/山東省青島實驗初級中學2025?2026學年九年級上學期數(shù)學12月月考試題一、單選題1．榫卯是在兩個木構件上所采用的一種凹凸結合的連接方式．凸出部分叫榫（或榫頭），凹進部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到連接作用，如圖是某個部件“榫”的實物圖，它的俯視圖是（

）A． B．C． D．2．平地上立有三根等高的木桿，其俯視圖如圖所示，在某一時刻三根木桿在陽光下的影子可能是（）A． B． C． D．3．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么值為（

）A． B． C． D．4．如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點在軸正半軸上，頂點在反比例函數(shù)的圖象上，若點的橫坐標是，則點的坐標為（

）A． B． C． D．5．已知拋物線的頂點坐標為，且與拋物線的開口方向、形狀大小完全相同，則拋物線的解析式為（

）A． B．C． D．6．綜合實踐小組的同學利用自制密度計測量液體的密度．密度計懸浮在不同的液體中時，浸在液體中的高度是液體的密度的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．列說法正確的是（

）A．當液體密度時，浸在液體中的高度B．當液體密度時，浸在液體中的高度C．當浸在液體中的高度時，該液體的密度D．當液體的密度時，浸在液體中的高度7．圖2是圖1中長方體的三視圖，若用表示面積，則（）

A． B． C． D．8．構建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結合”思想的重要性，在計算tan15°時，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．類比這種方法，計算tan22.5°的值為（）A． B．﹣1 C． D．9．函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖，點是的圖象上一動點，軸于點，交的圖象于點，軸于點，交的圖象于點．如下結論中不正確的是（

）A．與的面積相等B．與始終相等C．四邊形的面積大小不會發(fā)生變化D．10．如圖，分別過點作軸的垂線，交的圖象于點，交直線于點．則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題11．計算：___________．12．如圖，將的按下面的方式放置在一把刻度尺上，頂點O與尺下沿的端點重合，與尺下沿重合，與尺上沿的交點B，在尺上的讀數(shù)為，若按相同的方式將的放置在該刻度尺上，則與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)是cm．（參考數(shù)據(jù)：，，，結果精確到）13．考察函數(shù)的圖象，當時，y的取值范圍是．14．如果矩形的長邊為2，短邊為1，若另一矩形的周長和面積分別是其周長和面積的3倍，則另一矩形的長邊為．15．如圖，點在等邊的邊上，，，將繞點逆時針旋轉得到，其中點的對應點為點，點的對應點為點，的延長線與的延長線相交于點，則的值為．16．二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結論：①；②；③m為任意實數(shù)時，；④；⑤；⑥若，且，則．其中正確的是．（只填寫序號）三、解答題17．要求用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知線段，求作：，使，，且．18．用配方法求拋物線的頂點坐標和對稱軸．19．已知中，，若，，解此直角三角形．（參考數(shù)據(jù)：，，）20．園林部門計劃在某公園建一個長方形苗圃．苗圃的一面靠墻（墻最大可用長度為米）．另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開，分成兩個區(qū)域，并在如圖所示的兩處各留米寬的門（門不用木欄），建成后所用木欄總長米，設苗圃的一邊長為米．（1）苗圃的另一邊長為______米；（用含的代數(shù)式表示）（2）當為何值時，苗圃的面積最大，最大面積為多少平方米？21．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，直線與x軸，y軸分別交于D，C兩點．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集；（3）點P是x軸正半軸上的一點，連接，若的面積為4，求點P的坐標．22．某區(qū)域平面示意圖如圖，點O在河的一側，AC和BC表示兩條互相垂直的公路．甲勘測員在A處測得點O位于北偏東45°，乙勘測員在B處測得點O位于南偏西73.7°，測得AC=840m，BC=500m．請求出點O到BC的距離．參考數(shù)據(jù)：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈23．5月中旬，櫻桃相繼成熟，果農(nóng)們迎來了繁忙的采摘銷售季．為了解櫻桃的收益情況，從第1天銷售開始，小明對自己家的兩處櫻桃園連續(xù)15天的銷售情況進行了統(tǒng)計與分析：A櫻桃園：第x天的單價、銷售量與x的關系如表：單價（元/盒）銷售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640第4天4450………第x天______第x天的單價與x近似地滿足一次函數(shù)關系，已知每天的固定成本為745元．B櫻桃園：第x天的利潤（元）與x的關系可以近似地用二次函數(shù)刻畫，其圖象如圖：（1）A櫻桃園第x天的單價是______元/盒；（用含x的代數(shù)式表示）（2）求A櫻桃園第x天的利潤（元）與x的函數(shù)關系式；（利潤單價銷售量固定成本）（3）①與x的函數(shù)關系式是_____；②求第幾天兩處櫻桃園的利潤之和（即）最大，最大是多少元？24．問題提出：最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有多少個？（整數(shù)邊三角形是指三邊長度都是整數(shù)的三角形．）問題探究：為了探究規(guī)律，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結論．（1）如表①，最長邊長為1的整數(shù)邊三角形，顯然，最短邊長是1，第三邊長也是1．按照（最長邊長，最短邊長，第三邊長）的形式記為，有1個，所以總共有個整數(shù)邊三角形．表①最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式1111個1（2）如表②，最長邊長為2的整數(shù)邊三角形，最短邊長是1或2．根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，當最短邊長為1時，第三邊長只能是2，記為，有1個；當最短邊長為2時，顯然第三邊長也是2，記為，有1個，所以總共有個整數(shù)邊三角形．表②最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式2112個121（3）下面在表③中總結最長邊長為3的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況：表③最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式3112個22，231（4）下面在表④中總結最長邊長為4的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況：表④最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式4113個22，23，241（5）請在表⑤中總結最長邊長為5的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況：表⑤最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式5113個32，2334，251問題解決：（1）最長邊長為6的整數(shù)邊三角形有___________個，最長邊長為7的整數(shù)邊三角形有___________個；（2）最長邊長為100的整數(shù)邊三角形有___________個；（3）在整數(shù)邊三角形中，設最長邊長為n，若k為正整數(shù)，用k的代數(shù)式表示：當時，整數(shù)邊三角形有__個，當時，整數(shù)邊三角形有__________個；（4）在整數(shù)邊三角形中，設最長邊長為n，用n的代數(shù)式表示：當n為奇數(shù)時，整數(shù)邊三角形有________個，當n為偶數(shù)時，整數(shù)邊三角形有________個．25．已知，如圖，中，，點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；點從點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為，連接并延長交的延長線于點，過作，垂足是，設運動時間為，解答下列問題：（1）當t為何值時，；（2）設四邊形的面積為，求y與t之間的函數(shù)關系式；（3）是否存在某一時刻t，使四邊形的面積是面積的一半，若存在，求出相應的t值，若不存在，說明理由；（4）連接，是否存在某一時刻t，使與的交點把線段分成的兩部分？若存在，求出相應的t值，若不存在，說明理由

答案1．【正確答案】C【分析】本題考查三視圖，從物體上面看物體得到的平面圖形就是物體的俯視圖，從而確定答案，注意看得見的棱用實線、看不見的棱用虛線．【詳解】解：從上面看組合體，可得它的俯視圖是，故選C．2．【正確答案】D【分析】本題考查平行投影，解題的關鍵是理解平行投影的定義，屬于中考?？碱}型；根據(jù)平行投影的定義判斷即可；【詳解】解：根據(jù)平行投影的定義可知，在某一時刻三根木桿在陽光下的影子可能是：故選D．3．【正確答案】B【分析】本題考查了求一個角的余弦值，勾股定理，構造出直角三角形是解題的關鍵．過點A作于點H，則，由勾股定理求出，再由余弦的定義即可求解．【詳解】解：過點A作于點H，則，∴由勾股定理得，，∴，故選B．4．【正確答案】B【分析】本題考查了“菱形的性質(zhì)”“反比例函數(shù)上的點坐標特征”“坐標系中兩點之間的距離”，通過圖形性質(zhì)找到點坐標之間的關系是解題關鍵．根據(jù)點A在反比例函數(shù)上，利用橫坐標得到點A的坐標，再計算得到的值，根據(jù)菱形的性質(zhì)，推出，，從而得到點B的坐標．【詳解】解：代入，得，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，，由題意，得在x軸上，∴軸，，∴．故選B．5．【正確答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)成為解題的關鍵．由頂點坐標可設拋物線解析式為，再根據(jù)拋物線與拋物線的開口方向、形狀大小完全相同可得得到即可．【詳解】解：∵拋物線的頂點坐標為，∴可設拋物線解析式為，∵拋物線與拋物線的開口方向、形狀大小完全相同，∴，∴拋物線的解析式為．故選D．6．【正確答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象先求出函數(shù)解析式，再結合圖象逐項判斷即可得解．【詳解】解：設：浸在液體中的高度關于液體的密度的反比例函數(shù)解析式為，將代入可得，反比例函數(shù)解析式為，根據(jù)反比例函數(shù)圖象可得：當液體密度時，浸在液體中的高度，選項說法錯誤，不符合題意；當液體密度時，浸在液體中的高度，選項說法錯誤，不符合題意；根據(jù)反比例函數(shù)圖象可得，浸在液體中的高度隨著液體密度變大而變小，當浸在液體中的高度時，該液體的密度，選項說法正確，符合題意；根據(jù)反比例函數(shù)圖象可得，當液體的密度時，浸在液體中的高度，選項說法錯誤，不符合題意．故選．7．【正確答案】A【分析】由主視圖和左視圖的寬為x，結合兩者的面積得出俯視圖的長和寬，從而得出答案．【詳解】∵S主=x2+2x=x（x+2），S左=x2+x=x（x+1），∴俯視圖的長為x+2，寬為x+1，則俯視圖的面積S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2．故選A．8．【正確答案】B【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD，根據(jù)構造的直角三角形，設AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.【詳解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD，設AC＝x，則：BC＝x，AB＝，CD＝，故選B.9．【正確答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征表示出各點的坐標是關鍵．根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，可知，，代入即可判斷選項、，設，則，，，可得，，，由此可判斷選項、．【詳解】解：、點、是反比例函數(shù)的圖象上的點，，故選項正確；、設，則，，，則，，令，即，解得（負值舍去），故當點橫坐標為時，與才相等，故選項錯誤；、因為是反比例函數(shù)的圖象上一動點，所以，故，故選項正確；、設，則，，則，，所以，故選項正確；故選．10．【正確答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)與垂直于x軸的直線交點坐標問題，以及由特殊到一般的歸納總結方法，掌握歸納總結的方法是解題的關鍵．由可得，，則可得，則可得，再利用，進行計算即可．【詳解】解：∵過點的垂線，交的圖象于點，交直線于點，∴令，可得縱坐標為，縱坐標為，，，．，．故選D．11．【正確答案】2【分析】本題考查了特殊角三角函數(shù)值的混合運算，直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算即可．熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關鍵．【詳解】解：.12．【正確答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應用，正確理解題意是解題的關鍵．過點B作于點D，過點C作于點E，在中，求得，即，在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可求得，即得答案．【詳解】過點B作于點D，過點C作于點E，，，，，在中，，，，與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)是．13．【正確答案】或【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)解答即可．熟練掌握以上知識點是關鍵．【詳解】解：當時，，如圖由圖可知當時，或.14．【正確答案】【分析】本題主要考查一元二次方程的應用，設另一矩形的長邊為x，根據(jù)新矩形的周長是原矩形的3倍可得另一矩形的寬為，根據(jù)另一矩形的面積是原面積的3倍列出方程，通過解一元二次方程求出長邊．【詳解】解：設另一矩形的長邊為x，則另一矩形的寬為，根據(jù)題意得：，整理得，解得，∵x為長邊，∴.15．【正確答案】【分析】本題考查了旋轉的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)，正確添加輔助線是解題的關鍵．過點作于點，過點作于點，由旋轉的性質(zhì)得到，，，由直角三角形的性質(zhì)求得的長，再由相似三角形的判定和性質(zhì)求得的長即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，為等邊三角形，，，，，，將繞點逆時針旋轉得到，，，，，，，，，，，，，解得，，.16．【正確答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)系數(shù)的關系，正確記憶相關知識點是解題關鍵．由拋物線開口向上得，根據(jù)對稱軸得到，根據(jù)拋物線與軸交于負半軸，得到，①正確；由得，②錯誤；根據(jù)拋物線對稱軸為直線，開口向上，得到函數(shù)最小值為，得到③正確；根據(jù)拋物線與軸的右交點在之間，左交點在和原點之間，當時，，得到④錯誤；當時，，得到⑤正確；根據(jù)得到，結合，得到拋物線對稱軸為，得到⑥正確．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象如圖所示，由拋物線開口向上得，由拋物線對稱軸為，，，由拋物線與軸交于負半軸，則，，故①正確；由得，故②錯誤；拋物線對稱軸為直線，開口向上，函數(shù)最小值為，為任意實數(shù)時，，即，故③正確；拋物線與軸右交點在，之間，左交點在，之間，當時，，故④錯誤；當時，函數(shù)值，故⑤正確；，，當和時函數(shù)值相等，拋物線對稱軸為，，故⑥正確正確的有.17．【正確答案】見詳解【分析】本題主要考查了復雜作圖，三角函數(shù)，復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．在直線上取點，過點作直線的垂線，在垂線上截??；在直線上截取，作線段的垂直平分線，交直線于點；連接，即為所求．【詳解】解：如圖所示，即為所求．作法：在直線上取點，過點作直線的垂線，在垂線上截?。辉谥本€上截取，作線段的垂直平分線，交直線于點；連接，即為所求．證明：∵，，，∴，∴．18．【正確答案】拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線．【分析】本題考查將二次函數(shù)一般式化為頂點式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．按照配方的基本步驟進行即可，注意二次項系數(shù)要先提取后化為1，再配一次項系數(shù)的一半的平方．【詳解】解：，∴拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線．19．【正確答案】此直角三角形三邊分別為，，，三個角分別為，，【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，解題的關鍵是掌握相關知識．先根據(jù)勾股定理求出斜邊，再解直角三角形求出，進而求出即可．【詳解】解：在中，，，，，，，，，故此直角三角形三邊分別為，，，三個角分別為，，．20．【正確答案】（1）（2）當時，苗圃的面積最大，最大面積為平方米【分析】本題考查了列代數(shù)式，二次函數(shù)的應用，不等式組的應用，解題的關鍵是讀懂題意，根據(jù)已知列出相應的代數(shù)式．（1）根據(jù)木欄總長米，兩處各留米寬的門，苗圃的一邊長為米，即可求解；（2）根據(jù)題意列不等式求出，設苗圃的面積為，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵木欄總長米，兩處各留米寬的門，苗圃的一邊長為米，米.（2）解：由題意可得，解得，設苗圃的面積為，則，，，當時，最大，最大為，答：當時，苗圃的面積最大，最大面積為平方米．21．【正確答案】（1）；（2）或（3）【分析】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，解題的關鍵是掌握相關知識解決問題．（1）將點代入反比例函數(shù)求得，進而將點，代入得出，再根據(jù)待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式即可求解；（2）根據(jù)，兩點坐標判斷即可．（3）設,，根據(jù)三角形面積列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：點在反比例函數(shù)的圖象上，反比例函數(shù)的表達式為，點在反比例函數(shù)圖象上，，點A的坐標為點，將點A，B坐標代入中，得，解得，一次函數(shù)的表達式為；（2）解：不等式的解集為或；（3）解：令，則，令，則，解得，點C的坐標為，點D的坐標為，設，點A的坐標為點，，，，解得：，22．【正確答案】點O到BC的距離為480m．【分析】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，設OM=x，根據(jù)矩形的性質(zhì)用x表示出OM、MC，根據(jù)正切的定義用x表示出BM，根據(jù)題意列式計算即可．【詳解】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，則四邊形ONCM為矩形，∴ON=MC，OM=NC，設OM=x，則NC=x，AN=840﹣x，在Rt△ANO中，∠OAN=45°，∴ON=AN=840﹣x，則MC=ON=840﹣x，在Rt△BOM中，BM=，由題意得，840﹣x+=500，解得，x=480，答：點O到BC的距離為480m．23．【正確答案】（1）（2）（3）①；②第10天兩處的櫻桃園的利潤之和最大，最大是4800元【分析】本題綜合考查了一次函數(shù)的應用、二次函數(shù)的應用，運用函數(shù)關系正確表示利潤是解答的關鍵．（1）設第x天的單價，利用待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)利潤單價銷售量固定成本，列式計算即可；（3）①由圖象可知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，利用待定系數(shù)法求解；②列出關于x的函數(shù)關系式，變形為頂點式，求出最大值即可．【詳解】（1）解：設第x天的單價，由題意得，解得，.（2）解：由題意得，整理得，即（元）與x的函數(shù)關系式為；（3）解：①由圖象可知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，代入，得：，解得，；②，，當時，有最大值，最大值為4800，∴第10天兩處的櫻桃園的利潤之和最大，最大是4800元．24．【正確答案】（1）12,16（2）2550（3）；（4）；【分析】本題考查的是探究規(guī)律，解決問題的關鍵是列出規(guī)律并找出規(guī)律及正確分類．（1）由上面列舉得1至5的整數(shù)邊三角形個數(shù)規(guī)律即可解答；（2）根據(jù)1至7的整數(shù)邊三角形個數(shù)規(guī)律即可解答；（3）按照n為奇數(shù)和偶數(shù)分類，找出n與兩數(shù)乘積中第一個的關系；（4）由（3）可得結論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：最長邊是奇數(shù)時

算式1

3

5