/北京市第一五九中學2025?2026學年九年級上學期期中數(shù)學試題一、單選題1．下列圖形中，既是中心對稱，又是軸對稱的是（

）A． B．C． D．2．二次函數(shù)圖象的頂點坐標是（

）A． B． C． D．3．如圖，點A，B，C均在上，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．若將拋物線先向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的新拋物線的表達式為（

）．A． B． C． D．5．方程的根的情況是（）A．有兩個相等實數(shù)根 B．有兩個不相等實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷6．某市嚴格落實國家節(jié)水政策，2018年用水總量為6.5億立方米，2020年用水總量為5.265億立方米．設該市用水總量的年平均降低率是x，那么x滿足的方程是（

）A． B．C． D．7．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，若∠BAC=30°，BC=2，則AB的長為（

）．A．2 B．4 C．6 D．88．計算機處理任務時，經常會以圓形進度條的形式顯示任務完成的百分比．下面是同一個任務進行到不同階段時進度條的示意圖：若圓半徑為1，當任務完成的百分比為x時，線段MN的長度記為d（x）．下列描述正確的是（）

A． B．當時，C．當時， D．當時，二、填空題9．若關于的方程的一個根為2，則的值為．10．若點與點關于原點對稱，則點的坐標為．11．如圖，的半徑為10，為弦，，垂足為，如果，那么的長是．12．點，在拋物線上，則.（填“＞”“＜”或“＝”）13．請你寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足條件：①開口向下；②與y軸的交點坐標為．此二次函數(shù)的解析式可以是．14．如圖，等腰直角三角形ABC繞點A逆時針旋轉60°，得到△ADE，連接BD，則∠CBD=．15．若x=a是一元二次方程的一個實數(shù)根，那么代數(shù)式=．16．小軒從如圖所示的二次函數(shù)的圖象中，觀察得出了下面四條信息：①；②；③；④．其中所有正確結論的序號是．三、解答題17．解方程（1）（2）．18．已知二次函數(shù)．（1）求二次函數(shù)圖象的頂點坐標；（2）在平面直角坐標系中，畫出二次函數(shù)的圖象：（3）當時，結合函數(shù)圖象，直接寫出的取值范圍___________．19．下面是小石設計的“過圓外一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：及外一點P．求作：直線和直線，使得切于點A，切于點B．

作法：如圖，①連接，作線段的垂直平分線，交于點Q；②以點Q為圓心，的長為半徑作圓，交于點A和點B；③作直線和直線．所以直線和就是所求作的直線．根據(jù)小石設計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接．∵是的直徑，∴（）（填推理的依據(jù)）．∴．∵為的半徑，∴是的切線（）（填推理的依據(jù)）．20．如圖，點O、坐標分別為、，將繞O點按逆時針方向旋轉到．（1）畫出平面直角坐標系和；（2）直接寫出點的坐標___________；（3）旋轉到所圍成的圖形面積為___________．21．如圖，D是等邊三角形內一點，將線段繞點A順時針旋轉，得到線段，連接，．（1）求證：；（2）連接，若，求的度數(shù)．22．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于E，連接AC，OC，BC．（1）求證：∠1=∠2；（2）若，求⊙O的半徑的長．23．已知關于的方程．（1）求證：無論取任何實數(shù)時，該方程總有兩個實數(shù)根；（2）如果該方程的兩個實數(shù)根均為正數(shù)，求的最小整數(shù)值．24．原地正面擲實心球是北京市初中學業(yè)水平考試體育現(xiàn)場考試的選考項目之一．實心球被擲出后的運動路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系．實心球從出手（點A處）到落地的過程中，實心球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關系．九年級一名男生進行了兩次訓練．（1）第一次訓練時，實心球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離035679豎直高度25根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出實心球豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關系；（2）第二次訓練時，實心球的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關系．記該男生第一次訓練實心球落地的水平距離為，第二次訓練實心球落地的水平距離為，則（填“>”“=”或“<”）．25．如圖，等腰內接于，，為直徑，連接交于點，延長至點，使得，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．26．在平面直角坐標系中，點在拋物線上．（1）當時，比較m與n的大小，并說明理由；（2）若對于，都有，求b的取值范圍．27．如圖，在中，，，點在邊上，以點為中心，將線段順時針旋轉得到線段，連接．（1）求證：平分；（2）連接交于點，過點作，交的延長線于點．補全圖形，用等式表示線段與之間的數(shù)量關系，并證明．28．在平面直角坐標系中，給定圓C和點P，若過點P最多可以作出k條不同的直線，且這些直線被圓C所截得的線段長度為正整數(shù)，則稱點P關于圓C的特征值為k．已知圓O的半徑為2，（1）若點M的坐標為，則經過點M的直線被圓O截得的弦長的最小值為___________，點M關于圓O的特征值為___________；（2）直線分別與x，y軸交于點A，B，若線段上總存在關于圓O的特征值為4的點，求b的取值范圍；（3）點T是x軸正半軸上一點，圓T的半徑為1，點R，S分別在圓O與圓T上，點R關于圓T的特征值記為r，點S關于圓O的特征值記為s．當點T在x軸正軸上運動時，若存在點R，S，使得，直接寫出點T的橫坐標t的取值范圍．

答案1．【正確答案】B【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】A、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意，B、既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，故本選項符合題意，C、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項不符合題意，D、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意.故選B．2．【正確答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式即可得出頂點坐標.【詳解】∵，∴二次函數(shù)圖象頂點坐標為.故答案為A.3．【正確答案】C【分析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．直接利用圓周角定理求解．【詳解】解：∵為所對的圓周角，為所對的圓心角，∴．故選C．4．【正確答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)平移的規(guī)律上加下減，左加右減，即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，故選A．5．【正確答案】B【分析】把，，代入進行計算，然后根據(jù)計算結果判斷方程根的情況．【詳解】解：∵，，，∴，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選B．6．【正確答案】A【分析】由題意2019年用水總量為億立方米，2020年用水總量為億立方米，從而可得x滿足的方程．【詳解】解：由題意可得：2019年用水總量為億立方米，2020年用水總量為億立方米，所以．故選A．7．【正確答案】B【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關系求AB的長．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×2=4．故選B．8．【正確答案】D【分析】根據(jù)已知，利用圖象判斷即可．【詳解】解：如圖，當時，當時，；

A、，本選項不符合題意；B、當時，，本選項不符合題意；C、當時，與可能相等，可能不等，本選項不符合題意；D、當時，，本選項符合題意；故選D．9．【正確答案】【分析】將代入方程可得一個關于的一元一次方程，解方程即可得．【詳解】解：由題意，將代入方程得：，解得.10．【正確答案】【分析】根據(jù)關于原點的對稱點，橫、縱坐標都變成相反數(shù)解答．【詳解】解：∵點與點關于原點對稱，∴點.11．【正確答案】16【分析】本題考查勾股定理，垂徑定理．連接，先由勾股定理求出，再根據(jù)垂徑定理即可求解．【詳解】解：連接，∵的半徑為10，∴，∵，∴在中，，∵為弦，，是半徑，∴．故答案為∶16．12．【正確答案】＞．【分析】先化成頂點式，直接將點的坐標代入進行計算，再判斷即可．【詳解】∵y=x2-2x=（x-1）2-1，將，代入得到：=（-3-1）2-1=15，=（2-1）2-1=0，y1＞y2故答案為＞．13．【正確答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質可得出，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出，取，即可得出結論．【詳解】解：設二次函數(shù)的解析式為．∵拋物線開口向下，∴．∵拋物線與y軸的交點坐標為，∴．取，時，二次函數(shù)的解析式為．14．【正確答案】15°/15度【分析】根據(jù)旋轉的性質可得，，，得到為等邊三角形，即可求解．【詳解】解：由旋轉的性質可得，，，∴為等邊三角形又∵為等腰直角三角形∴∴故答案為15．【正確答案】8【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，即，再把變形為，然后利用整體代入的方法計算即可．【詳解】把代入得：，，．16．【正確答案】②④/④②【分析】由圖象可知，對稱軸為直線，則有，即可判斷①④，圖象與x軸有兩個交點，則可判斷③，當時，代入解析式可判斷②．【詳解】解：由圖象得：，對稱軸為直線，∴，，故④正確；∴，故①錯誤；由圖象知當時，，故②正確；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴，故③錯誤；綜上所述：正確的有②④兩個.17．【正確答案】（1），（2），【分析】本題考查解一元二次方程，根據(jù)方程特點選擇合適的方法是解題的關鍵．（1）運用因式分解法求解即可；（2）運用配方法求解即可．【詳解】（1）解：，因式分解，得，∴或解得，．（2）解∶，移項，得，配方，得，即，所以，解得，．18．【正確答案】（1）（2）見詳解（3）【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質，畫出二次函數(shù)的圖象，掌握相關知識是解答此題的關鍵．（1）拋物線變形為，可得頂點坐標；（2）列表，描點，連線即可；（3）因為拋物線開口向上，所以當時拋物線有最小值，再求、時的函數(shù)值結合函數(shù)圖象可求的范圍．【詳解】（1）解：，∴頂點坐標為．（2）解：列表：X…01234…y…3003…描點并連線：（3）解：由題意，當時拋物線有最小值；當時，；當時，，由圖象可知，當時，．19．【正確答案】（1）見詳解（2）；直徑所對的圓周角是直角；經過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，線段的垂直平分線的性質、圓周角定理、切線的判定定理，解本題的關鍵在理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）根據(jù)題意，畫出圖形即可；（2）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得出，再根據(jù)垂線的定義，得出，，再根據(jù)切線的判定定理，即可得出結論．【詳解】（1）解：如下圖即為所求；

（2）證明：∵是的直徑，∴（直徑所對的圓周角為直角）．∴，．∵，是的半徑，∴，是的切線（經過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）．20．【正確答案】（1）見詳解（2）（3）【分析】本題考查作圖?旋轉變換，旋轉的性質，扇形的面積等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）根據(jù)O點位置畫出平面直角坐標系，分別作出A，B的對應點，，連線即可．（2）根據(jù)點的位置寫出坐標即可．（3）旋轉到所圍成的圖形為扇形，先求出的長，由旋轉的性質得到，再利用扇形的面積公式計算即可．【詳解】（1）解：平面直角坐標系如圖，即為所求．（2）解：由圖可得點的坐標為．（3）解：如圖，旋轉到所圍成的圖形為扇形，由圖可得，點A的坐標為，∴，由旋轉可得，扇形的面積．21．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質、旋轉的性質和等邊三角形的性質，能靈活運用性質定理進行推理是解此題的關鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質得出，，根據(jù)旋轉的性質得出，．求出，證即可；（2）求出，求出，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，由旋轉的性質得：，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：如圖，連接，由旋轉得，，∴為等邊三角形，∴，又∵，∴．22．【正確答案】（1）見詳解；（2）【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和圓的性質，同弧的圓周角相等，又因為△AOC是等腰三角形，即可求證．（2）根據(jù)勾股定理，求出各邊之間的關系，即可確定半徑．【詳解】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，=．∴∠A=∠2．又∵OA=OC，∴∠1=∠A．∴∠1＝∠2．（2）∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD=6∴∠CEO＝90o，CE＝ED＝3．設⊙O的半徑是R，EB=2，則OE=R-2∵在Rt△OEC中，解得：∴⊙O的半徑是．23．【正確答案】（1）見詳解；（2）3【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式的符號證明；（2）先求出原方程的兩個實數(shù)根，根據(jù)兩個實數(shù)根均為正數(shù)，列出不等式求出的范圍，繼而得到其最小整數(shù)值；【詳解】解：（1）由題意，得△=，∴無論m取任何實數(shù)時，方程總有兩個實數(shù)根．（2）∵，∴，．∵該方程的兩個根均為正數(shù)，∴，∴．∵m取最小整數(shù)；∴．24．【正確答案】（1）最大高度，（2）>【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的對稱性，以及用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達式的方法和步驟．（1）由表可知，當時和當時函數(shù)值相等，則該二次函數(shù)對稱軸為直線，即當時，y取最大值5，得出，把代入求出a的值，即可得出函數(shù)表達式；（2）分別求出兩次訓練令y為0時，x的值，再比較大小即可．【詳解】（1）解：由表可知，當時，，當時，，∴該二次函數(shù)對稱軸為直線，即當時，y取最大值5，∴實心球豎直高度的最大值為，把頂點代入得：，把代入得：，解得：，∴；（2）解：第一次訓練時，令，則，解得：（舍去），第二次訓練時，令，則，解得：（舍去），∵，∴.25．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，掌握相關的知識是解題的關鍵．（1）由圓周角的性質可得，由等腰三角形的性質可證，可求，即可求解；（2）通過證明，可得，可求的長，即可求解．【詳解】（1）證明：，，是直徑，，，，∵，，，，，，是直徑，是的切線；（2）解：，，，，，，，，，．26．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由題意可知拋物線解析式為，將代入，即可求出m和n的值，再比較即可；（2）由函數(shù)解析式可得出其對稱軸為直線，且開口向上，從而得出在對稱軸右側，y隨x的增大而增大．根據(jù)對于，都有，得出，當時，，即，從而可求出．由對于，都有，又可得出，兩邊平方并整理，得：，即得出，最后取其公共解即可．【詳解】（1）解：．理由：當時，拋物線解析式為，點，將代入，得：，，∴；（2）解：∵該函數(shù)解析式為，∴其圖象開口向上，對稱軸為直線，∴在對稱軸左側，y隨x的增大而減小，在對稱軸右側，y隨x的增大而增大．∵，∴點B在點A右側．∵對于，都有，∴，∴當時，，即，解得：．∵對于，都有，∴，兩邊平方，得：，整理，得：，∴．綜上可知．27．【正確答案】（1）見詳解（2），見詳解【分析】本題考查了旋轉的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、角平分線的判定等知識，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關鍵．（1）由旋轉可得可得，然后“”可證，可得結論；（2）在上截取，連接，在延長線時取點，使，連接，由“”證明，，可得，，，由平行線的性質及等量代換可得，，即可得結論．【詳解】（1）證明：，，即，在和中，，，，，，，平分；（2）解：，證明：如圖，在上截取，連接，在延長線時取點，使，連接，，在和中，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，．28．【正確答案】（1），3（2）b的取值范圍是或；（3）【分析】（1）設經過點M的直線與交于E、F兩點，過點O作于H，連接，利用垂徑定理得到，由勾股定理可得當最大時，最小，即此時最小，求出，再由，得到當點H與點M重合時，有最大值，即可求出的最小值為，則被圓O截得的弦長取值范圍為，再由被圓O截得的弦長為3的弦有2條，被圓O截得的弦長為4的弦只有1條，可得點M關于圓O的特征值為3；（2）根據(jù)題意得，關于圓O的特征值為4的所有點都在以O為圓心，為半徑的圓周上，分當時和當時，兩種情況討論即可求解；（3）由于同一平面內，對于任意一點Q，經過O、Q的直線與圓O截得的弦（直徑）都為4，則點Q關于圓O的特征值不可能為0，由此可得，則或；經過點S且弦長為4（最長弦）的直線有1條，弦長為3（最短弦）的直線有1條，由（2）可知點S一定在以O為圓心，以為半徑的圓上，同理點R一定在以T為圓心，以為半徑的圓上，則當滿足以O為圓心，2為半徑的圓與以T為圓心，為半徑的圓有交點，且同時滿足以O為圓心，為半徑的圓與以T為圓心，1為半徑的圓有交點時t的值符合題意，由此求解即可．【詳解】（1）解：設經過點M的直線與交于E、F兩點，過點O作于H，連接，∴，在中，由勾股定理得，∴當最大時，最小，即此時最小，∵點M的坐標為，∴，又∵，∴當點H與點M重合時，有最大值，∴此時有最小值，∴的最小值為∵過