河南省唐河縣友蘭實驗高中2026屆高二數(shù)學第一學期期末調(diào)研試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知F1(-5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動點P滿足|PF1|-|PF2|=2a，當a為3和5時，點P的軌跡分別為()A.雙曲線和一條直線 B.雙曲線和一條射線C.雙曲線的一支和一條直線 D.雙曲線的一支和一條射線2．拋物線有一條重要的性質(zhì)：平行于拋物線的軸的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后經(jīng)過它的焦點．反之，從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線，從點發(fā)出一條平行于x軸的光線，經(jīng)過拋物線兩次反射后，穿過點，則光線從A出發(fā)到達B所走過的路程為（）A.8 B.10C.12 D.143．已知數(shù)列是遞減的等比數(shù)列，的前項和為，若，，則=（）A.54 B.36C.27 D.184．楊輝三角是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).在歐洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要遲了393年.如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，則在該數(shù)列中，第37項是A.153 B.171C.190 D.2105．下列命題中，一定正確的是（）A.若且，則a>0，b<0B.若a>b，b≠0，則>1C.若a>b且a＋c>b＋d，則c>dD.若a>b且ac>bd，則c>d6．若函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍（）A. B.C. D.7．過點且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.8．已知直線的斜率為1，直線的傾斜角比直線的傾斜角小15°，則直線的斜率為（）A.－1 B.C. D.19．已知點到直線：的距離為1，則等于（）A. B.C. D.10．橢圓的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若|PF1|=4，則∠F1PF2的余弦值為A. B.C. D.11．等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或12．若關于x的方程有解，則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點P是拋物線y2＝2x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點，則|的最小值是_________14．若函數(shù)在[1，3]單調(diào)遞增，則a的取值范圍___15．已知函數(shù)有三個零點，則正實數(shù)a的取值范圍為_________16．雙曲線的離心率為____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的頂點為原點，焦點F在x軸的正半軸，F(xiàn)到直線的距離為.點為此拋物線上的一點，.直線l與拋物線交于異于N的兩點A，B，且.（1）求拋物線方程和N點坐標；（2）求證：直線AB過定點，并求該定點坐標.18．（12分）已知是等差數(shù)列，，.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項和.19．（12分）國家助學貸款由國家指定的商業(yè)銀行面向在校全日制高等學校經(jīng)濟困難學生發(fā)放.用于幫助他們支付在校期間的學習和日常生活費.從年秋季學期起，全日制普通本?？茖W生每人每年申請貸款額度由不超過元提高至不超過元，助學貸款償還本金的寬限期從年延長到年.假如學生甲在本科期間共申請到元的助學貸款，并承諾在畢業(yè)后年內(nèi)還清，已知該學生畢業(yè)后立即參加工作，第一年的月工資為元，第個月開始，每個月工資比前一個月增加直到元，此后工資不再浮動.（1）學生甲參加工作后第幾個月的月工資達到元；（2）如果學生甲從參加工作后的第一個月開始，每個月除了償還應有的利息外，助學貸款的本金按如下規(guī)則償還：前個月每個月償還本金元，第個月開始到第個月每個月償還的本金比前一個月多元，第個月償還剩余的本金.則他第個月的工資是否足夠償還剩余的本金.（參考數(shù)據(jù)：；；）20．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上一點滿足，且的面積為（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有且只有一個公共點，過點作直線的垂線．設直線交軸于，交軸于，且點，求的軌跡方程21．（12分）某高中招聘教師，首先要對應聘者的簡歷進行篩選，簡歷達標者進入面試，面試環(huán)節(jié)應聘者要回答3道題，第一題為教育心理學知識，答對得4分，答錯得0分，后兩題為學科專業(yè)知識，每道題答對得3分，答錯得0分（1）甲、乙、丙、丁、戊來應聘，他們中僅有3人的簡歷達標，若從這5人中隨機抽取3人，求這3人中恰有2人簡歷達標的概率；（2）某進入面試的應聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題答對與否互不影響，求該應聘者的面試成績X的分布列及數(shù)學期望22．（10分）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由雙曲線定義結(jié)合參數(shù)a的取值分類討論而得.【詳解】依題意得，當時，，且，點P的軌跡為雙曲線的右支；當時，，故點P的軌跡為一條射線.故選D.故選：D2、C【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】如圖所示：焦點為，設光線第一次交拋物線于點，第二次交拋物線于點，過焦點F，準線方程為：，作垂直于準線于點，作垂直于準線于點，則，，，，故選：C3、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及通項公式計算求解即可.【詳解】由，解得或（舍去），，，故選：C4、C【解析】根據(jù)“楊輝三角”找出數(shù)列1，2，3，3，6，4，10，5，…之間的關系即可。【詳解】由題意可得從第3行起的每行第三個數(shù)：，所以第行的第三個數(shù)為在該數(shù)列中，第37項為第21行第三個數(shù)，所以該數(shù)列的第37項為故選：C【點睛】本題主要考查了歸納、推理的能力，屬于中等題。5、A【解析】結(jié)合不等式的性質(zhì)確定正確答案.【詳解】A選項，若且，則，所以A選項正確.B選項，若，則，所以B選項錯誤.C選項，如，但，所以C選項錯誤.D選項，如，但，所以D選項錯誤.故選：A6、A【解析】分析可知對任意的恒成立，利用參變量分離法結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知，對任意的恒成立，則，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，，故.故選：A.7、A【詳解】因為所求直線垂直于直線，又直線的斜率為，所以所求直線的斜率，所以直線方程為，即.故選：A【點睛】本題主要考查直線方程的求法，屬基礎題.8、C【解析】根據(jù)直線的斜率求出其傾斜角可求得答案.【詳解】設直線的傾斜角為，所以，因為，所以，因為直線的傾斜角比直線的傾斜角小15°，所以直線的傾斜角為，則直線的斜率為.故選：C9、D【解析】利用點到直線的距離公式，即可求得參數(shù)的值.【詳解】因為點到直線：的距離為1，故可得，整理得，解得.故選：.10、B【解析】根據(jù)題意，橢圓的標準方程為，其中則，則有|F1F2|=2，若a=3，則|PF1|+|PF2|=2a=6，又由|PF1|=4，則|PF2|=6-|PF1|=2，則cos∠F1PF2==.故選B11、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式及等比數(shù)列通項公式即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則因為，所以，即，解得或，所以或.故選：C.12、C【解析】將對數(shù)方程化為指數(shù)方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范圍【詳解】，，當且僅當時取等號，故故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】由拋物線的定義可得，所以的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，由圖可知的最小值為，從而可求得答案【詳解】拋物線y2＝2x焦點，準線為，由拋物線的定義可得，所以,因為，，所以，所以，當且僅當三點共線且在線段上時，取得最小值，所以的最小值為，故答案為：14、【解析】由在區(qū)間上恒成立來求得的取值范圍.【詳解】依題意在區(qū)間上恒成立，在上恒成立，所以.故答案為：15、【解析】求導易得函數(shù)有兩個極值點和，根據(jù)題意，由求解.【詳解】由，可得函數(shù)有兩個極值點和，，，若函數(shù)有三個零點，必有解得或故答案為：16、【解析】由題意得：考點：雙曲線離心率三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）證明見解析，定點【解析】（1）設拋物線的標準方程為，利用點到直線距離公式可求出，再利用焦半徑公式可求出N點坐標；（2）設直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理計算，可得關系，然后代入直線方程可得定點.【小問1詳解】設拋物線的標準方程為，，其焦點為則，∴所以拋物線的方程為.，所以，所以.因為，所以，所以.【小問2詳解】由題意知，直線的斜率不為0，設直線的方程為（），聯(lián)立方程得設兩個交點，（，）.所以所以，即整理得，此時恒成立，此時直線l的方程為，可化為，從而直線過定點.18、（1）（2）【解析】（1）由題意得解方程組求出，從而可求出數(shù)列的通項公式，（2）因為是公比為的等比數(shù)列，又，，所以，從而可得，然后利用分組求和法求解即可【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為.由題意得解得，.所以.【小問2詳解】因為是公比為的等比數(shù)列，又，，所以，所以.所以.19、（1）；（2）不能，理由見解析.【解析】（1）設甲參加工作后第個月的月工資達到元，根據(jù)已知條件可得出關于的不等式，結(jié)合參考數(shù)據(jù)可求得結(jié)果；（2）分析可知從第個月開始到第個月償還的本金是首項為為首項，以為公差的等差數(shù)列，計算出甲前個月償還的本金，再由甲第個月的工資可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設甲參加工作后第個月的月工資達到元，則，可得，，解得，所以，學生甲參加工作后第個月的月工資達到元.【小問2詳解】解：因為甲前個月每個月償還本金元，第個月開始到第個月每個月償還的本金比前一個月多元，所以，從第個月開始到第個月償還的本金是首項為為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以，前個月償還的本金為，因為第個月開始，每個月工資比前一個月增加直到元，所以，第個月的工資為元，因為，因此，甲第個月的工資不能足夠償還剩余的本金.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用可得，由橢圓關系可求得，進而得到橢圓方程；（2）將與橢圓方程聯(lián)立可得，得，結(jié)合韋達定理可確定點坐標，由此可得方程，進而得到，化簡整理即可得到所求軌跡方程.【小問1詳解】由焦點坐標可知：；，即，，，解得：，，解得：（舍）或，，橢圓的方程為：；【小問2詳解】由得：，，整理可得：；，解得：，，則，令，解得：；令，解得：；，即，又，，則的軌跡方程為：.【點睛】思路點睛：本題考查動點軌跡方程的求解問題，解題基本思路是能夠利用變量表示出所求點的坐標，根據(jù)坐標之間關系，化簡整理消掉變量得到所求軌跡方程；易錯點是忽略題目中的限制條件，軌跡中出現(xiàn)多余的點.21、（1）（2）分布列見解析；期望為【解析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；（2）根據(jù)題意可知，隨機變量X的所有可能取值為0，3，4，6，7，10，再利用相互獨立事件的概率乘法公式分別求出對應的概率，列出分布列即可求出數(shù)學期望【小問1詳解】從這5人中隨機抽取3人，恰有2人簡歷達標的概率為【小問2詳解】由題可知，X的所有可能取值為0，3，4，6，7，1