2026贏在微點高考數(shù)學考前頂層設計數(shù)學專項微測第一部分小題標準測小題標準測1“8+3+3”73分測一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2025·全國二卷)樣本數(shù)據(jù)2,8,14,16,20的平均數(shù)為(C)A.8 B.9 C.12 D.18解析15(2+8+14+16+20)=12,故選C2.(2025·全國一卷)已知集合U={x|x是小于9的正整數(shù)},A={1,3,5},則?UA中元素的個數(shù)為(C)A.0 B.3 C.5 D.8解析U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},故?UA={2,4,6,7,8},故?UA中有5個元素.故選C.3.(2025·長沙模擬)在復平面內,若i是虛數(shù)單位,復數(shù)z與21+i3關于虛軸對稱,則z=A.1+i B.-1-iC.-1+i D.1-i解析因為21+i3=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i,由復數(shù)z與21+4.(2025·日照一模)已知α是第一象限角,且sinα+cosα=3cosαtanα,則sinα+π2的值為(A.-55 B.-255 C.5解析因為sinα+cosα=3cosαtanα,所以sinα+cosα=3sinα,所以cosα=2sinα,左右兩側平方得cos2α=4sin2α=4(1-cos2α),所以5cos2α=4,又因為α是第一象限角,所以cosα=255,則sinα+π2=cos5.(2025·貴州模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=22-an,且a1=12,則a2025A.3 B.43 C.12解析由題意數(shù)列{an}滿足an+1=22-an,且a1=12,得a2=22-12=43,a3=22-43=3,a4=22-3=-2,a5=22+2=12,由此可知數(shù)列{an}是周期為4的周期數(shù)列,6.(2025·北京高考)已知平面直角坐標系xOy中,|OA|=|OB|=2,|AB|=2,設C(3,4),則|2CA+AB|的取值范圍是(D)A.[6,14] B.[6,12]C.[8,14] D.[8,12]解析因為|OA|=|OB|=2,|AB|=2,所以|OA|2+|OB|2=|AB|2=4,所以OA⊥OB,且點A,B在以點O為圓心,2為半徑的圓上,如圖,所以|2CA+AB|=|CA+CB|=|OA-OC+OB-OC|=|OA+OB-2OC|,所以|2CA+AB|2=(OA+OB)2+4OC2-4(OA+OB)·OC=OA2+OB2+4OC2-4(OA+OB)·OC=104-4(OA+OB)·OC.令OD=OA+OB,則點D在以點O為圓心,2為半徑的圓上,所以(OA+OB)·OC=OD·OC=|OD||OC|cos<OD,OC>=10cos<OD,OC>.因為<OD,OC>∈[0,π],所以(OA+OB)·OC∈[-10,10],所以|2CA+AB|2=104-4(OA+OB)·OC∈[64,144],所以|2CA+AB|∈[8,12]7.(2025·杭州模擬)已知表面積為16π的球與一圓臺的上、下底面以及側面均相切,若該圓臺的下底面半徑為上底面半徑的4倍,則該圓臺的體積為(D)A.1003π B.32π C.923π 解析設球的半徑為R(R>0),由4πR2=16π,解得R=2.作出圓臺的軸截面,如圖,設CO1=r(r>0),則O2B=4r,由相切的性質可知MC=CO1=r,O2B=BM=4r,易知OC,OB分別是∠DCB,∠ABC的平分線,即∠OCM=12∠O1CM,∠OBM=12∠O2BM,又∠O1CM+∠O2BM=180°,所以∠OCM+∠OBM=12(∠O2BM+∠O1CM)=90°,所以∠COB=90°,所以OC⊥OB,又OM⊥BC,則∠OCM=∠BOM,所以△OCM∽△BOM,即OMMB=CMOM,所以OM2=MC·MB,所以22=4r2,解得r=1(負值已舍去),所以該圓臺的體積為V=13π[r2+(4r)2+4r2]×h=138.設A,B為雙曲線x2-y29=1上兩點,下列四個點中,可為線段AB中點的是(A.(1,1) B.(-1,2)C.(1,3) D.(-1,-4)解析設A(x1,y1),B(x2,y2),則AB的中點Mx1+x22,y1+y22,可得kAB=y1-y2x1-x2,k=y1+y22x1+x22=y1+y2x1+x2,因為A,B在雙曲線上,則x12-y129=1,x22-y229=1,兩式相減得(x12-x22)-y12-y229=0,所以kAB·k=y12-y22x12-x22=9.對于選項A:可得k=1,kAB=9,則AB:y=9x-8,聯(lián)立方程y=9x-8,x2-y29=1,消去y得72x2-2×72x+73=0,此時Δ=(-2×72)2-4×72×73=-288<0,所以直線AB與雙曲線沒有交點,故A錯誤;對于選項B:可得k=-2,kAB=-92,則AB:y=-92x-52,聯(lián)立方程y=-92x-52,x2-y29=1,消去y得45x2+2×45x+61=0,二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.(2025·河南模擬)坐位體前屈(SitAndReach)是一種體育鍛煉項目,也是大中小學體質健康測試項目.已知某地區(qū)進行體育達標測試統(tǒng)計得到高三女生坐位體前屈的成績ξ(單位:cm)服從正態(tài)分布N(20,σ2),且P(ξ≥22)=0.1,現(xiàn)從該地區(qū)高三女生中隨機抽取3人,記ξ不在區(qū)間(18,22)的人數(shù)為X,則(BC)A.P(18<ξ<22)=0.9 B.E(3X+2)=3.8C.D(5X)=2.4 D.P(X≥1)=0.476解析對于A,由ξ~N(20,σ2),得P(ξ≤18)=P(ξ≥22)=0.1,則P(18<ξ<22)=1-0.1-0.1=0.8,A錯誤;對于B,由A知,ξ不在區(qū)間(18,22)的概率為0.2,X~B(3,0.2),E(X)=0.6,因此E(3X+2)=3E(X)+2=3.8,B正確;對于C,由B知,D(X)=3×0.2×0.8=0.48,因此D(5X)=5D(X)=2.4,C正確;對于D,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.83=0.488,D錯誤.10.(2025·哈爾濱模擬)函數(shù)f(x)=2sinωx+π3(|ω|≤1)的圖象如圖所示,則下列說法中正確的是(A.ω=1B.函數(shù)f(x)的圖象關于點π3C.將y=f(x)向左平移π3個單位長度,得到函數(shù)g(x)=2cosD.若方程f(2x)=m在0,π2上有2個不相等的實數(shù)根,則m的取值范圍是[3,解析觀察可得函數(shù)f(x)的圖象過點π6,2,所以2sinπ6ω+π3=2,所以π6ω+π3=2kπ+π2,k∈Z,所以ω=12k+1,k∈Z,又|ω|≤1,所以ω=1,A正確;所以f(x)=2sinx+π3,因為x=π3時,x+π3=2π3,所以點π3,0不是函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心,B錯誤;函數(shù)y=f(x)向左平移π3個單位長度,可得函數(shù)y=2sinx+2π3的圖象,又y=2sinx+2π3=2sinx+π6+π2=2cosx+π6,所以C正確;因為f(2x)=2sin2x+π3,由0≤x≤π2可得,π3≤2x+π3≤4π3,令t=2x+π3,由已知可得2sint=m在π3,4π3上有2個不相等的實數(shù)根,因為函數(shù)y=2sint在π3,π2上單調遞增,在π211.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯數(shù)字中的“8”.如圖,曲線C:(x2+y2)2=a(x2-y2)是雙紐線,關于曲線A.a=9B.C上存在點(x0,y0),使得x0C.C上的點的縱坐標的最大值為3D.若直線y=kx與C恰有一個公共點,則k的取值范圍為(-∞,-1]∪[1,+∞)解析由題圖可知,點(3,0)在C上,所以a=9,A正確.設曲線C上任一點P(x,y),由(x2+y2)2=9(x2-y2),可得0<x2+y2=9(x2-y2)x2+y2≤9,x2+y2≤3,即C上不存在點(x0,y0),使得x02+y02>3,B不正確.方程(x2+y2)2=9(x2-y2)可化為x4+(2y2-9)x2+y2(y2+9)=0,令t=x2,得t2+(2y2-9)t+y2(y2+9)=0,由Δ=(2y2-9)2-4y2(y2+9)=-9(8y2-9)≥0,t1+t2=-(2y2-9)≥0,t1t2=y2(y2+9)≥0,可得0≤y2≤98,即-324≤y≤324,等號成立,故C上的點的縱坐標的最大值為324,C正確.直線y=kx與C均經(jīng)過原點(0,0),則直線y=kx與C除原點外無其他公共點.聯(lián)立方程組(x2+y2)2=9(x2-y2),y=kx,三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.(2025·內江一模)若函數(shù)f(x)=mcosx1+ex-cosx為奇函數(shù),則實數(shù)m解析函數(shù)f(x)=mcosx1+ex-cosx為定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=mcos01+e0-cos0=m13.(2025·福建模擬)若曲線y=lnx在x=1處的切線也是曲線y=x2+3x-2+a的切線,則實數(shù)a=2.解析令y=f(x)=lnx,則f(1)=0,故切點為(1,0),設切線斜率為k,而f'(x)=1x,則k=f'(1)=1,則曲線在x=1處的切線方程為y=x-1,由題意得曲線y=lnx在x=1處的切線也是曲線y=x2+3x-2+a的切線,聯(lián)立方程組y=x-1,y=x2+3x-2+a,得到x2+2x-1+a=0,則Δ=4-4(a-1)=014.若函數(shù)y=f(x)滿足:對任意的正實數(shù)m,n,有f(m+n)>f(m)+f(n)恒成立,則稱函數(shù)y=f(x)為“Γ函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax2是“Γ函數(shù)”,則實數(shù)a的取值范圍是

12,+∞解析由題可知,?m,n∈(0,+∞),有l(wèi)n(m+n+1)+a(m+n)2>ln(m+1)+am2+ln(n+1)+an2恒成立,即2amn+ln(m+n+1)-ln(m+1)-ln(n+1)>0恒成立.令φ(x)=2anx+ln(x+n+1)-ln(x+1)-ln(n+1),x≥0,n>0.所以φ'(x)=2an+1x+n+1-1x+1,令h(x)=φ'(x),所以h'(x)=-1(x+n+1)2+1(x+1)2>0,所以φ'(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調遞增.①當a≥12時,φ'(x)≥n+1x+n+1-1x+1=n1-1(x+1)(x+n+1)>0恒成立,故φ(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調遞增.因為m>0,所以φ(m)>φ(0)=0成立,符合題意;②當a≤0時,φ'(x)<0恒成立,所以φ(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調遞減.因為m>0,所以φ(m)<φ(0)=0,與題意矛盾;③當0<a<12時,φ'(0)=2an-nn+1=n·2a-1n+1,當n∈0,12a-1時,φ'(0)<0.又φ'(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調遞增,且φ'12a-1=2an1-112a+n>2an(1-2a)>0,所以?x0∈(0,12a-1),使得φ'(x0)=0,當x∈[0,x0)時,φ'(x)<0,φ(x)在區(qū)間[0,x0)上單調遞減.所以?m∈(0,小題標準測2“8+3+3”73分測一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2025·天津高考)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,3,5},則?U(A∪B)=(D)A.{1,2,3,4} B.{2,3,4}C.{2,4} D.{4}解析由題可得A∪B={1,2,3,5},所以?U(A∪B)={4},故選D.2.(2025·全國一卷)(1+5i)i的虛部為(C)A.-1 B.0 C.1 D.6解析(1+5i)i=-5+i,其虛部為1.故選C.3.(2025·佳木斯模擬)在等比數(shù)列{an}中,記其前n項和為Sn,已知a3=-a2+2a1,則S8S4的值為A.2 B.17C.2或8 D.2或17解析由等比數(shù)列的通項公式可得a1q2=-a1q+2a1,整理得q2+q-2=0,解得q=1或q=-2.當q=1時,S8S4=8a14a1=2;當q=-2時,S8S4=a1(q4.(2025·齊魯名校一模)設甲:曲線x2cos2θ+y2sin2θ=1表示焦點在x軸上的橢圓,A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解析由條件可知,若甲正確,則cos2θ>sin2θ>0,即cos2θ-sin2θ>0,cos2θ>0,且sin2θ>0,得2θ是第一或第四象限角,即甲是乙的充分條件;反過來,若2θ是第一或第四象限角,則cos2θ=cos2θ-sin2θ>0,即cos2θ>sin2θ,此時sinθ≠0,即sin2θ>0,所以cos2θ>sin2θ>0,則甲也是乙的必要條件.所以甲是乙的充要條件.故選C.5.(2025·鄭州二模)函數(shù)f(x)=2sin2x+π6與函數(shù)g(x)=log2x的圖象交點個數(shù)為(A.3 B.5 C.6 D.7解析通過五點法π6,2,5π12,0,2π3,-2,11π12,0,7π6,2作出周期函數(shù)f(x)的圖象,再通過兩點法(1,0),(4,2)作出單調函數(shù)g(x)=log2x的圖象,6.曲線f(x)=lnx在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為(A)A.12 B.1 C.e2解析由f(x)=lnx,求導得f'(x)=1x,則f'(1)=1,而f(1)=0,因此曲線f(x)=lnx在點(1,f(1))處的切線為y-0=x-1,該切線交x軸于點(1,0),交y軸于點(0,-1),所以該切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積S=12×1×1=7.蜂巢的精密結構是通過優(yōu)勝劣汰的進化自然形成的.若不計蜂巢壁的厚度,蜂巢的橫截面可以看成正六邊形網(wǎng)格圖,如圖所示.設P為圖中7個正六邊形(邊長為4)的某一個頂點,A,B為兩個固定頂點,則PA·PB的最大值為(B)A.44 B.48 C.72 D.76解析建立如圖所示的平面直角坐標系,設點P(x,y),正六邊形的邊長為4,所以A(-8,0),B(8,0),所以PA=(-8-x,-y),PB=(8-x,-y),所以PA·PB=-(8+x)(8-x)+y2=x2+y2-64,設點P(x,y)到原點的距離為d,則PA·PB的最大值為dmax2-64,由圖可知,離原點距離最遠的正六邊形頂點為最外圍的頂點,如圖,可取P(8,43),所以dmax2-64=|OP|2-64=64+48-64=48,即PA·8.(2025·葫蘆島模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x+1)>f(x)+f(x-1),且當x<4時,f(x)=x2,則下列結論一定正確的是(C)A.f(8)>100 B.f(8)<100C.f(16)>1000 D.f(16)<10000解析因為當x<4時,f(x)=x2,所以f(1)=1,f(2)=4,f(3)=9,又因為f(x+1)>f(x)+f(x-1),所以f(4)>f(3)+f(2)=13,f(5)>f(4)+f(3)>22,f(6)>f(5)+f(4)>35,f(7)>f(6)+f(5)>57,f(8)>f(7)+f(6)>92,f(9)>f(8)+f(7)>149,f(10)>f(9)+f(8)>241,f(11)>f(10)+f(9)>390,f(12)>f(11)+f(10)>631,f(13)>f(12)+f(11)>1021,f(14)>f(13)+f(12)>1652,f(15)>f(14)+f(13)>2673,f(16)>f(15)+f(14)>4325,故C正確,A錯誤,且無證據(jù)表明BD正確.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,其平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差分別記為a1,b1,c1,d1,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1,y2,…,yn,其中yi=kxi+2025(i=1,2,…,n),其平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差分別記為a2,b2,c2,d2,則(ABC)A.a2=ka1+2025 B.b2=kb1+2025C.c2=k2c1 D.d2=kd1解析對于A選項,由平均數(shù)的性質可得a2=ka1+2025,A對;對于B選項,不妨設x1≤x2≤…≤xn,若n為奇數(shù),設n=2m+1(m∈N),則數(shù)據(jù)x1,x2,…,x2m+1的中位數(shù)為xm+1,若k>0,新樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為y1,y2,…,y2m+1,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為b2=ym+1=kxm+1+2025=kb1+2025;當k≤0,新樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為y2m+1,y2m,…,y1,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為b2=ym+1=kxm+1+2025=kb1+2025;若n為偶數(shù),同理可知,b2=kb1+2025,B對;對于C選項,由方差的性質可得c2=k2c1,C對;對于D選項,若xi,xj(1≤i,j≤n)是x1,x2,…,xn中的最大值、最小值,當k>0時,則yi=kxi+2025為y1,y2,…,yn中的最大值,yj=kxj+2025為y1,y2,…,yn中的最小值,此時,d2=yi-yj=k(xi-xj)=kd1;當k≤0時,則yi=kxi+2025為y1,y2,…,yn中的最小值,yj=kxj+2025為y1,y2,…,yn中的最大值,此時,d2=yj-yi=-k(xi-xj)=-kd1,D錯.10.(2025·河南四市二模)塌縮函數(shù)在神經(jīng)網(wǎng)絡、信號處理和數(shù)據(jù)壓縮等領域經(jīng)常用到.常見的塌縮函數(shù)有tanh(x)=ex-e-xex+e-x,sig(x)=ex1+ex,設tanh(x)的值域為DA.E?DB.i=12025[sig(i)+sig(-i)]C.方程2sig(x)=1+tanx的所有實根之和為1D.若關于x的不等式sig(ex+e-x)+sig(-m2+2m+1)>1恒成立,則實數(shù)m的取值范圍為(-1,3)解析對于A,因為tanh(x)=ex(ex-e-x)ex(ex+e-x)=e2x-1e2x+1=1-2e2x+1,所以tanh(x)在R上為增函數(shù),且tanh(x)的值域為(-1,1)=D,又sig(x)=ex1+ex=11+e-x∈(0,1)=E,所以E?D,故A正確;對于B,因為sig(x)+sig(-x)=ex1+ex+e-x1+e-x=ex1+ex+11+ex=1,所以i=12025[sig(i)+sig(-i)]=2025,故B正確;對于C,因為2sig(x)=1+tanx,所以sig(x)=12+12tanx,由B知sig(x)的圖象關于點0,12對稱,又y=12+12tanx的圖象也關于點0,12對稱,所以兩函數(shù)圖象的交點也關于點0,12對稱,則方程2sig(x)=1+tanx的所有實根之和為0,故C錯誤;對于D,易知sig(x)為增函數(shù),又sig(x)+sig(-x)=1,由題得sig(ex+e-x)>1-sig(-m2+2m+1)=sig(m211.如圖,是某同學發(fā)現(xiàn)的一種曲線,因形如小恐龍,因此命名為小恐龍曲線.對于小恐龍曲線C:x2+y3-axy=20,下列說法正確的是(ABC)A.曲線C與直線x=8最多存在3個交點B.若曲線C如圖所示(x軸向右為正方向,y軸向上為正方向),則a>0C.存在a,使得曲線C是偶函數(shù)的圖象D.當a=3時,曲線C中x≥8的部分可以表示為y關于x的某一函數(shù)解析對于A,曲線C:x2+y3-axy=20,令x=8,得關于y的一元三次方程y3-8ay+44=0,令f(y)=y3-8ay+44,則f'(y)=3y2-8a,所以方程f'(y)=0最多有兩個實根,即函數(shù)f(y)最多有兩個極值點,即方程y3-8ay+44=0最多有三個實根,因此曲線C與直線x=8最多存在3個交點,故A正確;對于B,若曲線C如題圖所示,則存在x0>0,使得直線x=x0與曲線C有三個交點,即存在x0>0,使得關于y的方程y3-ax0y+x02-20=0有三個實根.令f(y)=y3-ax0y+x02-20,則f'(y)=3y2-ax0.假設a≤0,則?x0>0都有f'(y)≥0且等號不恒成立,即f(y)單調遞增,則方程y3-ax0y+x02-20=0在(0,+∞)上最多有一個實根,與題圖矛盾,假設錯誤.故a>0,故B正確;對于C,當a=0時,曲線C:x2+y3=20,即為函數(shù)y=320-x2的圖象,設f(x)=320-x2,x∈R,定義域關于原點對稱,且f(-x)=320-(-x)2=320-x2=f(x),所以f(x)是偶函數(shù),故存在a,使得曲線C是偶函數(shù)的圖象,故C正確;對于D,當a=3時,曲線C的方程為x2+y3-3xy-20=0.令x=8,得y3-24y+44=0,令f(y)=y3-24y+44,則f(0)=44>0,f(3)=-1<0,f(4)=12>0,由零點存在定理可知,方程f(三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知α,β滿足tanαtanβ=5,sin(α-β)=15,則sin(α+β)=

3解析因為tanαtanβ=sinαcosα×cosβsinβ=5,所以sinαcosβ=5cosαsinβ,又因為sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=4cosαsinβ=15,所以cosαsinβ=120,所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=6cosαsinβ13.(2025·呼和浩特一模)邊長為2的正方形,經(jīng)如圖所示的方式裁剪后,可以圍成一個正四棱錐,若內部小正方形的邊長為12,則此正四棱錐的體積為

224解析如圖①,設底面ABCD的中心為O,設線段AD的中點為E,連接PE,OE,因為PA=PD,則PE⊥AD,因為O為BD的中點,則OE∥AB,OE=12AB=14,且AB⊥AD,所以OE⊥AD,翻折前,則P,O,E三點共線,則PE+OE=PE+14=1,可得PE=34,翻折后,在正四棱錐P?ABCD中,如圖②所示,由正四棱錐的幾何性質可得PO⊥平面ABCD,因為OE?平面ABCD,所以PO⊥OE,由勾股定理可得PO=PE2-OE2=342-142=22,正方形ABCD的面積為S=122=14,因此,14.(2025·臨汾模擬)已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點為F,過點F且傾斜角為45°的直線與E的左支交于A,B兩點,M為線段AB的中點,若|MF|=42|OF|(O為坐標原點),則雙曲線解析設雙曲線E的半焦距為c,則F(-c,0),直線AB方程為y=x+c,由y=x+c,b2x2-a2y2=a2b2,消去y得(a2-b2)x2+2a2cx+a2(c2+b2)=0,且a2-b2>0,Δ=8a2b4>0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-2a2ca2-b2,y1+y2=x1+x小題標準測3“8+3+3”73分測一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)z=2i2-i(i為虛數(shù)單位),則|z|=(BA.5 B.255 C.55解析因為z=2i2-i=2i(2+i)(2-i)(2+i)=4i-25=-25+45i,所以|z|=-2.已知集合A={x|0<x<3},集合B={x|0<log2x<2},則A∩B=(A)A.{x|1<x<3} B.{x|0<x<4}C.{x|0<x<3} D.{x|1<x<4}解析由0<log2x<2,得1<x<4,所以B={x|1<x<4},又A={x|0<x<3},所以A∩B={x|1<x<3}.3.已知向量a,b滿足a·(a-2b)=0,則b在a上的投影向量為(B)A.2a B.12a C.2a D.22解析因為a·(a-2b)=0,所以a2-2a·b=0,所以a2=2a·b,從而b在a上的投影向量為|b|cosθ·aa=b·aa·aa=b·aa|24.已知橢圓C:x2a2+y2=1的右頂點與拋物線y2=8x的焦點重合,則C的離心率為A.12 B.34 C.34解析由題意得y2=8x的焦點為(2,0),則a=2,而b=1,得到c=3,即方程為x24+y2=1,則離心率為5.(2025·山東聊城二模)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前5項和為312,且3a3+4a1=a5,則a3=(AA.2 B.4 C.8 D.16解析設等比數(shù)列的首項為a1,公比為q(q>0),根據(jù)題意3a1q2+4a1=a1q4即q4-3q2-4=0,解得q=2(q2=-1舍),而S5=a1q5-1q-1=312,故a1=12,所以a3=a1q2=126.(2025·安徽模擬)如圖,這是一朵美麗的幾何花,且這八片花瓣的頂端A,B,C,D,E,F,G,H恰好可以圍成一個正八邊形,設∠ACG=α,∠EBH=β,則tan(α+β)=(D)A.-3 B.-22C.-22+1 D.-2-1解析如圖,連接AE,BF,CG,DH,AC,BE,BH,設線段AE與CG的交點為O,線段BH與線段AE的交點為M,因為∠COB=∠AOB=π4,所以∠AOC=π2,又OC=OA,所以∠ACG=∠ACO=π4,設OA=a,則OB=OE=a,所以OM=MB=22a,所以tan∠EBH=tan∠EBM=a+22a22a=2+22=2+1,所以tanα=1,tanβ=2+1,所以tan(7.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作直線交拋物線于A,B兩點,若|AF|=3|BF|,AB的中點到y(tǒng)軸的距離為52,則p的值為(BA.2 B.3 C.4 D.5解析拋物線y2=2px(p>0)的焦點Fp2,0,準線l:x=-p2,準線交x軸于點K,由對稱性,不妨令點A在第一象限,過點A,B分別作AD⊥l,BE⊥l,垂足分別為D,E,過點B作BG⊥AD于點G,交FK于點H,令|BE|=|BF|=n,則|AD|=|AF|=3n,|FK|=p,|AG|=2n,|FH|=p-n,由FH∥AG,得|FH||AG|=|BF||AB|,即p-n2n=n4n,則p=3n2,設線段AB的中點為M,過點M作MN⊥l于點N,則|MN|=|AD|+|BE|2=2n=4p3,由AB的中點到y(tǒng)軸的距離為52,得|MN|=p2+58.(2025·江蘇模擬)已知函數(shù)f(x)=e-x(lna+lnx),若存在x>0,使得f(x)>1a,則實數(shù)a的取值范圍是(DA.0,1e C.(0,e) D.(e,+∞)解析由題意可知,a>0,x>0,由f(x)=e-x(lna+lnx)>1a,可得lna+lnx>exa=ex-lna,可得x+lnx>ex-lna+x-lna=ex-lna+lnex-lna,令g(x)=x+lnx,其中x>0,則g'(x)=1+1x>0,所以,函數(shù)g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),由x+lnx>ex-lna+lnex-lna可得g(x)>g(ex-lna),則x>ex-lna=exa,可得a>exx,令h(x)=exx,其中x>0,則h'(x)=ex(x-1)x2,當0<x<1時,h'(x)<0,即函數(shù)h(x)在(0,1)上遞減,當x>1時,h'(x)>0,即函數(shù)h(x)在(1,+∞)上遞增,所以,a>h(x)min=h二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.(2025·浙江模擬)已知函數(shù)f(x)=sinπ4+x,g(x)=2f(x)f(-x)fx+π4,則下列說法正確的有A.f(x)的最小正周期為2πB.g(x)是偶函數(shù)C.g(x)在區(qū)間0,πD.g(x)在0,π2解析因為f(x)=sinπ4+x,所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π1=2π,A正確;因為g(x)=2f(x)f(-x)fx+π4,所以g(x)=2sinπ4+x·sinπ4-xsinπ4+x+π4=2cosπ4-x·sinπ4-xcosx=sinπ2-2xcosx=cos2xcosx,函數(shù)g(x)的定義域為R,定義域關于原點對稱,g(-x)=cos(-2x)cos(-x)=cos2xcosx=g(x),所以函數(shù)g(x)是偶函數(shù),B正確,g'(x)=-2sin2xcosx-sinxcos2x=-sinx(4cos2x+cos2x)=-sinx(6cos2x-1),當0<x<π2時,令g'(x)=0,可得cosx=66,設方程cosx=66的解為θ0,即cosθ0=66,0<θ0<π2,當0<x<θ0時,此時sinx>0,6cos2x-1>0,所以g'(x)<0,所以函數(shù)g(x)在(0,θ0)上單調遞減,當θ0<x<π2時,此時sinx>0,6cos2x-1<0,所以g'(x)>0,所以函數(shù)g(x)在θ0,π2上單調遞增,C錯誤;因為函數(shù)g(x)在(0,θ0)上單調遞減,在θ0,π2上單調遞增,其中cosθ0=66,0<θ0<π2,又g(0)=cos0·cos0=1,gπ2=cosπ·cosπ2=0,g(θ0)=cos2θ010.(2025·黃山模擬)設函數(shù)f(x)=x3-3ax+3,則(BC)A.存在a∈R,使函數(shù)f(x)僅有一個極值點B.曲線f(x)關于點(0,3)對稱C.當a=1時,9x-y-13=0是曲線f(x)的切線方程D.當a>1時,函數(shù)f(x)有唯一零點解析對于A,由題意可得f'(x)=3x2-3a,當a≤0時,f'(x)≥0恒成立,函數(shù)f(x)在R上單調遞增,無極值點,當a>0時,令f'(x)=0,即3x2-3a=0,解得x=±a,此時函數(shù)有兩個極值點,所以不存在a∈R,使函數(shù)f(x)僅有一個極值點,故A錯誤;對于B,設(x,y)是f(x)圖象上任意一點,則y=x3-3ax+3,點(x,y)關于點(0,3)對稱的點為(-x,6-y),將-x代入函數(shù)方程可得f(-x)=(-x)3-3a(-x)+3=-x3+3ax+3,而6-y=6-(x3-3ax+3)=-x3+3ax+3,所以曲線f(x)關于點(0,3)對稱,故B正確;對于C,當a=1時,f(x)=x3-3x+3,f'(x)=3x2-3,若9x-y-13=0是切線方程,則其斜率為9,令f'(x)=3x2-3=9,解得x=±2,當x=2時,f(2)=23-3×2+3=5,切線方程為y-5=9(x-2),化簡可得9x-y-13=0;當x=-2時,f(-2)=(-2)3-3×(-2)+3=1,切線方程為y-1=9(x+2),化簡可得9x-y+19=0;所以9x-y-13=0是曲線f(x)的切線方程,故C正確;對于D,由f'(x)=3x2-3a,當a>1時,令f'(x)=0,可得x=±a,當x<-a或x>a時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增;當-a<x<a時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調遞減;f(-a)=(-a)3-3a(-a)+3=-aa+3aa+3=2aa+3>0,f(a)=(a)3-3aa+3=3-2aa=3-2a32.令3-2a32<0,得a>3223≈1.31,所以a>3223時,f(a)<0.當x→+∞時,f(x)→+∞,當x→-∞時,f(x)→-∞,所以當a>3223時,函數(shù)f(x)在(-∞,-11.(2025·安徽模擬)已知△ABC中,AB⊥BC,AB=BC=2,E,F分別在線段BA,CA上,且BE=λBA,CF=λCA(λ∈(0,1)).現(xiàn)將△AEF沿EF折起,使二面角A?EF?C的大小為α(α∈(0,π)).以下命題正確的是(ACD)A.若λ=12,α=π3,則點F到平面ABCB.存在λ使得四棱錐A?BCFE有外接球C.若λ=13,則三棱錐F?AEB體積的最大值為D.若α=π2,三棱錐A?BEF的外接球的半徑取得最小值時,λ=解析BE=λBA,CF=λCA(λ∈(0,1)),易知EF∥BC,折疊后的圖形中,EF?平面ABC,BC?平面ABC,所以EF∥平面ABC.故點F到平面ABC的距離即為點E到平面ABC的距離.因為AB⊥BC,所以AB⊥EF,所以EF⊥BE,EF⊥AE,所以∠BEA為二面角A?EF?C的平面角,又AE,BE為平面ABE內兩條相交直線,所以EF⊥平面ABE,所以BC⊥平面ABE,又BC在平面ABC內,所以平面ABC⊥平面ABE,所以點E到平面ABC的距離即為點E到AB的距離,A選項:λ=12,α=π3,即BE=AE=1,∠BEA=π3,所以三角形ABE為等邊三角形,可得點E到AB的距離為1×sin60°=32,故A正確;B選項:由于直角梯形EFCB不可能共圓,所以四棱錐A?BCFE無外接球,所以B錯誤;C選項:設BE=2λ,則AE=2-2λ,EF=2-2λ,∠AEB=α,VF?AEB=13S△ABE·EF=16AE·BE·sin∠AEB·EF=16×2λ(2-2λ)(2-2λ)sin∠AEB,由基本不等式可知:4λ(2-2λ)(2-2λ)≤4λ+2-2λ+2-2λ33=6427,當且僅當4λ=2-2λ=2-2λ,即λ=13時取得最大值,所以VF?AEB=16×2λ(2-2λ)(2-2λ)sin∠AEB≤1681sin∠AEB,所以當λ=13,∠AEB=α=π2時,體積取到最大值1681,故C正確;D選項:由題意可知BE=2λ,AE=2-2λ,EF=2-2λ,α=π2,也即EF,EB,EA兩兩垂直,可以依此構造長方體,長方體的體對角線即為外接球的直徑,設外接球半徑為r,則(2r)2=4λ2+2(2-2λ)2=12λ2-16λ+8,λ∈(0,1),所以λ=2三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知等差數(shù)列{an}的首項a1=-3,公差d=2,則該數(shù)列的前6項和為12.解析該數(shù)列的前6項和為6×(-3)+6×52×2=1213.(2025·天津高考)若a,b∈R,?x∈[-2,2],均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立,則2a+b的最小值為-4.解析令t=2a+b,則b=t-2a,所以tx2+(t-2a)x-a-1≤0在[-2,2]上恒成立,即t·(x2+x)≤2ax+a+1在[-2,2]上恒成立,所以?x∈[-2,2],函數(shù)y=t(x2+x)的圖象總在直線y=2ax+a+1的下方或與直線相切.函數(shù)y=t(x2+x)的圖象過點(-1,0)和點(0,0),直線y=2ax+a+1=a(2x+1)+1過定點A-12,1.當t=-1時,如圖①,二次函數(shù)y=t(x2+x)=-(x2+x)圖象的頂點坐標為-12,14,存在a,?x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立.當t∈(-1,0)時,隨著t逐漸增大,總存在a,?x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立.當t∈(-∞,-1)時,若t逐漸減小,如圖②,取臨界位置,即二次函數(shù)圖象與直線相切時,二次函數(shù)y=t(x2+x)的圖象過點-12,1,此時t=-4,存在a,?x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立;若t繼續(xù)減小,如圖③,則定點-12,1在二次函數(shù)圖象開口的內部,則不存在a,?x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1恒成立.①②③14.如圖,已知圓C的方程為(x-1)2+(y-1)2=2,且P是直線l:x+2y+2=0上的一個動點,過點P作圓C的兩條切線PA,PB,切點分別為A,B,則線段AB長度的最小值為

2305解析顯然P,A,C,B四點共圓,且PC為該圓的一條直徑.設這四點所在圓的圓心為Q,而P在直線l:x+2y+2=0上,設P(-2t-2,t),由C(1,1),可知Q-2t+12,t+12,又|QC|2=2t+322+1-t22,則圓Q的方程為x+2t+122+y-t+122=2t+322+1-t22,即x2+y2+(2t+1)x-(t+1)y-t-2=0①,又圓C的半徑r=2,圓C的方程可化為x2+y2-2x-2y=0②,由①-②可得圓C與圓Q的公共弦AB所在直線的方程為(2t+3)x+(1-t)y-t-2=0,點C到直線AB的距離d=22t+3)2+(1-t)2小題標準測4“8+3+3”73分測一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2025·全國二卷)已知z=1+i,則1z-1=(AA.-i B.i C.-1 D.1解析1z-1=1i=-i.故選2.(2025·天津高考)設x∈R,則“x=0”是“sin2x=0”的(A)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析由x=0得sin2x=0,所以充分性成立;由sin2x=0得x=kπ2(k∈Z),所以必要性不成立.故“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要條件.故選A3.(2025·湖北一模)集合A=ω>0|函數(shù)y=sinωx+π6的最小正周期不小于π2,B={x|y=log2(x-1)-1A.[3,4] B.[4,+∞)C.[3,4) D.(3,4]解析依題意,2πω≥π2,ω>0,解得0<ω≤4,則集合A=(0,4];log2(x-1)-1≥0,解得x≥3,則集合B=[3,+∞),所以A∩B=4.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放,過濾過程中廢氣的污染物含量P(單位:mg/L)與時間t(單位:h)間的關系為P=P0e-kt,其中P0,k是正的常數(shù),如果前10h消除了50%的污染物,那么從消除60%的污染物到消除80%的污染物大約需要經(jīng)歷(A)A.10h B.4h C.40h D.8h解析由題意可知:當t=0時,P=P0,當t=10時,P=50%P0,所以0.5P0=P0e-10k,即0.5=e-10k,即k=ln210,設消除60%的污染物對應時間為t1,即0.4P0=P0e-kt1,設消除80%的污染物對應時間為t2,即0.2P0=P0e-kt2,兩式相除可得:2=e-k(t1-t2),即ln2=-k(t1-t2),所以5.(2025·荊州模擬)已知cosθ+π4=-1010,θ∈0,π2,則sinA.4+3310 C.4-3310 解析因為θ∈0,π2,則θ+π4∈π4,3π4,且cosθ+π4=-1010,可得sinθ+π4=1-cos2θ+π4=31010,則sin2θ=sin2θ+π4-π2=-cos2θ+π4=1-2cos2θ+π4=45,cos2θ=cos6.(2025·蘇州模擬)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S22=S66=2,則a2025A.122024 B.2 C.2025 解析因為S22=S66=2,則S2=4,S6=12,設等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0),當q≠1時,S2=a1(1-q2)1-q=4,S6=a1(1-q6)1-q=12,整理得q4+q2-2=0,即(q2+2)(q2-1)=0,解得q=1或q=-1,若q=-1,S2=a1+a2=a1+a1q=0≠4,所以q≠-1;當q=1時,S2=27.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)為奇函數(shù),且y=f(2x)的圖象關于直線x=1對稱,若f(0)=-1,則i=150f(i)=(CA.-1 B.0 C.1 D.2解析由f(x+1)為奇函數(shù),知f(x)的圖象關于點(1,0)對稱,則f(1)=0,由f(0)=-1,得f(2)=-f(0)=1.由y=f(2x)的圖象關于直線x=1對稱,則f(x)的圖象關于直線x=2對稱,所以f(4)=f(0)=-1,f(1)=f(3)=0,綜上,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,由上f(x)+f(2-x)=0,f(2-x)=f(2+x),得f(x)=-f(2+x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),則4為f(x)的一個周期,所以i=150f(i)=0×12+f(1)+f(2)=18.(2025·遼寧鞍山二模)如圖,圓O:x2+y2=4與x軸交于A,B兩點,l1,l2是分別過A,B的圓O的切線,過圓O上任意一點P作圓O的切線,分別交l1,l2于C,D兩點,記直線AD與BC交于點M,則點M的軌跡方程為(B)A.x2+y2=1(y≠0) B.x24+y2=1(yC.x2+y2=2(y≠0) D.x24+y22=1解析設點P(x0,y0),當圓心O與切點P所成直線的斜率不存在時,即當點P(0,±2)時,易知點C(-2,2),D(2,2),所以此時點M為矩形ABDC的對角線的交點,即M(0,1);當圓心O與切點P所成直線的斜率存在時,則kOP=y0x0,因為OP⊥CD,所以切線CD的斜率為kCD=-1kOP=-x0y0,又切線CD過點P(x0,y0),所以切線CD的方程為y-y0=-x0y0(x-x0),整理得x0x+y0y=x02+y02,又點P在圓O上,所以x02+y02=4,故切線CD的方程為x0x+y0y=4.易知A(-2,0),B(2,0),在切線CD的方程中,令x=-2,則y=4+2x0y0,令x=2,則y=4-2x0y0,所以C-2,4+2x0y0,D2,4-2x0y0,所以直線AD的斜率kAD=4-2x0y02-(-2)=2-x02y0,直線AD的方程為y=2-x02y0(x+2),直線BC的斜率kBC=4+2x0y0-2-2=2+x0-2y0,直線BC的方程為y=2+x0-2y0(x-2),聯(lián)立直線AD和直線BC的方程y=2-x02y二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足?a,b∈R,f(a+b)+f(a)f(b)=9ab,且f-13≠0,記an=f(n),n∈N*,則下列結論正確的是(ABCA.f(0)=-1 B.f(1)=2C.{an}為等差數(shù)列 D.i=120ai解析對于A,令a=-13,b=0,則f-13+f-13f(0)=0,又f-13≠0,所以1+f(0)=0,即f(0)=-1,A正確.對于BC,令a=13,b=-13,則f(0)+f13f-13=9×13×-13=-1,由f(0)=-1,f-13≠0,可得f13=0,令b=13,則fa+13=3a,令m=a+13,則a=m-13,所以f(m)=3m-13=3m-1,所以f(a)=3a-1,則f(1)=2,an=f(n)=3n-1,故10.記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c2=b(a+b),則(BCD)A.c<b B.C=2BC.B∈0,π3 D.ab∈(0解析對于A,因為c2=b(a+b),a+b>c>0,所以c2>bc,所以c>b,所以A錯誤,對于B,因為c2=b(a+b),所以由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=a2+ab2ac=a+b2c=c2b2c=c2b,所以由正弦定理得cosB=sinC2sinB,所以sinC=2sinBcosB=sin2B,因為C∈(0,π),2B∈(0,2π),所以C=2B或C+2B=π,若C+2B=π,則A=B,所以a=b,此時c2=b(a+b)=a2+b2,所以C=π2,則A=B=π4,此時C=2B,所以B正確,對于C,由選項B可知C=2B,所以B+C=3B∈(0,π),所以B∈0,π3,所以C正確,對于D,由正弦定理得ab=sinAsinB=sin(π-B-C)sinB=sin(B+C)sinB=sinBcosC+cosBsinCsinB=sinBcos2B+cosBsin2BsinB=cos2B+2sinBcos2BsinB=2cos2B-1+2cos2B=4cos2B-1,因為B∈0,π3,所以cosB∈12,1,所以cos2B∈14,1,所以11.(2025·青島一模)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線l過F且與C交于A,B兩點,O為坐標原點,點P(2,x0)為C上一點,且|PF|=3,則(BD)A.過點M(2,3)且與拋物線C僅有一個公共點的直線有2條B.當△AOB的面積為22時,|AF|·|BF|=8C.△AOB為直角三角形D.2|AF|+|BF|的最小值為3+22解析拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為Fp2,0,準線為x=-p2.因點P(2,x0)為C上一點,且|PF|=3,由拋物線定義可得2+p2=3?p=2,則拋物線方程為:y2=4x.對于A,注意到32>4×2,則點M在拋物線外,如圖所示,則過M點可做拋物線的兩條切線,另外直線y=3過點M,且與拋物線只有一個公共點,故過點M(2,3)且與拋物線C僅有一個公共點的直線有3條,故A錯誤;對于B,設直線AB的方程為:x=my+1,將直線AB的方程與拋物線聯(lián)立,可得:y2=4(my+1)?y2-4my-4=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關系,可得:y1+y2=4m,y1y2=-4,由圖可得S△AOB=12|OF||y1-y2|=|y1-y2|2=22?(y1-y2)2=32,則(y1+y2)2-4y1y2=16(m2+1)=32?m2=1.又由拋物線定義可得|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1)=(my1+2)(my2+2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=-4m2+8m2+4=8,故B正確;對于C,可得注意到OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),則OA·OB=x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=-4(m2+1)+4m2+1=-3<0,故∠AOB為鈍角,則△AOB為鈍角三角形,故C錯誤;對于D,由B,x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=-4m2+4m2+1=1,則由拋物線定義:2|AF|+|BF|=2(x1+1)+x2+1=2三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x+1)是偶函數(shù),當x>32時,f(x)=ln(2x-3),則曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線斜率為-2解析因為f(x+1)是偶函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖象關于x=1對稱,則f(2-x)=f(x),當x<12時,2-x>32,所以f(2-x)=ln[2(2-x)-3]=ln(1-2x),則f(x)=ln(1-2x),此時f'(x)=-21-2x,f'(0)=-2,即曲線y=f(x)在點(0,f(0))13.(2025·蚌埠二模)鍵線式可以簡潔直觀地描述有機物的結構,在有機化學中極其重要.有機物萘可以用左圖所示的鍵線式表示,其結構簡式可以抽象為右圖所示的圖形.已知六邊形ABCHIJ與六邊形CDEFGH為全等的正六邊形,且AB=4,點M為正六邊形CDEFGH內的一點(包含邊界),則AB·AM的取值范圍是[16,48].解析如圖,過點M作直線AB的垂線,垂足為M1,則AB·M1M=0,AM=AM1+M1M,所以AB·AM=AB·AM1,當點M與點H重合時,AB·AM取最小值,(AB·AM)min=4×4=16,當點M與點E重合時,AB·AM取最大值(AB·AM)max=4×12=48,所以AB·AM14.圓柱O1O2的軸截面是正方形,O1,O2分別是上、下底面的圓心,A,B是下底面圓周上兩個不同的點,BC是母線,若圓柱O1O2的側面積為16π,則圓柱O1O2內切球的表面積是16π;點B到直線AO1距離的最大值為

855解析設圓柱O1O2的底面半徑為r,所以母線為2r,因為圓柱O1O2的側面積為16π,所以2πr·2r=16π?r=2.所以母線為4,所以圓柱O1O2內切球的半徑為2,所以圓柱O1O2內切球的表面積是4π·22=16π.建立如圖所示的空間直角坐標系,O1(0,0,4),B(0,2,0),C(0,2,4),設A(2cosθ,2sinθ,0),sinθ≠1,AO1=(-2cosθ,-2sinθ,4),BC=(0,0,4),設a=AB=(-2cosθ,2-2sinθ,0),直線AO1的單位方向向量為u=AO1AO1=14cos2θ+4sin2θ+16(-2cosθ,-2sinθ,4)=55(-cosθ,-sinθ,2),所以點B到直線AO1的距離為d=a2-(a·u)2=4cos2θ+4-8sinθ+4sin小題標準測5“8+3+3”73分測一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)z滿足z+2i=zi,則|z|=(C)A.5 B.55 C.2 D.解析因為(1-i)z=-2i,所以z=-2i1-i=1-i,故|z|=22.若集合A={-1,0,1,2},B={x|log2(2-x)≤1},則A∩B=(B)A.{-1,1} B.{0,1}C.{1,2} D.{-1,2}解析解法一:由題得B={x|log2(2-x)≤1}={x|0≤x<2},所以A∩B={0,1}.解法二:當x=-1時,log2(2-x)=log23>1,所以-1?(A∩B),排除A,D;易知2?B,所以2?(A∩B),排除C.故選B.3.(2025·邯鄲模擬)已知tanθ+π4=-23,則sinθcos2θsinθ-cosθA.-1310 B.-1013 C.1解析由tanθ+π4=tanθ+11-tanθ=-23,解得tanθ=-5,故sinθcos2θsinθ-cosθ=sinθ(cos2θ-sin2θ)sinθ-cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)(cosθ-sinθ)sinθ-cosθ=-sinθ(cos4.某班研究性小組的同學為了研究活性炭對污水中某種污染物的吸附能力,設計了一種活性炭污水凈化裝置.現(xiàn)污水中該種污染物含量為W0(單位:mg/L),測得污水通過長度為l(單位:m)的凈化裝置后污染物的含量W如下表:l0123WW00.5W00.25W00.125W0研究小組的同學根據(jù)表格數(shù)據(jù)建立了W關于l的函數(shù)模型.則與表格中數(shù)據(jù)吻合的函數(shù)模型是(D)A.W=W0+0.5l B.W=W0·log0.5(l+1)C.W=0.5W0l D.W=W0·(0.5)l解析由圖表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)模型滿足:第一,定義域為[0,3];第二,在定義域單調遞減且單位減少率變慢;第三,函數(shù)圖象過(0,W0).函數(shù)W=0.5W0l和W=W0·log0.5(l+1)圖象不過(0,W0),不符合條件,故BC錯誤;函數(shù)W=W0+0.5l單調遞增,故A錯誤;D選項:W=W0·(0.5)l滿足上述條件,故D正確.5.已知某圓臺的上、下底面半徑分別為r1,r2,且r2=2r1,若半徑為2的球與圓臺的上、下底面及側面均相切,則該圓臺的體積為(C)A.28π3 B.40π3 C.56π3解析如圖①,設圓臺上、下底面圓心分別為O1,O2,則圓臺內切球的球心O一定在O1O2的中點處,設球O與母線AB切于M點,所以OM⊥AB,所以OM=OO1=OO2=2,所以△AOO1與△AOM全等,所以AM=r1,同理BM=r2,所以AB=r1+r2=3r1,如圖②,過A作AG⊥BO2,垂足為G,則BG=r2-r1=r1,AG=O1O2=4,所以AG2=AB2-BG2,所以16=3r1)2-r12=8r12,所以r1=2,所以r2=22,所以該圓臺的體積為13(2①②6.(2025·湖北一模)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,a5=2,若{an}的前9項和為125,則數(shù)列1an的前9項和為A.512 B.125 C.53解析記數(shù)列{an}的公比為q且q≠1,則S9=a1(1-q9)1-q=125,故1-q91-q=125·1a1,所以1a9,1a8,…,1a1的公比也為q,則1an前7.(2025·黑龍江二模)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線與C交于A,B兩點,若|AF1|=3|BF1|,且∠F2AB=π3A.13 B.12 C.22解析設|BF1|=t,由|AF1|=3|BF1|,得|AF1|=3t,由橢圓定義可知|AF2|=2a-3t,|BF2|=2a-t,因為∠F2AB=π3,所以在△ABF2中,由余弦定理得(2a-t)2=(4t)2+(2a-3t)2-2·4t·(2a-3t)·cosπ3,解得t=4a9或t=0(舍去),所以在△F1AF2中,|AF1|=4a3,|AF2|=2a3,|F1F2|=2c,所以(2c)2=4a32+2a32-2·4a3·2a3·cosπ3,解得8.(2025·湖北九校聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f'(x)的定義域均為R,設g(x)=f'(x),h(x)=g'(x),且g(0)>0,若g(xy+1)=g(x+1)g(y+1),h(2)=4g(2),則下列結論錯誤的是(B)A.g(1)=0 B.f(1)=0C.h(1)=0 D.i=-20232025h(i)解析令x=1,y=-1,可得g(0)=g(2)g(0),因為g(0)>0,則g(2)=1,h(2)=4,令x=0,則g(1)=g(1)g(y+1),所以g(1)=0或g(y+1)=1,若g(y+1)=1,則h(y+1)=0,與h(2)=4矛盾,故g(1)=0,A對;令x=-1,y=-1,得g(2)=g(0)g(0)=1,則g(0)=1,令y=-1,得g(1-x)=g(0)g(1+x),即g(1-x)=g(1+x),即函數(shù)g(x)的圖象關于直線x=1對稱,在等式g(1-x)=g(1+x)兩邊求導得-g'(1-x)=g'(1+x),即h(1+x)=-h(1-x),所以函數(shù)h(x)的圖象關于點(1,0)對稱,因為g(1+x)=g(1-x),即f'(1+x)=f'(1-x),可得出f(1+x)=-f(1-x)+c(c為常數(shù)),無法判斷f(x)的圖象是否關于點(1,0)對稱,B錯C對;因為函數(shù)h(x)的圖象關于點(1,0)對稱,所以h(0)+h(2)=h(-1)+h(3)=h(-2)+h(4)=…=h(-2023)+h(2025)=0,因此,i=-20232025h(i)=0,D對二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.在一次考試后的數(shù)學成績分析中,分別采用簡單隨機抽樣的方式抽取A班的一組數(shù)據(jù):a1,a2,a3,a4,a5,a6和B班的一組數(shù)據(jù):b1,b2,b3,b4進行分析.經(jīng)計算,兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為a=90,b=80,方差分別為sa2=36,sb2=16.將兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)c1,c2,c3,…,c9,c10,A.平均數(shù)為85 B.平均數(shù)為86C.方差為28 D.方差為52解析c=6a+4b10=540+32010=86,sc2=610[sa2+(90-86)2]+410.(2025·南寧模擬)已知函數(shù)f(x)=13x3+ax2+3x-1,則下列結論正確的是(ABD)A.當a=2時,函數(shù)y=f(x)只有一個零點B.若函數(shù)f(x)的對稱中心為1,43,則C.若函數(shù)f(x)在12,3上為減函數(shù),則D.當a=-2時,設f(x)的三個零點分別為x1,x2,x3,曲線f(x)在點(x1,0),(x2,0),(x3,0)處的切線斜率分別記為k1,k2,k3,則1k1+1k解析對于A,a=2時,f(x)=13x3+2x2+3x-1?f'(x)=(x+3)(x+1),令f'(x)>0?x∈(-∞,-3)∪(-1,+∞),令f'(x)<0?x∈(-3,-1),即y=f(x)在(-∞,-3),(-1,+∞)上單調遞增,在(-3,-1)上單調遞減,則y=f(x)的極大值為f(-3)=-1<0,極小值f(-1)=-2-13<0,又f(1)=13+4>0,即函數(shù)y=f(x)只有一個零點,在區(qū)間(-1,1)內,故A正確;對于B,若函數(shù)f(x)的對稱中心為1,43,則有f(x+1)+f(1-x)=13(x+1)3+a(x+1)2+3(x+1)-1+13(1-x)3+a(1-x)2+3(1-x)-1=83,即(2+2a)x2+143+2a=83,所以a=-1,故B正確;對于C,可知f'(x)=x2+2ax+3,若函數(shù)f(x)在12,3上為減函數(shù),則有x2+2ax+3≤0在12,3上恒成立,分離參數(shù)得3x+x≤-2a在12,3上恒成立,結合對勾函數(shù)的性質可知:3x+xmax=132,故a≤-134,故C錯誤;對于D,當a=-2時,f(x)=13x3-2x2+3x-1?f'(x)=(x-3)(x-1),令f'(x)>0?x∈(-∞,1)∪(3,+∞),令f'(x)<0?x∈(1,3),即y=f(x)在(-∞,1),(3,+∞)上單調遞增,在(1,3)上單調遞減,則y=f(x)的極大值為f(1)=13>0,極小值f(3)=-1<0,又f(0)=-1<0,f(4)=13>0,即函數(shù)y=f(x)有三個零點,分別在區(qū)間(0,1),(1,3),(3,4)內,則有f(x)=13(x-x1)(x-x2)(x-x3),故f'(x)=13[(x-x2)(x-x3)+(x-x1)(x-x3)+(x-x1)(x-x2)],所以f'(x1)=13(x1-x2)(x1-x3),f'(x2)=13(x2-x1)(x2-x3),f'(x3)=13(x311.已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,A,B是拋物線上兩動點,且|AF|的最小值為1,M是線段AB的中點,P(2,3)是平面內一定點,則(ACD)A.p=2B.若|AF|+|BF|=8,則M到x軸的距離為4C.若AF=2FB,則|AB|=9D.|AP|+|AF|的最小值為4解析拋物線x2=2py(p>0)上的點A到拋物線焦點F距離的最小值為1,則有p2=1,解得p=2,A正確;拋物線的方程為x2=4y,焦點F(0,1),準線l:y=-1,設A(x1,y1),B(x2,y2),對于B,點Mx1+x22,y1+y22,由拋物線的定義知,|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=8,有y1+y2=6,所以M到x軸的距離y1+y22=3,B不正確;對于C,AF=(-x1,1-y1),FB=(x2,y2-1),由AF=2FB得:1-y1=2(y2-1),即y1+2y2=3,又|AF|=2|FB|,即y1+1=2(y2+1),則y1-2y2=1,解得y1=2,y2=12,于是得|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=92,C正確;對于D,拋物線x2=4y中,當x=2時,y=1<3,因此點P(2,3)在拋物線x2=4y上方,過點P作PP'⊥l于P',交拋物線于點Q,連接QF,過A作AA'⊥l于A',連AF,AP,PA',如圖,顯然|AP|+|AF|=|AP|+|AA'|≥|PA'|≥|PP'|=|PQ|+|QP'|=|PQ|+|QF|,當且僅當點A與Q重合時取等號,三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.(2025·廣東一模)已知θ是第三象限角,則曲線C:4x2+y2cosθ=4cosθ的離心率的取值范圍為

1,52.(解析因為θ是第三象限角,則-1<cosθ<0,曲線C的方程可化為x2cosθ+y24=1,曲線C為雙曲線,且a2=4,b2=-cosθ,所以雙曲線C的離心率為e=ca=1+13.如圖所示,制作某回旋飛梭的飛行翅膀時,需從一個直角三角形的塑料板上裁去一個以其斜邊為一邊且對角為150°的三角形(圖中的陰影部分)再加工而成.為游戲者安全考慮,具體制作尺寸為∠ABC=90°,∠BPC=120°,AC=2BC=23,則tan(∠PAB+60°)=53.解析由題意可得,AB=AC2-BC2=3.又∠APC=150°,∠BPC=120°,所以∠APB=90°.設∠PAB=θ,則AP=3cosθ.因為∠PAB+∠ABP=90°,且∠ABP+∠PBC=90°,所以∠PBC=∠PAB=θ.又∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=60°,且∠ACP+∠PCB=60°,所以∠ACP=∠PBC=θ.在△ACP中,由正弦定理可得APsin∠ACP=ACsin∠APC,即3cosθsinθ=23sin150°,解得tanθ=34.故tan(14.2025年春晚,一場別開生面的機器人舞蹈表演震撼了觀眾.現(xiàn)在編排一個動作,機器人從原點O出發(fā),每一次等可能地向左或向右或向上或向下移動一個單位,共移動3次.則該機器人在有且僅有一次經(jīng)過(含到達)點M(-1,0)位置的條件下,水平方向移動2次的概率為

817解析設事件A=“有且僅有一次經(jīng)過M(-1,0)”,事件B=“水平方向移動2次”,按到M(-1,0)位置需要1步,3步分類討論.記L=向左,R=向右,U=向上,D=向下,(1)若1步到位為事件A1,則滿足要求的是LU(L或U或R),LL(L或U或D),LD(L或R或D),LR(U或D或R),所以P(A1)=4×3×143=1264=316;(2)若3步到位為事件A2,則滿足要求的是ULD,DLU,RLL,UDL,DUL,所以P(A2)=5×143=564;所以P(A)=P(A1)+P(A2)=1764,滿足AB的情況有:LU(L或R),LD(L或R),LL(U或D),LR(U或D).所以P(AB)=864=18,所以P小題標準測6“8+3+3”73分測一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2025·八省八校聯(lián)考)已知集合P={x|y=ln(1-2x)},Q=y|y=1-ex2,則P∩QA.-∞,12 C.0,12解析對于集合P,由1-2x>0,得x<12,所以P=-∞,12,對于集合Q,由ex>0,得1-ex2<12,所以Q=-∞,12.已知復數(shù)z1,z2在復平面內所對應的點分別為(1,-3),(-2,5),則z2z1+1A.22 B.1 C.2 解析由復數(shù)的幾何意義可得z1=1-3i,z2=-2+5i,所以z2z1+1=-2+5i1-3i+1=3.已知等差數(shù)列{an}的公差d=1,且a3,a5+1,2a6成等比數(shù)列,則數(shù)列{(-1)n+1an}的前2025項和為(D)A.-1013 B.-505 C.505 D.1013解析設首項為a1,因為a3,a5+1,2a6成等比數(shù)列,所以(a5+1)2=a3×2a6,則(a1+5)2=(a1+2)×2(a1+5),解得a1=1或a1=-5,當a1=-5時,a6=0,此時與a3,a5+1,2a6成等比數(shù)列矛盾,故排除,當a1=1時,an=1+n-1=n,此時令bn=(-1)n+1an=(-1)n+1n,而其前2025項和為1-2+3-4+…-2024+2025=(1-2)+(3-4)+…+(2023-2024)+2025=1012×(-1)+2025=1013.4.(2025·蘭州一模)若函數(shù)y=ex+e-x2的一條切線與x軸平行A.(1,0) B.(0,1) C.(1,1) D.(1,e)解析設切點坐標為(x0,y0),函數(shù)y=ex+e-x2,所以y'=ex-e-x2,因為切線與x軸平行,所以y'|x=x0=ex0-e-x02=05.(2025·哈爾濱一模)已知一個圓錐的母線長為3,則當其體積最大時,該圓錐的內切球半徑為(A)A.6-2 B.1C.3-2 D.1解析設圓錐的底面半徑為r,高為h,則h2+r2=3,則V=f(h)=13πr2h=-π3h3+πh,h∈(0,3),則f'(h)=π(1-h)(1+h),當0<h<1時,f'(h)>0,當1<h<3時,f'(h)<0,所以f(h)在(0,1)上單調遞增,在(1,3)上單調遞減,所以當圓錐體積取得最大值時,h=1,r=2,設圓錐內切球的半徑為R,則由軸截面面積可得12·2rh=12(2r+23)R,解得R6.在(x2+x+y)6的展開式中,x7y的系數(shù)為(C)A.3 B.6 C.60 D.30解析根據(jù)二項式定理,可得[(x2+x)+y]6展開式的通項為Tr+1=C6r(x2+x)6-ryr(r=0,1,2,…,6).要求x7y的系數(shù),則y的次