2026贏在微點高考數(shù)學(xué)考前頂層設(shè)計數(shù)學(xué)第一部分高中數(shù)學(xué)思想方法解題聚匯思想篇數(shù)學(xué)思想在解題審題中的應(yīng)用思想1函數(shù)與方程思想函數(shù)思想方程思想函數(shù)思想是通過建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題得到解決的思想方程思想就是建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過解方程或方程組或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題得到解決的思想真|題|示|例1.(2024·新課標Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),則x=()A.-2 B.-1 C.1 D.2【解題關(guān)鍵】根據(jù)已知條件中向量垂直,可得b·(b-4a)=0,建立關(guān)于x的方程即可求解.答案:D.2.(2025·全國一卷)若一個等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且前4項的和等于4,前8項的和等于68,則這個數(shù)列的公比等于.【解題關(guān)鍵】設(shè)等比數(shù)列的首項為a1,公比為q,由等比數(shù)列的前n項和公式得a1(1-q4)1-q=4,a1(1-3.(2024·新課標Ⅰ卷)若曲線y=ex+x在點(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線,則a=.【解題關(guān)鍵】令f(x)=ex+x,則f'(x)=ex+1,所以f'(0)=2,所以曲線y=ex+x在點(0,1)處的切線方程為y=2x+1.令g(x)=ln(x+1)+a,則g'(x)=1x+1,設(shè)直線y=2x+1與曲線y=g(x)相切于點(x0,y0),則1x0+1=2,得x0=-12,則y0=2x0+1=0,所以0=ln-12+1+a,所以a=ln新|題|自|測1.(2025·泰安模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x<0時,f(x)=3x-1,則使不等式f(ex-3e-x)<89成立的x的取值范圍是(CA.(ln3,+∞) B.(0,ln3)C.(-∞,ln3) D.(-1,3)解析當x<0時,f(x)=3x-1單調(diào)遞增且f(x)<0,又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則f(0)=0滿足f(x)=3x-1,所以函數(shù)y=f(x)在R上是連續(xù)函數(shù),所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),f(-2)=-89,所以f(2)=-f(-2)=89,f(ex-3e-x)<89=f(2),所以ex-3e-x<2,即e2x-2ex-3<0,(ex-3)(ex+1)<0,又ex+1>0,所以ex<3,x<ln3,即原不等式的解集為(-∞,ln2.(2025·衡水模擬)已知正數(shù)a,b,c滿足aea=blnb=eclnc=1,則a,b,c的大小關(guān)系為(D)A.c<a<b B.c<b<aC.a<b<c D.a<c<b解析由aea=blnb=eclnc=1,得ea-1a=lnb-1b=lnc-1ec=0,令函數(shù)f(x)=ex-1x,x>0,顯然函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f12=e12-2<0,f(1)=e-1>0,f(a)=0,則12<a<1;令函數(shù)g(x)=lnx-1x,函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g(2)=ln2-12>0,而g32=ln32-23<lne-23=12-23<0,g(b)=0,則32<b<2;令h(x)=lnx-1ex,函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,而h(1)=-1e<0,h32=ln32-1e32>ln32-13=13ln278-13>3.(2025·長沙模擬)已知O為坐標原點,F1,F2分別是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,P是雙曲線C上一點,若直線PF1和OP的傾斜角分別為α和2α,且tanα=34A.3 B.5 C.2 D.7解析由題意得tan2α=2tanα1-tan2α=2×341-342=247,所以直線PF1的斜率為tanα=34,直線OP的斜率為247,設(shè)P(x,y),則有yx+c=34,yx=247,解得x=7c25,y=24c25,代入雙曲線方程,得7c252a2-24c252b2=1,又b2=c2-a2,所以(c2-a2)7c252-a224c252=a2(c2-a2),化簡可得7252c4-2a2c2+a4=0,4.(2025·無錫模擬)設(shè)非零向量a,b,c滿足a+b+c=0,|a|=2,<b,c>=120°,則|b|的最大值為

433解析因為a+b+c=0,所以a=-(b+c),所以|a|2=|b|2+2|b||c|cos120°+|c|2,即|c|2-|b||c|+|b|2-4=0,所以Δ=|b|2-4(|b|2-4)≥0,解得0<|b|≤433,即|b|的最大值為思想2數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用包括以下兩個方面:(1)“以形助數(shù)”,把某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化,能夠變抽象思維為形象思維,揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì);(2)“以數(shù)定形”,把直觀圖形數(shù)量化,使形更加精確.真|題|示|例1.(2024·新課標Ⅰ卷)當x∈[0,2π]時,曲線y=sinx與y=2sin3x-π6的交點個數(shù)為(A.3 B.4 C.6 D.8【解題關(guān)鍵】畫出函數(shù)y=sinx和函數(shù)y=2sin3x-π6在[0,2π]上的圖象,由圖可知,兩函數(shù)圖象有6個交點.答案2.(2025·全國二卷)(多選題)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=(x2-3)ex+2,則()A.f(0)=0B.當x<0時,f(x)=-(x2-3)e-x-2C.f(x)≥2當且僅當x≥D.x=-1是f(x)的極大值點【解題關(guān)鍵】當x>0時,f'(x)=(x+3)(x-1)ex,令f'(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得0<x<1,因此f(x)在x=1處取得極小值,故奇函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值.對于選項C,作出f(x)的大致圖象,由圖可知C選項錯誤.答案:ABD.3.(2025·全國二卷)若x=2是函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的極值點,則f(0)=.【解題關(guān)鍵】因為x=2是函數(shù)f(x)的極值點,所以由數(shù)軸標根法可得a=2,作出f(x)的圖象如圖所示,所以a=2符合題意,則f(x)=(x-1)(x-2)2.答案:-4.新|題|自|測1.(2025·青島模擬)若|a|=|b|=|c|=2,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,則|a+b-c|的取值范圍是(D)A.[0,22+2] B.[0,2]C.[22-2,22+2] D.[22-2,2]解析如圖所示,OA=a,OB=b,OC=c,OD=a+b,因為(a-c)·(b-c)≤0,所以點C在劣弧AB上運動,所以|a+b-c|表示C,D兩點間的距離|CD|.|CD|的最大值是|BD|=2,|CD|最小值為|OD|-2=22-2.2.(2025·湖南模擬)已知函數(shù)f(x)=-x2+2x,x≤0,ln(x+1),x>0,若|f(x)|≥ax,則aA.(-∞,0] B.(-∞,1]C.[-2,1] D.[-2,0]解析由題意可作出函數(shù)y=|f(x)|的圖象和函數(shù)y=ax的圖象.由圖象可知,函數(shù)y=ax的圖象是過原點的直線,當直線介于l與x軸之間符合題意,直線l為曲線的切線,且此時函數(shù)y=|f(x)|在第二象限的部分的解析式為y=x2-2x,求其導(dǎo)數(shù)可得y'=2x-2,當x=0時,y'=-2,故直線l的斜率為-2,故只需直線y=ax的斜率a∈[-2,0].3.(2025·湖北模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過點F的直線交拋物線于點A,B(點A在第一象限),過A,B兩點分別作準線的垂線,垂足為C,D.連接CF交y軸于點H,若DH∥AB,則直線AB的斜率為(D)A.1 B.3 C.2 D.22解析設(shè)HD與x軸的交點為E.根據(jù)拋物線的定義有|AF|=|AC|,|BF|=|BD|.因為BD∥x軸,DH∥AB,所以四邊形BDEF是菱形.因為|AC|=|AF|,所以∠ACF=∠AFC,又AC∥EF,所以∠ACF=∠EFH,即∠EFH=∠AFC.因為DH∥AB,所以∠EHF=∠AFC,所以∠EFH=∠EHF,所以|EH|=|EF|.在菱形BDEF中,|EF|=|ED|,所以|EH|=|ED|,所以E是DH的中點.又點F到準線的距離為p,所以|EF|=34p,|EO|=14p,在Rt△EOH中,|OH|=|EH|2-|EO|2=22p,所以Bp4,-22p,又4.(2025·河南模擬)過雙曲線x2-y248=1的右支上一點P,分別向圓C1:(x+7)2+y2=4和圓C2:(x-7)2+y2=1作切線,切點分別為M,N,則|PM|2-|PN|2的最小值為解析由雙曲線方程知其焦點坐標為(±7,0),由圓的方程知,圓C1圓心為C1(-7,0),半徑r1=2;圓C2圓心為C2(7,0),半徑r2=1.因為PM,PN分別為兩圓切線,所以|PM|2=PC1|2-r12=|PC1|2-4,|PN|2=|PC2|2-r22=|PC2|2-1,所以|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|+|PC2|)(|PC1|-|PC2|)-3,因為P為雙曲線右支上的點,且雙曲線焦點為C1,C2,所以|PC1|-|PC2|=2,又|PC1|+|PC2|≥|C1C2|=14(當P為雙曲線右頂點時取等號),所以|PM|2-|PN|2=(|PC1|+|PC2|)(|PC1|-|PC2|)-3≥14×2-3=25,即|PM|思想3轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想方法,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進而得到解決的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題,將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題,將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.真|題|示|例1.(2024·新課標Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax,當x∈(-1,1)時,曲線y=f(x)與y=g(x)恰有一個交點,則a=()A.-1 B.12 C.1 【解題關(guān)鍵】令h(x)=f(x)-g(x),x∈(-1,1),原問題等價轉(zhuǎn)化為h(x)有且僅有一個零點,可知h(x)為偶函數(shù),根據(jù)偶函數(shù)圖象的對稱性可知h(x)的零點只能為0,即可得a=2,并代入檢驗即可.答案:D.2.(2022·新課標Ⅱ卷)(多選題)若實數(shù)x,y滿足x2+y2-xy=1,則()A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x2+y2≥1 D.x2+y2≤2【解題關(guān)鍵】由x-y22+32y2=1,令x-y2=cosθ,32y=sinθ,得x=3.(2021·新課標Ⅰ卷)函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為.【解題關(guān)鍵】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)=2x-1-2lnx,x>12,1-2x-2lnx,0<x≤12,在每段函數(shù)中借助導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性新|題|自|測1.(2025·株洲模擬)“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個著名定理,該定理的內(nèi)容為:橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上,該圓稱為原橢圓的蒙日圓,若橢圓C:x2a+1+y2a=1(a>0)的離心率為12,則橢圓A.x2+y2=9 B.x2+y2=7C.x2+y2=5 D.x2+y2=4解析因為橢圓C:x2a+1+y2a=1(a>0)的離心率為12,所以1a+1=12,解得a=3,所以橢圓C的方程為x24+y23=1,所以橢圓的上頂點A(0,3),右頂點B(2,0),所以經(jīng)過A,B兩點的切線方程分別為y=3,x=2,所以兩條切線的交點坐標為(2,3),又過A,B的切線互相垂直,由題意知交點必在一個與橢圓C同心的圓上,可得圓的半徑r=22+2.(2025·太原模擬)某工件是底面半徑為1,母線長為3的圓錐,現(xiàn)將該工件通過切削,加工成一個體積盡可能大的正方體新工件,并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi),則原工件的材料利用率為(材料利用率=新工件的體積/原工件的體積)(A)A.89π B.C.24(2-1)解析因為該幾何體是一個底面半徑為r=1,母線長為l=3的圓錐,則圓錐的高為h=l2-r2=32-12=22.由題意知,加工成的體積最大的正方體ABCD?A1B1C1D1的一個底面A1B1C1D1在圓錐的底面上,過平面AA1C1C的軸截面如圖所示,設(shè)正方體的棱長為x,則有22xr=h-xh,即x2=23.(2025·山東模擬)已知大于1的三個實數(shù)a,b,c滿足(lga)2-2lgalgb+lgblgc=0,則a,b,c的大小關(guān)系不可能是(D)A.a=b=c B.a>b>cC.b>c>a D.b>a>c解析令f(x)=x2-2xlgb+lgblgc,則lga為f(x)的零點,且該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=lgb,故Δ=4lg2b-4lgblgc≥0.因為b>1,c>1,故lgb>0,lgc>0,所以lgb≥lgc,即b≥c.又f(lgb)=lgblgc-lg2b=lgb(lgc-lgb),f(lgc)=lg2c-lgblgc=lgc(lgc-lgb),若b=c,則f(lgb)=f(lgc)=0,故lga=lgb=lgc,即a=b=c.若b>c,則f(lgb)<0,f(lgc)<0,利用二次函數(shù)圖象,可得lga<lgc<lgb或lgc<lgb<lga,即a<c<b或c<b<a.思想4分類討論思想分類討論思想是當問題的對象不能進行統(tǒng)一研究時,需對研究的對象按某個標準進行分類,然后對每一類分別研究,給出每一類的結(jié)論,最終綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答.實質(zhì)上分類討論就是“化整為零,各個擊破,再集零為整”的數(shù)學(xué)思想.真|題|示|例1.(2024·新課標Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)ln(x+b),若f(x)≥0,則a2+b2的最小值為()A.18 B.14 C.1【解題關(guān)鍵】解法一:f(x)的定義域為(-b,+∞),分類討論-a與-b,1-b的大小關(guān)系,結(jié)合符號分析判斷,即可得b=a+1,代入可得最值;解法二:根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析ln(x+b)的符號,通過分類討論進而可得x+a的符號,即可得b=a+1,代入可得最值.答案:C.2.(2024·全國甲卷)有6個相同的球,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中無放回地隨機取3次,每次取1個球.設(shè)m為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值,n為取出的三個球上數(shù)字的平均值,則m與n之差的絕對值不大于12的概率為【解題關(guān)鍵】根據(jù)排列可求樣本點的總數(shù),設(shè)前兩個球的號碼為a,b,第三個球的號碼為c,則a+b-3≤2c≤a+b+3,就c的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.答案:7153.(2022·新課標Ⅱ卷)曲線y=ln|x|經(jīng)過坐標原點的兩條切線方程分別為.【解題關(guān)鍵】當x>0時設(shè)切點為x0,lnx0,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可求出切線的斜率,從而表示出切線方程,再根據(jù)切線過坐標原點求出x0=e,即可求出切線方程y=xe,當x<0時,同理可求出切線方程y=-xe.答案:y=新|題|自|測1.(2025·保定模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax+1,x≤1,x-alnx,x>1(a∈R),若函數(shù)f(x)有四個零點,則aA.(-∞,0) B.(e,+∞)C.(4,+∞) D.(4,e2)解析當a=0時,f(x)=1,x≤1,x,x>1,函數(shù)f(x)無零點,舍去.當a<0,且x≤1時,f(x)=ax2-ax+1為圖象開口向下,對稱軸為直線x=12的二次函數(shù),f12=a×122-a×12+1=-14a+1>0,f(1)=a-a+1=1>0.則x≤1時,函數(shù)f(x)與x軸只有一個交點;當a<0,且x>1時,f(x)=x-alnx.f'(x)=1-ax=x-ax>0,故函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,則f(x)>f(1)=1,即x>1時,函數(shù)f(x)與x軸無交點.則當a<0時,函數(shù)f(x)有一個零點,與題意不符,舍去.當a>0,且x≤1時,f(x)=ax2-ax+1為圖象開口向上,對稱軸為直線x=12的二次函數(shù).f12=a×122-a×12+1=-14a+1,f(1)=a-a+1=1>0.函數(shù)f(x)在(-∞,1]最多有兩個零點.當a>0,且x>1時,f(x)=x-alnx.f'(x)=1-ax=x-ax.令f'(x)=0,得x=a,當0<a≤1時,f'(x)>0,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,與已知矛盾,不符合題意,舍去;當a>1時,x∈(a,+∞)時,f(x)單調(diào)遞增,x∈(1,a)時,f(x)單調(diào)遞減,f(a)=a-alna,函數(shù)f(x)在(1,+∞)2.(2025·開封模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若acosA=bcosB,且c=2,sinC=35,則△ABC的面積為(AA.13或3 B.23C.1或23 D.1或解析由acosA=bcosB及正弦定理,得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因為A,B∈(0,π),所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2.又sinC=35,所以A=B.當C為銳角時,因為sinC=35,所以cosC=45,所以sinC2=1010.由sinC2=c2a=c2b及c=2,得b=a=10,所以△ABC中AB邊上的高為3,所以△ABC的面積為12×2×3=3.當C為鈍角時,因為sinC=35,所以cosC=-45,所以sinC2=31010.由sinC2=c2a=c2b及c=2,得b=a=103,所以△ABC中3.(2025·菏澤模擬)記F1,F2為橢圓C:x2m+y2=1的兩個焦點,若C上存在點M滿足MF1·MF2=0,A.0,12∪[2,+∞) B.12,1∪[C.0,12∪(1,2] D.12,1∪(解析如圖①,當焦點在x軸上時,a2=m,b2=1,m>1,由對稱性可知當M為上、下頂點時,∠F1MF2最大,因為MF1·MF2=0,則當M為上、下頂點時,∠F1MF2≥π2,∠F1MO≥π4,所以tan∠F1MO=cb≥tanπ4=1,即m-11≥1,解得m≥2;如圖②,當焦點在y軸上時,a2=1,b2=m,0<m<1,當M為左、右頂點時,∠F1MF2最大,因為MF1·MF2=0,則當M為左、右頂點時,∠F1MF2≥π2,∠F1MO≥π4,所以tan∠F1MO=①②4.(2025·德陽模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax(a∈R),若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點,則a的取值范圍為

0,1解析f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=1x-ax2=x-ax2,當a≤0時,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),不可能有兩個零點,舍去;當a>0時,f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增,因為f(x)有兩個不同的零點,所以f(x)min=f(a)=lna+1<0,解得0<a<1e.當0<a<1e時,因為f(e)=1+ae>0,所以f(x)在(a,e)上存在一個零點,因為f(a2)=2lna+1a>0,所以f(x)在(a2,a)方法篇高考選填題特殊解法的巧用方法1特例法第①步取特例第②步檢驗與排除第③步下結(jié)論直接取特殊自變量、特殊點、特殊圖形、特殊位置、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列等特值排除:代入特值,檢驗是否符合,排除干擾項;特值檢驗:對于定性、定量問題,直接通過特值簡化題干,速求結(jié)論根據(jù)檢驗結(jié)果,直接選出相應(yīng)的項,或多次驗證排除錯誤選項真|題|示|例1.(2025·全國一卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,則x,y,z的大小關(guān)系不可能是()A.x>y>z B.x>z>yC.y>x>z D.y>z>x【多想少算】令x=1,則y=13,z=1125,得x>y>z;令x=8,則y=9,z=1,得y>x>z;令x=64,則y=243,z=125,得y>z>x.排除A、C、D.答案:2.(2024·全國甲卷)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S9=1,則a3+a7=()A.-2 B.73 C.1 D.【多想少算】令等差數(shù)列的公差d=0,則S9=1=9a1,可得a1=19,則a3+a7=2a1=29.答案3.(2023·新課標Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)·ln2x-12x+1為偶函數(shù),則a=()A.-1 B.0 C.12 D.【多想少算】因為f(x)的定義域為-∞,-12∪12,+∞且為偶函數(shù),所以f(-1)=f(1),解得新|題|自|測1.(2025·湖北模擬)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),則(D)A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1C.λμ=1 D.λμ=-1解析由結(jié)論的確定性,可選取特殊數(shù)值μ=1.依題意知a+λb=(1,1)+λ(1,-1)=(1+λ,1-λ),a+μb=a+b=(1,1)+(1,-1)=(2,0).因為(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+b)=(1+λ,1-λ)·(2,0)=2(1+λ)=0,解得λ=-1,此時λ+μ=0,λμ=-1.結(jié)合題中的選項可知,應(yīng)選D.或者,利用常規(guī)方法求解.由a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ),結(jié)合(a+λb)⊥(a+μb),可得(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.應(yīng)選D.2.(2025·安慶模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過點F2且與漸近線平行的直線交雙曲線C于點M,若|MF1|=3|MF2|,A.2 B.3 C.5 D.3解析(特值法)根據(jù)雙曲線的對稱性,不妨設(shè)一條漸近線的方程為y=bax,則直線MF2的傾斜角α的正切值為ba,則cosα=ac,設(shè)|MF2|=1,|MF1|=3,由雙曲線的定義可知|MF1|-|MF2|=2a=2,解得a=1.在△MF1F2中,由余弦定理可知cosα=4c2+1-94c=c2-2c,故c2-2c=1c,3.(2025·上饒模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)且f(0)=-1,g(x)=f(x-1)是奇函數(shù),則f(2026)=(C)A.-1 B.0 C.1 D.2解析構(gòu)造函數(shù)f(x)=-cosπx2,則f(x)為定義在R上的偶函數(shù),且f(0)=-1,g(x)=f(x-1)=-sinπx2是奇函數(shù),滿足題意,所以f(2026)=-cos2026π2=-cosπ=1,4.(2025·河北模擬)已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線為l0,過焦點F且傾斜角為θθ≠π2的直線l與拋物線交于A,B兩點,則1|FA|+1|FB|=解析令θ=60°,A在第一象限,則易知|AF|=8,|BF|=83,所以1|FA|+1|FB|=18+方法2驗證法使用前提使用技巧常見問題各選項可分別作為條件可以結(jié)合特值法、排除法等先否定一些明顯錯誤的選項,再選擇直覺認為最有可能的選項進行驗證,這樣可以快速獲得答案題干信息不全、選項是數(shù)值或范圍、正面求解或計算煩瑣的問題等真|題|示|例1.(2025·全國二卷)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},則A∩B=()A.{0,1,2} B.{1,2,8}C.{2,8} D.{0,1}【多想少算】因為2不滿足x3=x,所以2?(A∩B),排除A,B,C.答案:D.2.(2025·全國一卷)若圓x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直線y=3x+2的距離為1的點有且僅有兩個,則r的取值范圍是()A.(0,1) B.(1,3)C.(3,+∞) D.(0,+∞)【多想少算】圓心(0,-2)到直線y=3x+2的距離d=2,當r=1時,圓上有一個點到直線的距離為1,當r=3時,圓上有三個點到直線的距離為1,所以要使圓上有且僅有兩個點到直線的距離為1,則1<r<3.答案:B.3.(2024·新課標Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=-x2-2ax-a,x<0,ex+ln(x+1),x≥0在R上單調(diào)遞增,則A.(-∞,0] B.[-1,0]C.[-1,1] D.[0,+∞)【多想少算】當a=1時,f(x)=-(x+1)2在(-∞,0)上不單調(diào),可排除C和D選項;當a=-2時,對于函數(shù)f(x),當x從0的左側(cè)趨近于0時,f(x)→2,而f(0)=1,所以f(x)在R上不單調(diào),可排除A選項.答案:B.新|題|自|測1.(2025·黑龍江模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=anan+2(n∈N*).若bn=log21an+1,則數(shù)列{bn}A.12n B.n-1 C.n D.2解析因為b1=log21a1+1=log2(1+1)=1,排除A、B2.(2025·安徽模擬)已知函數(shù)f(x)=22x+1-1,且f(4x-1)>f(3),則實數(shù)x的取值范圍是A.(2,+∞) B.(-∞,2)C.(1,+∞) D.(-∞,1)解析令x=0,得f(0)>f(3),因為f(x)為減函數(shù),排除A、C,又令x=1,得f(3)>f(3),顯然不成立,排除B.3.(2025·衡陽模擬)已知某函數(shù)的圖象如圖所示,則下列函數(shù)中,圖象最契合的函數(shù)是(D)A.y=sin(ex+e-x) B.y=sin(ex-e-x)C.y=cos(ex-e-x) D.y=cos(ex+e-x)解析由題圖可知,當x=0時,y<0,當x=0時,y=sin(ex+e-x)=sin2>0,故排除A;當x=0時,y=sin(ex-e-x)=sin0=0,故排除B;當x=0時,y=cos(ex-e-x)=cos0=1>0,故排除C;當x=0時,y=cos(ex+e-x)=cos2<0,滿足題意.4.(2025·衡水模擬)(多選題)將函數(shù)y=cosx+π3的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的12(縱坐標不變),然后向左平移π4個單位長度得到函數(shù)f(x)的圖象,A.f(x)=sin2x+π3是函數(shù)f(xB.直線x=7π12是函數(shù)f(x)C.函數(shù)f(x)是周期為π的奇函數(shù)D.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為kπ-5π12,kπ+π12解析f(x)=cos2x+π4+π3=cos2x+π2+π3=-sin2x+π3.f(x)=-sin2x+π3≠sin2x+π3,故A錯誤;f(0)=-sin方法3構(gòu)造法使用前提使用技巧常見問題所構(gòu)造的函數(shù)、方程、幾何圖形等要合理,不能超出原題的限制條件對于不等式、方程、函數(shù)問題常采用構(gòu)造新函數(shù),對于不規(guī)則的幾何體常構(gòu)造成規(guī)則幾何體處理比較大小、函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題、不規(guī)則的幾何體問題等真|題|示|例1.(2024·天津高考)一個五面體ABC?DEF如圖所示,已知AD∥BE∥CF,且兩兩之間的距離為1,AD=1,BE=2,CF=3,則該五面體的體積為()A.36 B.33C.32 D.33【多想少算】采用補形法將五面體ABC?DEF補成一個棱柱,再利用體積公式求解即可.答案:C.2.(2022·新課標Ⅰ卷)設(shè)a=0.1e0.1,b=19,c=-ln0.9,則()A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.a<c<b【多想少算】構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-(x+1),利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出ex≥x+1,由此可得a<b;構(gòu)造函數(shù)g(x)=xex+ln(1-x),0<x≤0.1,由g(x)的單調(diào)性可得出a>c,由此能求出結(jié)果.答案:C.3.(2024·全國甲卷)曲線y=x3-3x與y=-(x-1)2+a在(0,+∞)上有兩個不同的交點,則a的取值范圍為.【多想少算】令x3-3x=-(x-1)2+a,分離參數(shù)a,構(gòu)造新函數(shù)g(x)=x3+x2-5x+1(x>0),結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得g(x)的單調(diào)區(qū)間,畫出g(x)的大致圖象,數(shù)形結(jié)合即可求解.答案:(-2,1).新|題|自|測1.(2025·湖北模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足12f(x)+f'(x)>0,且有f(1)=12,則2f(x)>e1-x2A.(-∞,2) B.(1,+∞)C.(-∞,1) D.(2,+∞)解析設(shè)F(x)=f(x)·ex2,則F'(x)=f'(x)·ex2+12f(x)·ex2=ex212f(x)+f'(x)>0,所以函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞增,又f(1)=12,所以F(1)=f(1)·e12=12e12.又2f(x)>e1-x2等價于f(x)·ex2>2.(2025·長春模擬)已知三棱錐P?ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為(D)A.86π B.46π C.26π D.6π解析如圖所示,構(gòu)造棱長為2的正方體,顯然滿足題設(shè)的一切條件,則球O就是該正方體的外接球,從而體積為6π.3.(2025·泰安模擬)已知函數(shù)f(x)=ex+2x,g(x)=4x,且f(m)=g(n),則|n-m|的最小值為

12-12解析由f(m)=g(n),得em+2m=4n,化簡整理得4n-4m=em-2m.令h(m)=em-2m(m∈R),則h'(m)=em-2,令em-2=0,解得m=ln2.當m∈(-∞,ln2)時,h'(m)<0,即h(m)在(-∞,ln2)上單調(diào)遞減;當m∈(ln2,+∞)時,h'(m)>0,即h(m)在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(m)min=h(ln2)=2-2ln2>0,所以|n-m|min=12-12ln4.(2025·福建模擬)設(shè)數(shù)列{an}中,a1=3,13an=an-1+3n(n∈N*,n≥2),則an=(3n-2)3n解析因為13an=an-1+3n(n∈N*,n≥2),所以an3n-an-13n-1=3.又因為a1=3,所以a13=1.所以數(shù)列an3n是以1為首項,3為公差的等差數(shù)列.所以an3n=1+3(n-1)=3方法4估算法對于選擇題中的有些題目解答無需過程,不必進行準確的計算,只需對其數(shù)值特點和取值界限作出適當?shù)墓烙?便能作出正確的判斷,這就是估算法.估算法往往可以減少運算量,但是加強了思維的層次.真|題|示|例1.(2025·全國一卷)已知雙曲線C的虛軸長是實軸長的7倍,則C的離心率為()A.2 B.2 C.7 D.22【多想少算】由題意得c>b=7a,故C的離心率e=ca>7.因為選項A,B,C都小于或等于7,所以正確選項為D.答案:D2.(2025·全國二卷)在△ABC中,BC=2,AC=1+3,AB=6,則A=()A.45° B.60° C.120° D.135°【多想少算】由題意得BC<AB<AC,所以A<C<B.因為A+B+C=180°,所以A<60°,通過選項可以判斷A=45°.答案:A.3.(2023·新課標Ⅰ卷)(多選題)下列物體中,能夠被整體放入棱長為1(單位:m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有()A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長均為1.4m的四面體C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體【多想少算】直徑為0.99m的球體可直接放入棱長1m的正方體容器,所以A正確;連接題目中正方體的對角線,可得棱長為2m的四面體,所以B正確;正方體內(nèi)最長的線段為體對角線,長為3m,所以C錯誤;通過作圖計算可得D正確.答案:ABD.新|題|自|測1.(2025·安慶模擬)設(shè)A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點,△ABC為等邊三角形且其面積為93,則三棱錐D?ABC體積的最大值為(B)A.123 B.183 C.243 D.543解析等邊三角形ABC的面積為93,顯然球心不是此三角形的中心,所以三棱錐的體積最大時,三棱錐的高h應(yīng)滿足h∈(4,8),所以13×93×4<V三棱錐D?ABC<13×93×8,即123<V三棱錐D?ABC<242.(2025·江西模擬)已知三棱錐S?ABC的所有頂點都在球O的表面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此三棱錐的體積為(A)A.26 B.36 C.23解析如圖,可知V<13S△ABC×2R=36,排除B,C,D,故選3.(2025·濱州模擬)在直角三角形ABC中,點D是斜邊AB的中點,點P為線段CD的中點,則|PA|2+|PB|A.2 B.4 C.5 D.10解析|PA|2+|PB|2≥(|PA|+|PB|)22>|AB|22=8|PC|2,所以|PA|24.(2025·丹東模擬)已知sinθ=m-3m+5,cosθ=4-2mm+5,θ∈π2,π,則tanθA.m-39-m B.C.13 解析由于受到條件sin2θ+cos2θ=1的約束,m一定為一個確定的值,進而可知tanθ2也是一個確定的值,因為θ∈π2,π,所以θ2∈π4,π2,所以方法5關(guān)聯(lián)法邏輯推理快解多選①析選項·找關(guān)聯(lián)②關(guān)鍵項·判正誤