第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年河北省邢臺(tái)市威縣李寨中學(xué)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.小美和小好同學(xué)做“石頭、剪刀、布”的游戲，兩人同時(shí)出相同的手勢(shì)，這個(gè)事件是（）A.隨機(jī)事件 B.不可能事件 C.必然事件 D.確定性事件2.二十四節(jié)氣是中國(guó)勞動(dòng)人民獨(dú)創(chuàng)的文化遺產(chǎn)，能反映季節(jié)的變化，指導(dǎo)農(nóng)事活動(dòng).下面四幅圖片分別代表“芒種”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.3.為了全面地反映物體的形狀，生產(chǎn)實(shí)踐中往往采用多個(gè)視圖來(lái)反映同一物體不同方面的形狀.如圖中飛機(jī)的俯視圖是（）A.

B.

C.

D.4.如果一條拋物線的形狀和開口方向與y=-2x2+2相同，且頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，2），則它的解析式是（）A.y=2（x-4）2+2 B.y=-2（x-4）2-2 C.y=-2（x-4）2+2 D.y=-2（x+4）2-25.從-1，1，2這三個(gè)數(shù)中不重復(fù)地任取兩個(gè)數(shù)分別作為a,b的值，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有實(shí)數(shù)根的概率為（）A. B. C. D.6.節(jié)能環(huán)保已成為人們的共識(shí).淇淇家計(jì)劃購(gòu)買500度電，若平均每天用電x度，則能使用y天.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.若x=5，則y=100 B.若y=125，則x=4

C.若x減小，則y也減小 D.若x減小一半，則y增大一倍7.如圖，△ABC中，∠B=30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，延長(zhǎng)BA交DE于點(diǎn)F，下列結(jié)論一定正確的是（）A.∠ACB=∠ACD

B.AC∥DE

C.AB=EF

D.BF⊥CE8.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E為垂足，則的值為（）

???????A.

B.

C.

D.9.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為90°，母線長(zhǎng)為40cm,則該圓錐的底面圓的半徑為（）A.9cm B.10cm C.11cm D.12cm10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A.

B.

C.

D.11.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B′，C′，B′C′的延長(zhǎng)線與邊BC相交于點(diǎn)D，連接CC′.若AC=4，CD=3，則線段CC′的長(zhǎng)為（）A.

B.

C.4

D.

12.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A位于（-2，0）和（-1，0）之間，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，n）.下列結(jié)論：①abc＜0；②對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,都有am2+bm-a-b≥0；③3b＜2c；④若該二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，且△PAB是等邊三角形，則n=-.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①② B.①③ C.①④ D.①③④二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。13.一元二次方程x2-1=0的根是

.14.如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4，中心為點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作圓心角為120°的扇形，則圖中陰影部分的面積為

.

15.如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC邊上，AD=3，CD=2，∠CBD=45°，則tan∠ACB的值為

.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，），△ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3）.以點(diǎn)P為位似中心作△A1B1C1與△ABC位似，相似比為2，且與△ABC位于點(diǎn)P同側(cè)；以點(diǎn)P為位似中心作△A2B2C2與△A1B1C1位似，相似比為2，且與△A1B1C1位于點(diǎn)P同側(cè)…，按照以上規(guī)律作圖，點(diǎn)A3的坐標(biāo)為

.

???????三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題9分)

習(xí)題課上，數(shù)學(xué)老師展示了一道習(xí)題及兩位同學(xué)錯(cuò)誤的解答過(guò)程：解方程：x（x-3）=2（x-3）2.甲同學(xué)：

解：方程兩邊同時(shí)除以（x-3），

得x=2（x-3），…第一步

去括號(hào)，得x=2x-6.…第二步

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得x=6.…第三步乙同學(xué)：

解：移項(xiàng)，得x（x-3）-2（x-3）2=0.…第一步

分解因式，得（x-3）（x-2x-6）=0.…第二步

則x-3=0或x-2x-6=0，…第三步

解得x1=3，x2=-6.…第四步（1）分別寫出甲同學(xué)、乙同學(xué)的解答過(guò)程中是從第幾步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的；

（2）請(qǐng)你寫出正確的解答過(guò)程.18.(本小題9分)

某超市購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，2022年甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)均為125元，隨著生產(chǎn)成本的降低，甲種商品每件的進(jìn)價(jià)年平均下降25元，乙種商品2024年每件的進(jìn)價(jià)為80元.

（1）求乙種商品每件進(jìn)價(jià)的年平均下降率；

（2）2024年該超市用不超過(guò)7800元的資金一次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共100件，求最少購(gòu)進(jìn)多少件甲種商品.19.(本小題9分)

九年級(jí)某班學(xué)生計(jì)劃到甲，乙兩個(gè)敬老院開展獻(xiàn)愛心活動(dòng)，老師把該班學(xué)生分成A，B兩個(gè)小組，通過(guò)游戲方式確定去哪個(gè)敬老院.

游戲規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的箱子中放了分別標(biāo)有數(shù)字1，2的兩張卡片（除數(shù)字外，都相同），班長(zhǎng)先從這個(gè)箱子里任意摸出一張卡片，卡片上的數(shù)字記為x.在另一個(gè)不透明的箱子中放了分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3的三張卡片（除數(shù)字外，都相同），班長(zhǎng)再?gòu)脑撓渥永锶我饷鲆粡埧ㄆ?，卡片上的?shù)字記為y.若x=y,則A組學(xué)生到甲敬老院，B組學(xué)生到乙敬老院；若x≠y,則A組學(xué)生到乙敬老院，B組學(xué)生到甲敬老院.

（1）用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求（x,y）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)；

（2）求A組學(xué)生到甲敬老院，B組學(xué)生到乙敬老院開展獻(xiàn)愛心活動(dòng)的概率P.20.(本小題9分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO是直角三角形，∠A=90°，點(diǎn)B在x軸上，AO=5，cosα=.

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）求∠ABO的正切值；

（3）延長(zhǎng)BA，交y軸于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo).21.(本小題9分)

如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），雙曲線與矩形的對(duì)角線OB交于點(diǎn)D，與AB、BC分別交于點(diǎn)E、F，且BC=4CF.

（1）求反比例函數(shù)解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）連接AD，求△OAD的面積.22.(本小題9分)

【實(shí)踐課題】測(cè)量河對(duì)岸兩棵樹之間的距離.

【實(shí)踐工具】皮尺、測(cè)角儀、標(biāo)桿等.

【實(shí)踐活動(dòng)】研學(xué)游期間，甲同學(xué)在拍照時(shí)，發(fā)現(xiàn)河對(duì)岸有A，B兩棵樹（AB與河岸平行），于是他提出，在不過(guò)河的前提下，如何測(cè)量河對(duì)岸的樹A與樹B之間的距離呢？

乙同學(xué)觀察地形，制訂了測(cè)量方案：如圖1，在河岸一側(cè)確定兩個(gè)點(diǎn)C，D，使CD與河岸平行，且∠DCB=90°，經(jīng)測(cè)量CD=20m,∠ADB=82°，∠BDC=45°.

【問(wèn)題解決】（1）請(qǐng)根據(jù)乙同學(xué)的方案，計(jì)算出A，B兩棵樹之間的距離.（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【交流討論】（2）丙同學(xué)給出了另一種方案，如圖2，在河岸一側(cè)確定兩點(diǎn)C，D，使CD與河岸平行，且∠DCB=90°，測(cè)量出DC=am,DE=bm,∠D=α，即可計(jì)算出AB的長(zhǎng)度，請(qǐng)幫助丙同學(xué)驗(yàn)證他的方案的可行性.

23.(本小題9分)

如圖，拋物線y=-x2+bx+c與直線y=x+2相交于A（-2，0），B（3，m）兩點(diǎn)，與x軸相交于另一點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作直線PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)E，當(dāng)PE=2ED時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)M使△ABM的面積等于△ABC面積的一半？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.24.(本小題9分)

如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，連接PB交⊙O于點(diǎn)C，連接AC，則∠PAC=∠B.理由如下：∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACB=90°

∴∠CAB+∠B=90°

∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A

∴PA⊥AB

∴∠PAB=90°

∴∠CAB+∠PAC=90°

∴∠PAC=∠B

（1）小明根據(jù)以上結(jié)論，自主探究發(fā)現(xiàn)：如圖甲，當(dāng)AB是非直徑的弦，而其他條件不變時(shí)，∠PAC=∠B仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）小明進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：如圖乙，線段PA與線段PC，PB存在如下關(guān)系：PA2=PC?PB.請(qǐng)你替小明證一證；

（3）拓展應(yīng)用：如圖丙，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC=45°，∠AOB=150°，BC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)A的切線相交于P，若⊙O的半徑為1，請(qǐng)你利用小明的探究結(jié)論求PC的長(zhǎng).

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】D

12.【答案】D

13.【答案】x=±1

14.【答案】

15.【答案】4

16.【答案】（-10，）

17.【答案】甲同學(xué)的解答過(guò)程是從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的；乙同學(xué)的解答過(guò)程是從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的

x1=3，x2=6，正確解答：

x（x-3）=2（x-3）2，

移項(xiàng)得x（x-3）-2（x-3）2=0，

分解因式得（x-3）[x-2（x-3）]=0，

化簡(jiǎn)整理得（x-3）（-x+6）=0，

于是得x-3=0或-x+6=0，

解得x1=3，x2=6

18.【答案】解：（1）設(shè)乙種商品每件進(jìn)價(jià)的年平均下降率為x,

根據(jù)題意得：125（1-x）2=80，

解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不符合題意，舍去）．

答：乙種商品每件進(jìn)價(jià)的年平均下降率為20%；

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)y件甲種商品，則購(gòu)進(jìn)（100-y）件乙種商品，

根據(jù)題意得：（125-25×2）y+80（100-y）≤7800，

解得：y≥40，

∴y的最小值為40．

答：最少購(gòu)進(jìn)40件甲種商品．

19.【答案】見解析；

．

20.【答案】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AN⊥OB于點(diǎn)N，

則cosα==，

則ON=3，

則AN==4，

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（3，4）；

（2）由（1）知，tanα=，

∵∠AOB+∠B=90°，

則tan∠ABO=；

（3）如下圖，延長(zhǎng)BC交y軸于點(diǎn)C，

由（2）知，tan∠ABO=，

在Rt△OAB中，cosα==，

則OB=，

則tan∠ABO===，

解得：OC=，

即點(diǎn)C（0，）．

21.【答案】解：（1）∵矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），BC=4CF，

∴點(diǎn)F（1，2），代入y=得，2=，

∴k=2，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=，

由圖知E點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，

∴縱坐標(biāo)為y==，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，）；

（2）設(shè)直線OB：y=mx,將B（4，2）代入得，2=4m,

解得：m=，

∴直線OB的表達(dá)式為y=x,

聯(lián)立得：，

解得x=±2，

∴xD=2，

∴yD=1，

∴S△OAD=×4×1=2．

22.【答案】35m．

（-a）m．

23.【答案】解：（1）把B（3，m）代入y=x+2得：m=3+2=5，

∴B（3，5），

把A（-2，0），B（3，5）代入y=-x2+bx+c得：

，

解得，

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+8；

（2）設(shè)P（t,-t2+2t+8），則E（t,t+2），D（t,0），

∵PE=2DE，

∴-t2+2t+8-（t+2）=2（t+2），

解得t=1或t=-2（此時(shí)P不在直線AB上方，舍去）；

∴P的坐標(biāo)為（1，9）；

（3）拋物線上存在點(diǎn)M，使△ABM的面積等于△ABC面積的一半，理由如下：

過(guò)M作MK∥y軸交直線AB于K，如圖：

在y=-x2+2x+8中，令y=0得0=-x2+2x+8，

解得x=-2或x=4，

∴A（-2，0），C（4，0），

∴AC=6，

∵B（3，5），

∴S△ABC=×6×5=15，

設(shè)M（m,-m2+2m+8），則K（m,m+2），

∴MK=|-m2+2m+8-（m+2）|=|-m2+m+6|，

∴S△ABM=MK|xB-xA|=|-m2+m+6|×5=|-m2+m+6|，

∵△ABM的面積等于△ABC面積的一半，

∴|-m2+m+6|=×15，

∴|-m2+m+6|=3，

∴-m2+m+6=3或-m2+m+6=-3，

解得m=或m=，

∴M的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）或（，）．

24.【答案】（1）解：如圖所示，連接OA，OC，如圖，

∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，

∴PA⊥OA，

∴∠PAO=90°，

∴∠CAO+∠PAC=90°，

∴2∠CAO+2∠PAC=180°．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠AOC+∠OAC+∠OCA=180°，

∴∠AOC+2∠OAC=180°，

∴∠AOC=2∠PAC，

又∵∠AOC=2∠ABC，

∴∠PAC=∠B；

（2）證明：由（1）可得：∠PAC=∠B，

又∵∠P=∠P，

∴△PAC∽△PBA，

∴，

∴PA2=PB?PC；

（3）解：∵∠BAC=45°，

∴∠BOC=2∠BAC=90°，

∵⊙O的半徑為1，

∴OA=OB=OC=1，

在Rt△BOC中，

由勾股定理得：；

∵∠AOB=150