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題11．在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是．12．把多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果是．13．一個(gè)不透明布袋里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球、3個(gè)紅球，它們除顏色外均相同．從中任意摸出一個(gè)球，摸出的球是紅球的概率為．14．不等式組的解集是．15．一個(gè)扇形的面積為，半徑為6，則此扇形的圓心角是度．16．已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流（單位：）與電阻（單位：）成反比例函數(shù)關(guān)系，圖象如圖所示，則這個(gè)反比例函數(shù)解析式為．17．對于實(shí)數(shù)、，定義一種運(yùn)算：．例如，則求的值為．18．在△ABC中，AB=12

，AC=13，cos∠B=

，則BC邊長為．19．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，連接，則的長為．20．如圖1，在中，，，．動點(diǎn)，均以的速度從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)沿折線向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)沿邊向點(diǎn)運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動．的面積（單位：）與運(yùn)動時(shí)間（單位：）的關(guān)系如圖2所示，則的最大值為．三、解答題21．先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．22．圖1、2是兩張形狀和大小完全相同的方格紙，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，線段的兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）在圖1中畫出以為底邊的等腰直角三角形，點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上；（2）在圖2中畫出以為腰的等腰，點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上，且的面積為8，并直接寫出此時(shí)的值．23．為深化義務(wù)教育課程改革，某校積極開展拓展性課程建設(shè)，計(jì)劃開設(shè)藝術(shù)、體育、勞技、文學(xué)等多個(gè)類別的拓展性課程，要求每一位學(xué)生都自主選擇一個(gè)類別的拓展性課程．為了了解學(xué)生選擇拓展性課程的情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖：根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息，解答下列問題：（1）求本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)；（2）通過計(jì)算將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）若該校共有名學(xué)生，請估計(jì)全校選擇體育類的學(xué)生人數(shù)．24．如圖1，在?ABCD中，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)，EF過點(diǎn)O與AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH過點(diǎn)O與AB，CD分別相交于點(diǎn)G，H，連接EG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，EH.（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）如圖2，若，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中與四邊形AGHD面積相等的所有的平行四邊形．(四邊形AGHD除外)

25．某汽車專賣店銷售、兩種型號的新能源汽車，上周售出1輛型車和3輛型車，銷售額為96萬元：本周售出2輛型車和1輛型車，銷售額為62萬元．（1）求每輛車型車和型車的售價(jià)各多少萬元?（2）甲公司擬向該商店購買、兩種型號的新能源汽車共6輛，購車總費(fèi)用不超過140萬元，則至少購進(jìn)型車多少輛?26．已知：的直徑交弦于點(diǎn)，其中點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，弦交于點(diǎn)，其中，連接，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在上，且，連接，，若，，求線段的長．27．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，作直線．（1）如圖1，求的值；（2）如圖2，點(diǎn)為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長為，求與之間的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)在線段上，連接、，且，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，其中．點(diǎn)是上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，，當(dāng)與的和最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

答案1．【正確答案】C【分析】零上溫度記為正，則零下溫度就記為負(fù)，則可得出結(jié)論．【詳解】解：若零上記作，則零下可記作：．故選C．2．【正確答案】A【分析】本題考查軸對稱及中心對稱的定義．掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，識別軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念逐選項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)正確；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選A．3．【正確答案】A【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法“把一個(gè)大于10的數(shù)表示成的形式(其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，即a大于或等于1且小于10，n是正整數(shù))”進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：，故選A．4．【正確答案】B【分析】本題主要考查三視圖，熟練掌握幾何體的特征是解題的關(guān)鍵；根據(jù)幾何體的特征可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題可知該幾何體的主視圖為

故選B．5．【正確答案】B【分析】本題考查分式方程的求解，通過交叉相乘化為整式方程并求解，再檢驗(yàn)整式方程的解是否為增根即可．【詳解】解：，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，故原分式方程的解為；故選B．6．【正確答案】D【分析】本題主要考查二次函數(shù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)，由題知二次函數(shù)已為頂點(diǎn)式，直接由頂點(diǎn)坐標(biāo)可得最小值．【詳解】∵二次函數(shù)為頂點(diǎn)式，其中，，，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．故選D．7．【正確答案】B【分析】本題主要考查圖形規(guī)律類，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)前3幅圖中菱形的個(gè)數(shù)總結(jié)出規(guī)律，利用規(guī)律解題即可．【詳解】解：第1幅圖中有1個(gè)菱形，，第2幅圖中有3個(gè)菱形，，第3幅圖中有5個(gè)菱形，，……∴第幅圖中有個(gè)菱形，∴第6幅圖中為：．故選B．8．【正確答案】D【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，由平行線分線段成比例定理得，即可求解．【詳解】解：，，，，，，故選D．9．【正確答案】C【分析】利用基本作圖得到AG平分∠BAC，利用角平分線的性質(zhì)得到G點(diǎn)到AC的距離為1，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算△ACG的面積．【詳解】解：由作法得平分，點(diǎn)到的距離等于的長，即點(diǎn)到的距離為，所以的面積．故選C．10．【正確答案】B【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)可知四邊形是菱形，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可知，這個(gè)結(jié)論不一定成立，最后利用菱形的面積公式即可解答．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)得：，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，故②正確；∴，，∴，∵，若，∴，∴，這個(gè)結(jié)論不一定成立，故①錯(cuò)誤；點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖所示，設(shè)，則，∴在中，,∴，解得：，∴，，∴，∴，故③正確；當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，如圖所示，最短，四邊形的面積最小，∴，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖，最長，四邊形的面積最大，∴，∴，即的面積的最小值為4．故④錯(cuò)誤；正確的項(xiàng)為②③，共兩個(gè)，故選B．11．【正確答案】【分析】本題考查分式有意義的條件這一知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是明確分式的分母不能為0．根據(jù)分式有意義的條件，分母不為0列出不等式求解．【詳解】在函數(shù)中，因?yàn)榉质降姆帜覆荒転?，所以，解得，即自變量的取值范圍是．12．【正確答案】【分析】本題考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握提取公因式，公式法是關(guān)鍵．根據(jù)題意，運(yùn)用提取公因式法，公式法分解因式即可．【詳解】解.13．【正確答案】#0.5【分析】紅球的個(gè)數(shù)除以總數(shù)，即為摸出紅球的概率．【詳解】球的總數(shù)為：紅球個(gè)數(shù)為：∴從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為：．14．【正確答案】【分析】本題考查一元一次不等式組的解法，分別求解每個(gè)不等式，再找出解集的公共部分就是不等式組的解集．【詳解】解：解不等式，得；解不等式，得；所以原不等式組的解集為．15．【正確答案】120【分析】本題考查扇形的面積以及圓心角問題．設(shè)扇形的圓心角為度，根據(jù)扇形面積公式列出方程求解．【詳解】解：由扇形面積公式得，化簡得，兩邊同時(shí)除以得，即，解得．16．【正確答案】【分析】直接利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可．【詳解】設(shè)，把(8，6)代入得：，解得，，∴這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為.17．【正確答案】5【分析】本題考查了新定義，理解新定義是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義即可求解．【詳解】解：∵，∴.18．【正確答案】或【分析】根據(jù)題意可以畫出符號條件的圖形，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可解答本題．【詳解】作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖所示，∵cos∠B=，AB=12，∴AD=BD=12，∵AC1=AC2=13，∴C1D=5，C2D=5，∴BC1=BD-C1D=12-5=7，BC2=BD+C2D=12+5=17，故答案為7或17．19．【正確答案】【分析】該題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，勾股定理，先求出一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算的長．【詳解】解：對于一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離公式為．20．【正確答案】/【分析】根據(jù)所給函數(shù)圖象上的關(guān)鍵點(diǎn)判斷出此時(shí)點(diǎn)的位置，進(jìn)而求得此時(shí)的高，然后根據(jù)三角形相似可得的長；易得當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，有最大值，分別表示出此時(shí)的長和邊上的高，進(jìn)而得到用表示的，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得面積的最大值．【詳解】解：∵，函數(shù)圖象過點(diǎn)，∴此時(shí)點(diǎn)在上，如圖，作⊥于點(diǎn)，則，，，∴，∵∴，∴，即，解得，由函數(shù)圖象可得：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，有最大值．由題意得：，則，∴，∴，∴==，∴當(dāng)時(shí)，面積有最大值.21．【正確答案】；【分析】本題綜合考查了分式的化簡與特殊角的三角函數(shù)值．解這類題的關(guān)鍵是利用分解因式的方法化簡分式，將已知量與未知量聯(lián)系起來．原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，再利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，利用特殊角的三角函數(shù)值求出x的值，代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：原式，，原式．22．【正確答案】（1）見詳解（2）見詳解，【分析】本題主要考查了利用線段垂直平分線的性質(zhì)及圓的性質(zhì)作圖，角的正切值，正確理解題意并知曉作圖依據(jù)是解題的關(guān)鍵．（1）由題可知，點(diǎn)B滿足、這兩個(gè)條件，說明點(diǎn)B在的垂直平分線上，說明點(diǎn)B在以為直徑的圓上，故可作的垂直平分線及以為直徑的圓，其交點(diǎn)即為所求；（2）由題可知，點(diǎn)D滿足，故可以C為圓心，為半徑作圓，交于一格點(diǎn)D，經(jīng)計(jì)算的面積為8，故點(diǎn)D即為所求，取格點(diǎn)E，連接，進(jìn)而即可求出．【詳解】（1）解：作的垂直平分線，作以為直徑的圓，垂直平分線與圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)B，如圖1，（2）解：以C為圓心，為半徑作圓，格點(diǎn)即為點(diǎn)D，取格點(diǎn)E，連接，如圖2，由作圖可得，，∴．23．【正確答案】（1）200人（2）見詳解（3）560人【分析】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體、扇形統(tǒng)計(jì)圖，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件、利用數(shù)形結(jié)合的思想．（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖可知選擇勞技的學(xué)生60人，占總體的，從而可以求得調(diào)查學(xué)生人數(shù)；（2）用總?cè)藬?shù)減去選擇其他課程的人數(shù)即可求得文學(xué)的有多少人，進(jìn)而可以將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）根據(jù)調(diào)查的選擇體育的學(xué)生所占的百分比可以估算出全校選擇體育類的學(xué)生人數(shù)．【詳解】（1）解：（人），即本次被調(diào)查的學(xué)生有200人；（2）解：選擇文學(xué)的學(xué)生有：（人），補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如下圖所示，（3）解：（人）．即全校選擇體育類的學(xué)生約有560人．24．【正確答案】（1）見詳解；（2）?GBCH、?ABFE、?EFCD、?EGFH【分析】（1）根據(jù)ABCD為平行四邊形得出，則∠EAO=∠FCO，根據(jù)OA=OC，∠AOE=∠COF得出△OAE和△OCF全等，從而得出OE=OF，同理得出OG=OH，從而利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明；（2）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)得出面積相等的四邊形即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，

∴∠EAO=∠FCO．又∵OA=OC，∠AOE=∠COF，

∴△OAE≌△OCF(ASA)，∴OE=OF．同理可證OG=OH，∴四邊形EGFH是平行四邊形．（2）如圖，過點(diǎn)O作BC的垂線交BC于點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)M．

∵，∴．又∵，OF=OE，∴，∴，即說明點(diǎn)O到AB和BC的距離相等．由題意根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可判定四邊形AGHD、四邊形GBCH、四邊形ABFE和四邊形EFCD是平行四邊形．由（1）可知四邊形EGFH為平行四邊形．∵，∴．∵，，∴．∵，∴．綜上可知，?GBCH、?ABFE、?EFCD、?EGFH與四邊形AGHD面積相等．25．【正確答案】（1）每輛型車的售價(jià)為18萬元，每輛型車的售價(jià)為26萬元；（2）至少購進(jìn)A型車2輛．【分析】（1）設(shè)每輛型車的售價(jià)為x萬元，每輛型車的售價(jià)為y萬元，根據(jù)題意，列出二元一次方程組即可求出結(jié)論；（2）設(shè)購進(jìn)型車a輛，則購進(jìn)型車（6-a）輛，根據(jù)題意列出一元一次不等式即可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)每輛型車的售價(jià)為x萬元，每輛型車的售價(jià)為y萬元由題意可得解得：答：每輛型車的售價(jià)為18萬元，每輛型車的售價(jià)為26萬元（2）設(shè)購進(jìn)型車a輛，則購進(jìn)型車（6-a）輛，由題意可得18a＋26（6-a）≤140解得：a≥2∴a的最小值為2答：至少購進(jìn)型車2輛．26．【正確答案】（1）見詳解（2）見詳解（3）【分析】本題主要考