/山東省菏澤市牡丹區(qū)第二十一初級中學2025?2026學年上學期12月月考九年級數(shù)學試題一、單選題1．下列命題中，是真命題的是(

)A．相等的角是對頂角 B．四邊都相等的四邊形是矩形C．菱形的對角線垂直且相等 D．相似三角形的面積比等于相似比的平方2．如圖，的對角線，相交于點，下列哪個條件能夠使得是矩形（

）A． B．C． D．3．如圖，已知，那么添加下列的一個條件后，仍無法判定的是（

）A． B． C． D．4．大自然是美的設計師，即使是一個小小的盆景，經(jīng)常也會產(chǎn)生最具美感的黃金比．如圖，點為的黃金分割點，若，則長為_________．（

）A． B． C． D．5．如圖，已知．現(xiàn)按如下步驟作圖：①以為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交于，；②分別以，為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接交于；③以為圓心，長為半徑畫弧，交于點；④以為圓心，長為半徑畫弧，交前弧于點；⑤作射線交OA于點I．若測得，則點E到的距離為（

）A． B．3 C． D．6．一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象大致為（）A． B．C． D．7．將拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為（

）A． B．C． D．8．如圖，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．若點A，B，C都在格點上，則的值為（）A． B． C． D．9．圭表是度量日影長度的一種天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成，垂直于地面的直桿叫“表”，水平放置于地面且刻有刻度以測量影長的標尺叫“圭”，如圖是小明根據(jù)所在城市設計的圭表示意圖，其中冬至時正午陽光入射角，夏至時正午陽光入射角．已知“表”高，則“圭”上所刻冬至線與夏至線之間的距離為（

）A． B．C． D．10．如圖，在正方形中，與交于點O，H為延長線上的一點，且，連接，分別交，BC于點E，F(xiàn)，連接，則下列結論：①；②；③平分；④．其中正確結論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題11．在中，．若，則的值是．12．對于任意實數(shù)，規(guī)定，例如，．若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為．13．正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點，點的橫坐標為．當時，的取值范圍是．14．若點都在二次函數(shù)的圖象上，則的大小關系是（用“>”號連接）15．拋物線的頂點坐標是16．如圖，在平面直角坐標系中，，分別為軸、軸正半軸上的點，以，為邊，在第一象限內(nèi)作矩形，且，將矩形翻折，使點與原點重合，折痕為，點的對應點落在第四象限，過點的反比例函數(shù)的圖象與線段交于點，并且，則點的坐標為．三、解答題17．計算：18．已知二次函數(shù)．（1）求該函數(shù)的最大值；（2）當時，求的取值范圍．19．某商店銷售一種成本為每件40元的玩具，若按每件50元銷售，一個月可售出500件，若售價每漲1元，月銷量就減少10件．設銷售價為每件元，月銷售利潤為元．（1）求與的函數(shù)解析式；（2）商店為了盡量讓利給顧客，同時使月銷售利潤達到8000元，銷售價應定為每件多少元？20．如圖，已知水平地面上方有一個水平的平臺，該平臺上有一個豎直的建筑物．在處測得建筑物頂端的仰角為，在處測得的仰角為，斜坡的坡度米，．（點在同一豎直平面內(nèi)）．（1）求平臺的高度；（2）求建筑物的高度（即的長）．21．某中學開學之初，為了解七年級新生對學校開展社團活動的喜愛情況，隨機抽取了部分學生進行問卷調(diào)查（社團活動的項目有：籃球、乒乓球、舞蹈、象棋、演講與口才、手工與剪紙，每人必選且只能選一項）．根據(jù)調(diào)查結果，制成了如下的統(tǒng)計圖．請結合圖中信息解答下列問題．（1）本次共調(diào)查了_______名學生，其中喜愛舞蹈的學生人數(shù)是_______，并補全條形統(tǒng)計圖；（2）若七年級新生共有600人，估計有_______人喜歡乒乓球運動；（3）新生中有甲、乙、丙、丁四位同學，籃球基礎較好，且喜歡籃球運動．學?；@球隊在這四人中選2人加入籃球隊，請用列表或畫樹狀圖的方法，求同時選中甲乙兩人的概率．22．某校后勤處每周日均會對學校教室進行消毒處理，已知消毒水的消毒效果隨著時間變化如圖所示，消毒效果（單位：效力）與時間（單位：分鐘）呈現(xiàn)三段函數(shù)圖象，其中段為淺消毒階段，段為深消毒階段，且消毒效果（單位：效力）與時間（單位：分鐘）的關系可近似用一次函數(shù)刻畫，段是反比例函數(shù)圖象的一部分，為降消毒階段．請根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）_____，消毒效果最高效力是_____；（2）當時，求與之間的函數(shù)關系式；（3）若消毒效果持續(xù)分鐘達到效力及以上，即可產(chǎn)生消毒作用，請問本次消毒是否有效？23．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與x軸交于點A，點C在反比例函數(shù)的圖象上的一點，軸，垂足為D，與交于點E，．

（1）求a，k的值；（2）若點P為x軸上的一點，求當最小時，點P的坐標；（3）F是平面內(nèi)一點，是否存在點F使得以A、B、C、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．24．四邊形和四邊形都是正方形．（1）連接，如圖1，試猜想與的數(shù)量關系，并說明理由；（2）在（1）的條件下，如圖2，連接，若，①求證：；②求的長．（3）如圖3，四邊形和四邊形都是平行四邊形，，，且，，連接，試探究與的數(shù)量關系．

答案1．【正確答案】D【分析】本題考查命題的真假判斷，涉及對頂角、矩形、菱形和相似三角形的性質，根據(jù)對頂角、矩形、菱形、相似三角形的性質判斷各選項真假即可解答．【詳解】解：∵相等的角不一定是對頂角(如等腰三角形的底角)，∴A是假命題；∵四邊都相等的四邊形是菱形，不一定是矩形(除非有直角)，∴B是假命題；∵菱形的對角線互相垂直但不一定相等(僅正方形相等)，∴C是假命題；∵相似三角形的面積比等于相似比的平方，這是相似三角形的性質，∴D是真命題.故選D．2．【正確答案】B【分析】本題考查了矩形的判定，熟悉掌握判定的方法是解題的關鍵．根據(jù)矩形的判定方法逐一判斷即可．【詳解】解：∵在平行四邊形的基礎上，需要加一個角為或對角線相等，才可以證明出矩形，∴，，均不能判定出為矩形，故A，B，C錯誤；∵是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴平行四邊形為矩形；故選B．3．【正確答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定定理，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的幾種判定定理．根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對各個選項進行分析，從而得到最后答案．【詳解】解：，，，選項B、D根據(jù)兩角對應相等可以判定，選項A根據(jù)兩邊成比例夾角相等判定，選項C中不是夾這兩個角的邊，所以不相似，故選C．4．【正確答案】A【分析】本題考查了黃金分割的定義，解一元二次方程，根據(jù)黃金分割定義得，設，則，即，整理得，然后解方程并檢驗即可，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】解：根據(jù)黃金分割定義得，設，則，∴，整理得，解得：，（舍去），∴，故選．5．【正確答案】B【分析】如圖所示，過點作交的延長線于點，根據(jù)作圖得出，則，進而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質得出，根據(jù)平行線間的距離處處相等，即可求解．【詳解】根據(jù)作圖可知為的角平分線，，∴如圖所示，過點作交的延長線于點，∵，∴，∵，∴，∵∴點E到的距離為故選B．6．【正確答案】B【分析】分別根據(jù)反比例函數(shù)及一次函數(shù)圖象的特點對四個選項進行逐一分析即可．【詳解】解：∵由反比例函數(shù)的圖象在一、三象限可知，，∴，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三、四象限，故選項錯誤，不符合題意；B選項正確，符合題意；∵由反比例函數(shù)的圖象在二、四象限可知，，∴，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，故C選項錯誤，不符合題意；故選B7．【正確答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)的平移，根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，即可得到答案．【詳解】解：拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線的解析式為，故選B．8．【正確答案】C【分析】本題考查勾股定理及其逆定理、銳角三角函數(shù)，取格點M，連接，，則B、C、M共線，根據(jù)勾股定理及其逆定理得到，再利用余弦定義求解即可．【詳解】解：取格點M，連接，，如圖，根據(jù)網(wǎng)格特點，B、C、M共線，因為每個小正方形的邊長均為1，則由勾股定理得，，，，∴，∴，在中，，，∴．故選C．9．【正確答案】B【分析】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，是解題的關鍵．分別解和，求出和的長度，然后利用線段的和差關系求解即可．【詳解】解：在中，，，，∴，在中，，，，∴，∴．故選B．10．【正確答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質結合勾股定理可知，，，，與互相垂直且平分，進而可求得，根據(jù)正切值定義即可判斷②；由，可知，由相似三角形的性質即可判斷①；由，可求得，再結合與互相垂直且平分，得，可知，進而可判斷③；再證，即可判斷④．【詳解】解：在正方形中，，，，，與互相垂直且平分，則，∵，則，∴，故②不正確；∵，則，，∴，∴，故①不正確；∵，∴，∵，∴，又∵與互相垂直且平分，∴，∴，則，∴，∴平分，故③正確；由上可知，，∴，∴，則，又∵，∴，故④正確；綜上，正確的有③④，共2個，故選B．11．【正確答案】【分析】本題考查求角的正弦值．根據(jù)正切值，設，勾股定理得到、利用正弦值的定義，進行求解即可．掌握三角函數(shù)的定義，是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，設，則：，∴.12．【正確答案】且【分析】本題主要考查了新定義運算，一元二次方程根的判別式，根據(jù)新定義運算將方程化為一般形式，由一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根的條件，判別式大于零且二次項系數(shù)不為零，求解的取值范圍即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，且，解得：且．13．【正確答案】或【分析】本題考查了雙曲線的對稱性和反比例函數(shù)與不等式的關系，理解函數(shù)與不等式的關系，根據(jù)雙曲線的對稱性求出點B的橫坐標是解題關鍵．根據(jù)雙曲線的對稱性得到點B的橫坐標為1，根據(jù)圖象即可求出當時，x的取值范圍為或．【詳解】解：∵正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象都關于原點對稱，則兩函數(shù)的交點也關于原點對稱，∵點的橫坐標為，∴點B的橫坐標為1，根據(jù)函數(shù)圖象可得：當時，或．14．【正確答案】【分析】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及二次函數(shù)的增減性，掌握二次函數(shù)的增減性、對稱性是解題的關鍵．根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和二次函數(shù)的增減性進行判斷即可．【詳解】解：，拋物線開口向上，對稱軸是直線，在對稱軸左側y隨x的增大而減小，∴關于對稱的點的坐標為∵∴15．【正確答案】（1，2）【分析】把二次函數(shù)的解析式改成頂點式，即可求得頂點坐標.【詳解】∵，∴拋物線的頂點坐標是（1，2）．16．【正確答案】【分析】連接，由矩形翻折，使點與原點重合，折痕為，，則，，證明，則，，又，則有，然后通過等腰三角形的性質可得，則有，從而可得點三點共線，過點作于點，則有，證明，然后通過性質可得，所以，，得，設，則，在中根據(jù)勾股定理得，，得，再代入即可求解．【詳解】解：如圖，連接，由矩形翻折，使點與原點重合，折痕為，得，，∵，∴，∴，，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴點三點共線，過點作于點，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵點是反比例函數(shù)上的點，∴，，，∴，設，則，在中根據(jù)勾股定理得，，∴，∴，（舍去），∴，∵，∴.17．【正確答案】【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，利用二次根式的性質、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪分別化簡，再合并即可求解，掌握實數(shù)的運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：原式．18．【正確答案】（1）7（2）【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題關鍵．（1）由于二次函數(shù)開口向下，有最大值，通過頂點公式求最大值；（2）在給定內(nèi)，求函數(shù)的值，通過計算端點和頂點值即可得解．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)中，∴拋物線開口向下，有最大值，頂點坐標為；∴函數(shù)最大值為7；（2）解：當時，當時，；當時，；頂點在內(nèi)，．∵拋物線開口向下，∴在內(nèi)，最小值為，最大值為；∴y的取值范圍為．19．【正確答案】（1）（）（2）60元【分析】本題考查二次函數(shù)的應用；（1）根據(jù)銷售利潤（售價成本）銷售量，先表示出銷售量，然后可求得與的函數(shù)解析式；（2）令銷售利潤為8000，列方程求解，結合讓利顧客的要求確定售價即可．【詳解】（1）解：∵若按每件50元銷售，一個月可售出500件，若售價每漲1元，月銷量就減少10件，∴月銷量為，∴，∴（）．（2）解：令，則，，，解得：，∵盡量讓利給顧客，∴銷售價應定為每件60元．答：商店為了盡量讓利給顧客，同時使月銷售利潤達到8000元，銷售價應定為每件60元．20．【正確答案】（1）10米（2）米【分析】本題考查解直角三角形的實際應用，矩形的判定及性質．（1）過點B作于點E，則，根據(jù)斜坡的坡度，得到，從而在中，根據(jù)勾股定理構造方程，求解即可；（2）延長交于點F，得到四邊形是矩形，因此米，，設米，則（米），通過解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），進而根據(jù)列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：過點B作于點E，則∵斜坡的坡度，∴，∵在中，，即，∴米，∴平臺的高度是10米．（2）解：延長交于點F，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴米，，設米，則（米），∵在中，，∴（米），∵在中，，∴（米），∴米，由（1）有（米），∵，∴，解得，∴（米），即建筑物的高度（即的長）為米．21．【正確答案】（1）100，10，補全條形統(tǒng)計見詳解（2）150（3）【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖的信息關聯(lián)，用樣本估計總體，樹狀圖或列表法求解概率，讀懂統(tǒng)計圖，正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關鍵．（1）先由演講與口才人數(shù)除以占比求出調(diào)查的人數(shù)，再由調(diào)查的人數(shù)減去其余的人數(shù)即可求解喜愛舞蹈的學生人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；（2）用樣本估計總體的方法即可求解；（3）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結果數(shù)，再找到符合題意的結果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．【詳解】（1）解：調(diào)查的學生數(shù)：（人），喜愛舞蹈的人數(shù)：（人），補全條形統(tǒng)計圖如圖：（2）解：（人），∴估計有150人喜歡乒乓球運動.（3）解：畫樹狀圖為：由樹狀圖可知一共有12種等可能性的結果數(shù)，其中同時選中甲乙兩人的結果數(shù)有2種，∴同時選中甲乙兩人的概率是．22．【正確答案】（1），（2）（3）有效【分析】（）利用待定系數(shù)法可求出，再把代入一次函數(shù)解析式可求出消毒效果最高效力；（）利用待定系數(shù)法解答即可求解；（）分別把代入一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式求出的值，進而求出持續(xù)時長即可判斷求解；本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的應用，理解題意是解題的關鍵．【詳解】（1）解：把代入，得，解得，∴，把代入，得，∴消毒效果最高效力是.（2）解：當時，設與之間的函數(shù)關系式為，把代入，得，∴，∴與之間的函數(shù)關系式為；（3）解：把代入，得，解得；把代入，得，解得；∴持續(xù)時長為，∴本次消毒有效．23．【正確答案】（1）（