/河北省邢臺(tái)市任澤區(qū)2025?2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列函數(shù)中，是的反比例函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．下列運(yùn)動(dòng)形式屬于旋轉(zhuǎn)的是（）A．火箭升空 B．鐘擺的擺動(dòng) C．傳送帶移動(dòng) D．電梯的運(yùn)行3．已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則“”的值可以是（

）A． B． C． D．4．“這么近，那么美，周末到河北！”嘉嘉和爸爸周末到河北博物院游玩，其中有藏品戰(zhàn)國(guó)透雕龍鳳紋銅鋪首、戰(zhàn)國(guó)中山王鐵足銅鼎、劉勝金縷玉衣、西漢長(zhǎng)信宮燈，從這四種文物中隨機(jī)選擇一種文物進(jìn)行參觀，恰好選擇的文物是劉勝金縷玉衣的概率是（

）A． B． C． D．5．如圖，與是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，若，則與的面積之比為（

）A． B． C． D．6．如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的圖象上，則矩形的面積是（

）A．1 B．2 C．4 D．67．如圖，已知，，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A． B． C． D．8．如圖，一個(gè)半徑為的定滑輪帶動(dòng)重物上升，假設(shè)繩索與滑輪之間沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)．若滑輪上某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了，則重物上升的高度為（

）A． B． C． D．9．若關(guān)于的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則的值為（）A． B．1 C．0 D．1或10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．11．如圖是凸透鏡成像的光路示意圖，，，分別表示蠟燭、蠟像、凸透鏡，它們均與主光軸垂直．一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)．另一束經(jīng)過(guò)光心的光線與折射光線相交于點(diǎn)．已知，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．12．用10米長(zhǎng)的圍欄圍成一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)）的菜園，為了讓菜園的面積盡可能大，小紅提出了圍成矩形、等腰三角形（底邊靠墻）、半圓形三種方案（如圖所示），最佳方案是（

）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．都一樣二、填空題13．如圖，在中，，點(diǎn)在上．若，則°．14．如圖，是的邊上的一點(diǎn)，添加一個(gè)條件，使（寫(xiě)出一個(gè)即可）15．已知點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為．（用“”連接）16．如圖，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，若，則圖中陰影部分的面積為．三、解答題17．（1）解方程：．（2）已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，求的值．18．如圖，四邊形．（1）______°，______°．（2）求的值．19．如圖，在中，為上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，，．（1）求證：．（2）若，，，求的長(zhǎng)．20．一個(gè)不透明的口袋里裝有四張卡片①②③④（如圖），其中①③上的圖形是大小不同的等腰直角三角形，②④上的圖形是大小不同的正方形，四張卡片除了圖形不同外，其他完全相同．（1）若從中任取一張卡片，卡片上的圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形的概率為_(kāi)_____．（2）若從中任取兩張卡片（不放回），請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法，求取出的兩張卡片上的圖形相似的概率．21．如圖，在等腰中，，以的長(zhǎng)為直徑的交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作邊的垂線，垂足為，且交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線．（2）若，的半徑為4，求的長(zhǎng)度．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，．（1）求的值和一次函數(shù)的表達(dá)式．（2）根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，不等式的解集．（3）連接，，則的面積為_(kāi)_____．23．綜合與實(shí)踐【情境】在綜合實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)老師帶領(lǐng)同學(xué)們分割長(zhǎng)方形木板，如圖，長(zhǎng)方形木板上已經(jīng)畫(huà)好一條分割線，要求再畫(huà)一條分割線將長(zhǎng)方形木板分為4部分，且分割線垂直平分．【操作】嘉嘉和淇淇嘗試用不同方法解決問(wèn)題．嘉嘉：如圖1，作的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．淇淇：如圖2，①作的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，②作，③過(guò)點(diǎn)作（作圖詳細(xì)過(guò)程略）．【探究】（1）根據(jù)嘉嘉的思路利用尺規(guī)補(bǔ)全作圖．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）試說(shuō)明淇淇作法的正確性（證明：垂直平分）．【拓展】（3）如圖3，在長(zhǎng)方形中，點(diǎn)在邊上，將向右平移得到，點(diǎn)在邊上，將向下平移得到，與交于點(diǎn)，，．若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值（用含的代數(shù)式表示）．24．如圖，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸相交于點(diǎn)，已知，為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）如圖，已知點(diǎn)在第四象限的拋物線上，連接交軸于點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接，．若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）如圖，將拋物線沿軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到一個(gè)新拋物線，新拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），頂點(diǎn)為．①請(qǐng)直接寫(xiě)出新拋物線的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)是否在新拋物線上（不必說(shuō)明理由）；②過(guò)點(diǎn)作直線與新拋物線交于點(diǎn)（點(diǎn)在新拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)），與拋物線交于另一點(diǎn)．是否存在直線，使得的內(nèi)切圓的圓心在直線上？若存在，直接寫(xiě)出直線的表達(dá)式;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案1．【正確答案】C【分析】本題考查反比例函數(shù)的定義，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．反比例函數(shù)的形式為（k為常數(shù)，），據(jù)此判斷各選項(xiàng)．【詳解】解：選項(xiàng)A．是正比例函數(shù)，不符合題意；選項(xiàng)B．是二次函數(shù)，不符合題意；選項(xiàng)C．，符合形式，其中，符合題意；選項(xiàng)D．，含有常數(shù)項(xiàng)，不符合反比例函數(shù)定義．故選C．2．【正確答案】B【分析】本題考查生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．旋轉(zhuǎn)是指物體圍繞一個(gè)固定點(diǎn)或軸做圓周運(yùn)動(dòng)．鐘擺的擺動(dòng)圍繞固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，屬于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；其他選項(xiàng)均為直線運(yùn)動(dòng)，不屬于旋轉(zhuǎn)．【詳解】解：旋轉(zhuǎn)需繞固定點(diǎn)或軸轉(zhuǎn)動(dòng)，A．火箭升空為直線運(yùn)動(dòng)，不符合題意；B．鐘擺的擺動(dòng)繞支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，符合題意；C．傳送帶移動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)，不符合題意；D．電梯的運(yùn)行為直線運(yùn)動(dòng)，不符合題意．故選B．3．【正確答案】D【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，掌握“反比例函數(shù)圖象所在象限與比例系數(shù)符號(hào)的關(guān)系”是解題關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，圖象位于一、三象限；結(jié)合題目中圖象經(jīng)過(guò)一、三象限的條件，可推出，進(jìn)而確定的取值范圍．【詳解】解：反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，圖象位于一、三象限，當(dāng)時(shí)，圖象位于二、四象限，由題意得，的圖象位于一、三象限，，，的值可以是．故選．4．【正確答案】C【分析】本題考查了概率的計(jì)算方法；關(guān)鍵是熟練應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算；按照概率的計(jì)算公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵總事件數(shù)，某事件數(shù)，∴；故答案選：C．5．【正確答案】A【分析】本題考查位似圖形的性質(zhì)．本題核心是理解位似圖形與相似圖形的關(guān)系（位似是特殊的相似），以及相似三角形面積比與相似比的數(shù)量關(guān)系（面積比為相似比的平方）．通過(guò)明確相似比，進(jìn)而求出面積比是解題關(guān)鍵．位似圖形屬于相似圖形，其相似比等于對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比；而相似三角形的面積比等于相似比的平方，據(jù)此可逐步推導(dǎo)．【詳解】解：與是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，，與的相似比為，與的面積之比為，對(duì)應(yīng)選項(xiàng)A．

故選A．6．【正確答案】B【分析】此題主要考查反比例函數(shù)與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知反比例函數(shù)的幾何意義．由點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的圖象上，得到即可求解．【詳解】解：點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的圖象上，且，，矩形的面積為2，故選B．7．【正確答案】D【分析】本題考查平行線分線段成比例，相似三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的判定及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴．故本選項(xiàng)的結(jié)論成立；B、∵，∴．故本選項(xiàng)的結(jié)論成立；C、∵，∴，∴．故本選項(xiàng)的結(jié)論成立；D、∵，，∴，，∴，，∵與不一定相等，∴不一定成立．故選D．8．【正確答案】B【分析】本題考查弧長(zhǎng)公式，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到重物上升的高度為定滑輪上點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)滑輪上某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了時(shí)，重物上升的高度就是點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)，則重物上升的高度為，故選B．9．【正確答案】A【分析】本題考查一元二次方程的定義與一般形式，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)常數(shù)項(xiàng)為0可得，但需確保方程為一元二次方程，即二次項(xiàng)系數(shù)，即可解答．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，∴，解得或又∵方程為一元二次方程，∴，即．∴．故選A．10．【正確答案】B【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等，過(guò)作軸于點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，則，然后通過(guò)同角的余角相等得出，證明，故有，，然后根據(jù)坐標(biāo)特點(diǎn)即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過(guò)作軸于點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，則，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，，∴，∵，∴，∴，∴，，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選．11．【正確答案】B【分析】該題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)．根據(jù)題意可得，，四邊形是矩形，得出，，，設(shè)，列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意,可得，，,∴四邊形是矩形，．，．，，．設(shè)，，，，解得，，故選B．12．【正確答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知條件列出方程是解題的關(guān)鍵．分別計(jì)算三種方案下菜園的最大面積，再比較大小確定最佳方案即可．【詳解】解：方案1：設(shè)矩形垂直于墻的邊長(zhǎng)為米，平行于墻的邊長(zhǎng)為米，矩形的面積為，則矩形面積的最大值為；方案2：過(guò)點(diǎn)作，設(shè)長(zhǎng)為，，由勾股定理得，等腰三角形的面積為，則，令得：，因此，等腰三角形的面積最大值為；方案3：設(shè)半圓的半徑為，半圓的弧長(zhǎng)為，由圍欄長(zhǎng)度得，解得，則半圓的面積為，取，則，由于，因此，最佳方案是方案3，故選C．13．【正確答案】40【分析】本題考查圓周角定理，熟練掌握同圓或等圓中同弧所對(duì)圓周角相等是解題的關(guān)鍵．本題可依據(jù)同圓或等圓中同弧所對(duì)的圓周角相等這一圓周角定理來(lái)求解的度數(shù)．【詳解】解：在中，，．14．【正確答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定．根據(jù)相似三角形的判定定理“如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形相似”，即可求解．【詳解】解：由題意得，（公共角），所以可添加，使．15．【正確答案】【分析】本題主要考查了比較反比例函數(shù)值．根據(jù)反比例函數(shù)解析式，分別計(jì)算各點(diǎn)縱坐標(biāo)，再比較大小即可．【詳解】解：由，對(duì)于點(diǎn)，；對(duì)于點(diǎn)，；對(duì)于點(diǎn)，．∵，∴．16．【正確答案】9【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、熟練掌握“角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得和，進(jìn)而得到是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)“角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”的性質(zhì)得到的長(zhǎng)，觀察圖形發(fā)現(xiàn)圖中陰影部分的面積等于的面積，據(jù)此求解即可．【詳解】解：由題意得：、是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到圖中陰影部分的面積為，即，因此圖中陰影部分的面積為．17．【正確答案】（1），；（2）．【分析】本題綜合考查了一元二次方程的解法以及反比例函數(shù)圖象與解析式之間的關(guān)系．兩個(gè)小題均屬于基礎(chǔ)運(yùn)算題，重點(diǎn)考察代數(shù)運(yùn)算與函數(shù)概念的理解．（1）通過(guò)因式分解法直接求解即可；（2）已知點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可解出參數(shù)的值．【詳解】解：（1）或，解得：，；（2）點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，解得，．18．【正確答案】（1）144；83（2）【分析】本題考查相似圖形的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)相似圖形的性質(zhì)與多邊形的內(nèi)角和求解即可；（2）根據(jù)相似圖形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形，∴．（2）∵四邊形，∴，即，解得．19．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）8【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，根據(jù)相似的判定方法，證明；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，從而求得的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：，，、，，，；（2）解：，，，．20．【正確答案】（1）（2）畫(huà)見(jiàn)詳解，取出的兩張卡片上的圖形相似概率為【分析】本題考查中心對(duì)稱(chēng)圖形，相似圖形，運(yùn)用概率公式求概率，列舉法求概率，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）先找出圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形的卡片，再根據(jù)概率公式求解即可；（2）圖形相似的卡片是①與③，②與④，用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法找出所有等可能的情況，再找出滿(mǎn)足要求的條件，即可求解．【詳解】（1）解：圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形的卡片是②④，所以從中任取一張卡片，卡片上的圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形的概率為．（2）解：圖形相似的卡片是①與③，②與④，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由樹(shù)狀圖可知共有12種等可能的結(jié)果，其中取出的兩張卡片上的圖形相似的結(jié)果有4種，則P（取出的兩張卡片上的圖形相似）．21．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）4【分析】本題主要考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)：（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得到，即可求證；（2）設(shè)的長(zhǎng)度為，根據(jù)，可求出x的值，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接．，．，，，．，．又點(diǎn)在上，是的切線．（2）解：設(shè)的長(zhǎng)度為．，，，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，的長(zhǎng)度為4．22．【正確答案】（1），一次函數(shù)的表達(dá)式為（2）（3）8【分析】本題綜合考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，需熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、結(jié)合圖象分析不等式解集、利用“分割法”求三角形面積，其中準(zhǔn)確找到關(guān)鍵點(diǎn)（如函數(shù)交點(diǎn)、坐標(biāo)軸交點(diǎn)）是解題核心．（1）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征先求，再確定點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而通過(guò)待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系確定不等式的解集；（3）通過(guò)求一次函數(shù)與軸交點(diǎn)，將的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形面積的差來(lái)計(jì)算．【詳解】（1）解：點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，將，代入，可得，反比例函數(shù)的解析式為，又點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，將代入，得，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)和代入一次函數(shù)，得到方程組，解得，一次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）由（1）知一次函數(shù)為，反比例函數(shù)為，兩函數(shù)圖象交于和，

結(jié)合圖象，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的圖象位于反比例函數(shù)的圖象上方，即滿(mǎn)足，不等式的解集為；（3）先求一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)：令，則，記該交點(diǎn)為，

的面積為：，的面積為：；

的面積為．23．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解；（3）【分析】本題考查尺規(guī)作圖——作線段的垂直平分線，垂直平分線的定義，平行線分線段成比例，平移的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)作垂直平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）由長(zhǎng)方形得到，因此，進(jìn)而得到由得到．由得出，即，因此得到垂直平分；（3）如圖2，在左側(cè)作，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．設(shè)與交于點(diǎn)，則，得到①．由平移得到，，，，證明，，得到，從而②，由①和②即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，直線為所求．（2）四邊形為長(zhǎng)