黑龍江省實驗中學(xué)學(xué)年度高二學(xué)年上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科試題考試時間：分鐘總分：分一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若直線，下列直線與平行的是（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】利用兩條直線平行時的條件即可求出.【詳解】直線，其中、、，對于選項，、、，此時，，，兩條直線不平行，故不正確.對于選項，、、，，，不正確.對于選項，、、，此時，，，兩條直線重合，故不正確.對于選項，、、，，，兩條直線平行，故正確.故選：.第1頁/共18頁2.點關(guān)于軸的對稱點為，則點到直線的距離為（）A.B.3C.D.【答案】C【解析】【分析】確定Q的坐標(biāo)，利用點到直線的距離公式，即可得答案.【詳解】由題意知點關(guān)于軸的對稱點為，則，故點到直線的距離為，故選：C3.拋物線方程為，則此拋物線的準(zhǔn)線為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先化為標(biāo)準(zhǔn)拋物線形式，再由準(zhǔn)線方程可得.【詳解】拋物線方程為，則，可得，拋物線的準(zhǔn)線為.故選：D．4.畫法幾何學(xué)的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓，已知橢圓的蒙日圓是與橢圓的值為（）A.或B.或C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，得到蒙日圓方程為，根據(jù)蒙日圓與圓只有一個第2頁/共18頁公共點，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系，得到或，求得的值，即可得到答案.【詳解】由橢圓的方程，可得且，且蒙日圓方程為，可得蒙日圓的圓心為原點O，半徑為，又由圓的圓心為，半徑為2，因為兩圓只有一個公共點，則兩圓外切或內(nèi)切，可得或，又因為，所以或，解得或．故選：B．5.已知橢圓的左?右焦點分別為是橢圓上任意一點.若的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析】根據(jù)橢圓方程及其定義和焦點位置得，進(jìn)而求離心率.【詳解】由題設(shè)，且，則，所以.故選：B6.雙曲線的漸近線方程為，則（）A.2B.C.D.【答案】A【解析】第3頁/共18頁【分析】根據(jù)雙曲線方程，即可求得答案.【詳解】由題意知雙曲線的實半軸長為，虛半軸長為，故其漸近線方程為，結(jié)合漸近線方程為，故，故選：A7.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸．如下示意圖中，手電筒內(nèi)，在小燈泡的后面有一個反光鏡，鏡面的形狀是一個由拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面．該鏡面圓形鏡口的直徑，鏡深．為使小燈泡發(fā)出的光經(jīng)鏡面反射后，射出為一束平行光線，則該小燈泡距離鏡面頂點的距離應(yīng)為（）A.2B.3C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線的方程以及性質(zhì)即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點，以所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面截該鏡面所得的拋物線方程為，代入，得，則小燈泡應(yīng)置于焦點處，故其距離鏡面頂點的距離應(yīng)為.故選：D第4頁/共18頁8.已知拋物線，圓，過圓心作斜率為的直線與拋物線和圓交于四點，自上而下依次為，若，則的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】CABAB方程并與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解作答.【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑，且為拋物線的焦點，拋物線的準(zhǔn)線方程為．設(shè)，則．因為，則，可得．設(shè)直線的方程為，顯然，且直線與拋物線必相交，由得，易知，所以，解得．故選：A.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.已知點和圓，下列說法正確的是（）第5頁/共18頁A.圓心，半徑為B.點在圓外C.圓關(guān)于直線對稱D.設(shè)點是圓上任意一點，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】由圓的方程寫出圓心和半徑，判斷A并與圓半徑比較大小，即可知道點與圓的位置關(guān)系，判斷B選項；驗證圓心是否在直線上，即可判斷C選項；由與圓的半徑，求出的范圍，判斷D選項.【詳解】圓心，半徑為，A選項錯誤；∵，∴點在圓外，B選項正確；∵圓心在直線上，∴圓關(guān)于直線對稱，C選項正確；∵，圓半徑，∴，D選項正確.故選：BCD.10.已知橢圓的左、右焦點分別為，，P是C上的任意一點，則（）A.C的離心率為B.C.的最大值為D.使為直角的點P有4個【答案】BCD【解析】AB斷C，根據(jù)以線段為直徑的圓與橢圓交點個數(shù)判斷D.【詳解】由原方程可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，故A錯誤；第6頁/共18頁由橢圓定義可知，故B正確；由橢圓的性質(zhì)知，故C正確；易知以線段C有4為直角的點有4D正確.故選：BCD已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線過點，是拋物線上的動點，則（）A.B.當(dāng)時，的最小值為C.點到直線的距離的最小值為2D.當(dāng)時，直線ON的斜率的最大值為【答案】ABD【解析】ABCD拋物線上任意一點的坐標(biāo)為，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行計算求解.【詳解】根據(jù)拋物線的定義，的準(zhǔn)線為，由題意準(zhǔn)線過，可求出，拋物線的方程為，選項A正確；對于選項B，C，D，可設(shè)拋物線上的點的動點為，對于B選項，當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.選項B正確；對于C選項，直線與拋物線的位置關(guān)系如下圖所示：第7頁/共18頁到直線的距離，當(dāng)時，.選項C錯誤；對于D選項，可根據(jù)向量共線作出示意圖：根據(jù)定義求出拋物線的焦點，由得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.選項D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.過點，且在軸、軸上的截距的絕對值相等的直線共有_____________條．【答案】3【解析】【分析】先設(shè)直線為或或，計算得出滿足截距絕對值相等直線方程即可判斷.第8頁/共18頁【詳解】因為在軸、軸上的截距的絕對值相等的直線，故設(shè)直線為或或，若直線過點，則，得直線為；若直線過點，則，得直線為；若直線過點，則，得直線為；所以滿足條件的直線有3條；故答案為：3.13.已知為坐標(biāo)原點，雙曲線的右焦點為，左頂點為，過作的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則的離心率為__________________.【答案】2【解析】【分析】應(yīng)用點到直線的距離得，結(jié)合的關(guān)系得，在中應(yīng)用余弦定理得，進(jìn)而有，即得漸近線斜率，根據(jù)雙曲線參數(shù)關(guān)系求離心率.【詳解】由題意，，雙曲線的漸近線為，如上圖，設(shè)點在上，則，故，所以，則，故，所以，故，則橢圓離心率為.故答案為：2第9頁/共18頁14.已知拋物線，F(xiàn)為C的焦點，P，Q為其準(zhǔn)線上的兩個動點，且．若線段PF，QF分別交C于點A，B，記的面積為的面積為，當(dāng)時，直線AB的方程為___________【答案】【解析】【分析】設(shè)直線AB方程及其坐標(biāo)，將面積之比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理計算即可.【詳解】顯然直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，由消去x得：，，則，由得：，即，而，于是，直線的方程為，則點縱坐標(biāo)，同理點縱坐標(biāo)，又，由，得，則，，所以直線AB的方程為，即.故答案為：【點睛】方法點睛：圓錐曲線中面積之比問題，通常利用線段之比來轉(zhuǎn)化，然后設(shè)線設(shè)點將線段之比化為第10頁/共18頁坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)立直線與圓錐曲線方程結(jié)合韋達(dá)定理計算即可.三、解答題：本小題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知，，平面內(nèi)一動點滿足，設(shè)動點的軌跡為．（1）求的方程；（2）若斜率為的直線與交于，兩點，且，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】1）設(shè)動點，根據(jù)結(jié)合兩點間距離公式運算求解；（2）設(shè)直線，根據(jù)垂徑定理可得圓心到直線的距離，列式求解即可.【小問1詳解】設(shè)動點，因為，則，整理可得，即，所以動點的軌跡為的方程為.【小問2詳解】由（1）可知：曲線是以圓心為，半徑的圓，設(shè)直線，即，由題意可得：圓心到直線的距離，則，解得或，所以直線的方程為或.16.已知橢圓過點，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率．第11頁/共18頁（1）求橢圓方程；（2）已知為橢圓的兩焦點，若點在橢圓上，且，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)點在橢圓上求得方程，結(jié)合橢圓、的關(guān)系求出橢圓的方程；（2）利用橢圓定義及余弦定理可得，再由三角形面積公式求面積.【小問1詳解】因為在上，則，可得，所以橢圓的方程為，故長軸長為，離心率為，設(shè)橢圓的方程為，故中，且，則，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由題意，在中，而，又，所以，故，所以.第12頁/共18頁17.已知拋物線C：的焦點為F，拋物線C上點滿足.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)點，過D作直線l交拋物線C于A，B兩點，證明：是的角平分線.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】1）根據(jù)拋物線的定義即可求得；（2）根據(jù)題意，直線斜率不為0，設(shè)其方程為：，和拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理可得，即直線與直線的傾斜角互補，得證.【小問1詳解】由，可得，所以拋物線C的方程為.【小問2詳解】根據(jù)題意，直線斜率不為0，設(shè)其方程為：，，，由得，由，可得：或，由韋達(dá)定理得：，.則，即直線與直線的傾斜角互補，第13頁/共18頁所以是的角平分線.18.已知雙曲線的離心率為2，左、右頂點分別為，虛軸的上、下頂點分別為，且四邊形的面積為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求雙曲線的漸近線方程；若為雙曲線上的一個動點，求到雙曲線兩條漸近線距離之積；（3）已知直線與交于兩點，若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）漸近線方程為，距離之積為（3）【解析】1）計算菱形的面積，再結(jié)合離心率可求；（2）設(shè)，根據(jù)點到直線的距離公式以及化簡；（3）設(shè)線段中點，聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理得出，再根據(jù)得出，再結(jié)合可求.【小問1詳解】由雙曲線的幾何性質(zhì)可知，四邊形是菱形，且，則四邊形的面積為，又離心率為，可得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】漸近線方程為，第14頁/共18頁設(shè)到兩條漸近線的距離分別為，則，則，因，則，所以到雙曲線兩條漸近線距離之積為；【小問3詳解】設(shè)，線段中點，,聯(lián)立，消去整理可得，則且，即且①，因，則，因，則，則，得，因且，得且，因，得或，綜上，實數(shù)的取值范圍是.第15頁/共18頁19.已知橢圓左、右頂點分別為、，是橢圓上異于、的任一點，直線，、是直線上兩點，、分別交橢圓于點、兩點．（1）直線、的斜率分別為、，求的值；（2）若、、三點共線，，求實數(shù)的值；（3）若直線過橢圓右焦點，且，求面積的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）由橢圓的方程可得，的坐標(biāo)，設(shè)的坐標(biāo)，代入橢圓的方程，可得的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而求出的值；（2）由題意設(shè)的坐標(biāo)，可得的坐標(biāo)，求出直線的方程，令，可得的縱坐標(biāo)，即求出的坐標(biāo)，同理可得的坐標(biāo)，再由，可得，代入可得的值；（3的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，可得的縱坐標(biāo)之差的絕對值，設(shè)直線的面積公式，可得三角形的面積的最小值．【小問1詳解】由橢圓方程可得，，設(shè)，則，第16頁/共18頁可得；【小問2詳解】因為、、三點共線，設(shè)，則，所以直線的方程為，令，可得，即，同理可得，又因為，所以，即，即，解得；