/安徽省宿州市蕭縣2025?2026學(xué)年九年級上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列方程是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．若正方形對角線的長為2，則該正方形的面積為（

）A． B．2 C． D．43．下列解方程正確的是（

）A．

解：B．解：C．

解：D．

解：4．如圖，有4張印有《哪吒之魔童鬧?！穲D案的卡片，分別是：哪吒、敖丙、太乙真人、無量仙翁．現(xiàn)將這4張卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在不透明的盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后不放回，再從中任意取出1張卡片，兩次取出的2張卡片中圖案為“哪吒”、“敖丙”的概率為（

）A． B． C． D．5．方程的兩根是菱形兩條對角線的長度，則這個菱形的周長是（

）A．40 B．30 C．28 D．206．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，位似中心為點．若點的對應(yīng)點為，則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．2025世界人形機器人運動會于8月在國家速滑館舉辦，旨在通過各項比賽展示機器人應(yīng)用技術(shù)的多樣性和創(chuàng)新性．某高?？蒲袌F隊為了選拔參加本次運動會自由搏擊賽的機器人，采用分組單循環(huán)（每兩個人形機器人之間都只進行一場比賽）制，每組x個機器人．若每組共需進行15場比賽，則根據(jù)題意下列方程正確的為（

）A． B． C． D．8．已知如圖，在中，，為銳角，將沿對角線邊平移，得到，連接和，若使四邊形是菱形，需添加一個條件，現(xiàn)有三種添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正確的方案是（）A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲9．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有這樣一個問題：“今有邑方不知大小，各中開門，出北門一百步立一表，出西門二百二十五步適可見之，問邑方幾何？”它的意思是：如圖，M，N分別是正方形的邊，的中點，，，過點A，且步，步，那么該正方形城邑邊長約為（

）步．A．300 B．250 C．225 D．15010．如圖，在正方形中，對角線，交于點，平分，分別交，于點，，，交于點，連接，下列結(jié)論：；；；；其中結(jié)論正確的序號是（）A． B． C． D．二、填空題11．一個不透明的袋中裝有除顏色外均相同的8個黑球、4個白球和若干個紅球．每次搖勻后隨機摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，通過大量重復(fù)摸球試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率穩(wěn)定于，由此可估計袋中約有紅球．12．鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，點是的黃金分割點，若線段的長為6cm，則的長為cm．（結(jié)果保留根號）13．如圖，為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點處與地面的距離為1.5米，車頭近似看成一個矩形，且滿足，若盲區(qū)的長度是9米，則車寬的長度為米．14．如圖，已知矩形，，，將沿翻折的，將沿翻折的，點F正好落在所在直線上，當(dāng)時，，．三、解答題15．解方程：（1）（2）．16．已知關(guān)于x的方程．（1）求證：無論k為何值，方程總有實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根為，求代數(shù)式的值．17．某校在踐行以“安全在我心中，你我一起行動”為主題的手抄報評比活動中，共設(shè)置了“交通安全、消防安全、飲食安全、校園安全”四個主題內(nèi)容，推薦甲和乙兩名學(xué)生參加評比，若他們每人從以上四個主題內(nèi)容中隨機選擇一個，每個主題被選擇的可能性相同．（1）甲選擇“校園安全”主題的概率為______；（2）請用畫樹狀圖法或列表法求甲和乙選擇不同主題的概率．18．如圖，在中，為邊上一點，．（1）求證：；（2）若，求的長．19．如圖，三個頂點坐標(biāo)分別為，，．（1）以原點為位似中心，在第二象限內(nèi)，將放大為原來的倍，得到，畫出；（2）連接，，求的面積．20．某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，商場為了在中秋節(jié)和國慶節(jié)期間擴大銷量，將售價從原來的每千克40元經(jīng)兩次調(diào)價后調(diào)至每千克32.4元．（1）若該商場兩次調(diào)次的降價率相同，求這個降價率；（2）現(xiàn)在假期結(jié)束了，商場準(zhǔn)備適當(dāng)漲價，如果現(xiàn)在每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？21．《黑神話：悟空》在全球上線迅速吸引了全球游戲愛好者的目光，游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蘊．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，某實踐小組欲測量飛紅塔的高度．如圖，塔前有一棵高4米的小樹，發(fā)現(xiàn)水平地面上點，樹頂和塔頂恰好在一條直線上，測得米，之間有一個花圃距離無法測量；在點處放置一平面鏡（平面鏡的大小忽略不計），沿所在直線后退，退到點處恰好在平面鏡中看到樹頂?shù)南衩?，測量者眼睛到地面的距離為1.6米．已知，，且點在同一水平線上．求飛虹塔的高度．

22．如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，，，動點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點P以的速度向點B移動，點Q以相同的速度向點D移動，當(dāng)點P到達點B時，點P、Q均停止運動，設(shè)運動時間為t秒．（1）當(dāng)________秒時，四邊形為矩形．（2）運動過程中，四邊形可能為菱形嗎？若能，求出運動時間t，若不能，請說明理由．（3）運動過程中，點P和點Q的距離可能是嗎？若能，求出運動時間t，若不能，請說明理由．23．某興趣小組在數(shù)學(xué)活動中，對四邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段進行了如下探究：（1）【初探猜想】如圖1，在正方形中，點E、F分別是上的點，連接，若，則線段與的數(shù)量關(guān)系為________；（2）【類比探究】如圖2，在矩形中，，，點E、F分別是邊上的點，點G是邊上一點，連接，若，求的值；（3）【知識遷移】如圖3，在四邊形中，，點E、F分別在線段上，且，連接，若，，，求的值．

答案1．【正確答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義逐項分析判斷即可，根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是；二次項系數(shù)不為；是整式方程；含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．【詳解】解：A、方程，當(dāng)時，方程變?yōu)?，此時未知數(shù)的最高次數(shù)是，是一元一次方程；只有當(dāng)時，它才是一元二次方程；由于題目中沒有明確，所以不能確定它一定是一元二次方程；不符合題意；B、方程中，含有和兩個未知數(shù)，不符合“只含有一個未知數(shù)”的要求，因此它是二元二次方程，不是一元二次方程，不符合題意；C、方程，因為分母中含有未知數(shù)，它是分式方程，而一元二次方程是整式方程，所以該方程不是一元二次方程，不符合題意；D、方程，整理后為，這個方程只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，同時它也是整式方程，完全符合一元二次方程的定義；符合題意；故選D．2．【正確答案】B【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，根據(jù)正方形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解．【詳解】解：∵正方形的一條對角線的長為2，∴這個正方形的面積．故選B．3．【正確答案】C【分析】本題考查直接開平方法解方程，逐一分析各選項解方程的過程是否正確，即可得出答案．【詳解】解：，沒有實數(shù)解，故A選項解方程錯誤；解：，，故B選項解方程錯誤；

解：，故C選項解方程正確；

解：，故D選項解方程錯誤；故選C．4．【正確答案】A【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法求概率，畫樹狀圖展示所有種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩次結(jié)果為哪吒和申公豹的結(jié)果數(shù)為，然后根據(jù)概率公式求解即可，熟練掌握概率公式為解題的關(guān)鍵．【詳解】解：分別用表示哪吒、敖丙、太乙真人、無量仙翁張卡片，畫出樹狀圖，共有種等可能的結(jié)果，其中兩次取出的2張卡片中圖案為“哪吒”、“敖丙”的結(jié)果數(shù)為，∴兩次取出的2張卡片中圖案為“哪吒”、“敖丙”的概率為，故選．5．【正確答案】D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，運用因式分解法解方程，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先運用因式分解法解方程，得，，再結(jié)合勾股定理算出菱形的邊長，根據(jù)菱形的性質(zhì)計算周長，即可作答．【詳解】解：∵，∴，∴或，∴，，∴結(jié)合菱形的對角線互相平分，得，∴結(jié)合菱形的對角線互相垂直，得菱形的邊長，則菱形的周長．故選D．6．【正確答案】A【分析】本題考查了位似變換，根據(jù)點的坐標(biāo)可得到位似比，再根據(jù)位似比即可求解，掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵與是位似圖形，點的對應(yīng)點為，∴與的位似比為，∴點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，即，故選．7．【正確答案】A【分析】本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)每組x個機器人，采用分組單循環(huán)（每兩個人形機器人之間都只進行一場比賽）制，則每個機器人參加場比賽，則共有場比賽，可以列出一元二次方程．【詳解】解：每組x個機器人，采用分組單循環(huán)（每兩個人形機器人之間都只進行一場比賽）制，則每個機器人參加場比賽，則共有場比賽，所以：故選A．8．【正確答案】B【分析】本題主要考查了菱形的判定及平移的性質(zhì)，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)題意可知四邊形是平行四邊形，再根據(jù)三種方案結(jié)合菱形的判定定理即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，根據(jù)平移可知，，∴，，四邊形是平行四邊形，∴．方案甲，添加不能判斷四邊形是菱形；方案乙，由，平行四邊形是菱形；方案丙，由，∵，∴，∴，，平行四邊形是菱形．所以正確的是乙和丙．故選B．9．【正確答案】A【分析】本題考查相似三角形解實際應(yīng)用題，讀懂題意，熟練應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．由題意可知，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得到，設(shè)，由分別是正方形的邊的中點可知，則，解得，從而得到正方形城邑邊長步．【詳解】解：，，，正方形中，，過點，，則，，，分別是正方形的邊的中點，設(shè)，，步，步，，即，解得負(fù)舍去值，正方形城邑邊長步，故選A．10．【正確答案】C【分析】正確．只要證明，即可．錯誤．利用反證法證明即可．正確．作的垂線和的延長線交于點，只要證明，即可．正確．設(shè)，想辦法用表示、即可解決問題．【詳解】解：平分，，，，，是等腰三角形，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，故正確；連接，∵當(dāng)，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴為等邊三角形，∴，與正方形性質(zhì)矛盾，∴，故錯誤；作的垂線和的延長線交于點，∴，∴，∴，∴為的中位線，∴，為的平分線，，又，，又，，，，故正確，設(shè)，，，∵，，∴，∵，∴，，，∵，∴，，，，，，，故正確．故正確的為．故選C．11．【正確答案】個【分析】本題考查利用頻率估算概率，利用概率求數(shù)量，根據(jù)摸到黑球的頻率穩(wěn)定于0.4，得到摸到黑球的概率為0.4，設(shè)紅球的個數(shù)為個，列出方程進行求解即可．【詳解】解：由題意，摸到黑球的概率為0.4，設(shè)紅球的個數(shù)為個，則：，解得.12．【正確答案】【分析】根據(jù)黃金分割的定義進行計算即可解答．【詳解】解：∵點P是AB的黃金分割點（AP＞BP），線段AB的長為6cm，∴，∴AP＝cm.13．【正確答案】1.8【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，過點作于點，交于點H．依題意可得，米，，設(shè)米，米，證明，由相似三角形的性質(zhì)計算即可得解，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點作于點，交于點H．依題意可得，米，，，∴設(shè)米，米，∵，∴，∴，即，解得：，米.14．【正確答案】或6；【分析】根據(jù)矩形的折疊得到，，，，進一步證明，則，設(shè)，則，，得到，解方程并確定或，則，利用勾股定理即可求出．【詳解】解：將沿翻折的，將沿翻折的，點F正好落在所在直線上，四邊形是矩形，∴，，，∴，∵∴，，∴，設(shè)，則，，，解得或，經(jīng)檢驗符合題意，∴或，∴，.15．【正確答案】（1），．（2），【分析】本題考查的是一元二次方程的解法．（1）把方程化為，再進一步求解即可．（2）把方程化為，再進一步求解即可．【詳解】（1）解：∵，整理得：，∴，，．（2）解：∵，移項得：，∴，∴，∴，，16．【正確答案】（1）見詳解（2）0【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等知識點，掌握相關(guān)結(jié)論即可．（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式計算即可求解；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，再整理代入即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴方程總有實數(shù)根；（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，∴．17．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查了畫樹狀圖求事件的概率，熟練掌握畫樹狀圖求事件的概率是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，求得所有等可能的結(jié)果數(shù)，再找出甲和乙選擇不同主題的結(jié)果數(shù)，利用概率公式求解即可．【詳解】（1）解：共有四種等可能結(jié)果，甲選擇“校園安全”主題的結(jié)果只有一種，所以甲選擇“校園安全”主題的概率為．（2）解：設(shè)交通安全、消防安全、飲食安全、校園安全分別為A、B、C、D，畫樹狀圖為：，共有16種等可能結(jié)果，其中甲和乙選擇不同主題的結(jié)果有12種，則甲和乙選擇不同主題的概率為．18．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】本題考查的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)相似三角形的判定得出即可；（2）根據(jù)相似得出比例式，代入求出即可．【詳解】（1），，（2），，，，．19．【正確答案】（1）畫見詳解；（2）的面積為．【分析】本題主要考查了畫位似圖形，求位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵在于熟知在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于或．（）利用位似圖形的性質(zhì)，得出各對應(yīng)點位置進而得出答案；（）直接求三角形面積即可．【詳解】（1）解：如圖，將放大為原來的倍，∴，，對應(yīng)點坐標(biāo)為，，，∴即為所求；（2）解：如圖，∴的面積為．20．【正確答案】（1）10%；（2）每千克水果應(yīng)漲價5元【分析】（1）設(shè)這個降價率為，根據(jù)每千克40元經(jīng)兩次調(diào)價后調(diào)至每千克32．4，列出方程求解即可；（2）根據(jù)商場要保證每天盈利6000元，列出一元二次方程，然后求出其解，最后根據(jù)題意確定其值．【詳解】解：（1）設(shè)這個降價率為，由題意得；解得：，（舍去）答：這個降價率為10%（2）設(shè)每千克水果應(yīng)漲價元，依題意得方程：，整理，得，解這個方程，得，．要使顧客得到實惠，應(yīng)?。穑好壳Э怂麘?yīng)漲價5元．21．【正確答案】飛虹塔的高度為米．【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先證明，求出的長，再證明即可求出答案．【詳解】解：已知，，，點B，D，E，G在同一水平線上，米，米，米，∴，由平面鏡反射可知，，∴，∴，∴，即，解得：，∵米，∴（米），∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴飛虹塔的高度為米．22．【正確答案】（1）4（2）能，（3）能，或7【分析】（1）根據(jù)當(dāng)時，四邊形為矩形，列出方程，求出解即可；（2）根據(jù)