/黑龍江省哈爾濱市松南中學(xué)校2025?2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列實(shí)數(shù)中，是無理數(shù)的是（

）A．3 B． C． D．02．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B．C． D．3．全國深入踐行生態(tài)文明思想，科學(xué)開展大規(guī)模國土綠化行動(dòng)，厚植美麗中國亮麗底色，去年完成造林約公頃．用科學(xué)記數(shù)法表示是（

）A． B． C． D．4．如圖是由4個(gè)相同的小正方體組成的幾何體，它的主視圖是（

）A． B．C． D．5．方程的解是（

）A． B． C． D．6．拋物線的對(duì)稱軸是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線7．下列圖形是由同樣大小的棋子按照一定規(guī)律排列而成的，其中，圖1中有5個(gè)棋子，圖2中有10個(gè)棋子，圖3中有16個(gè)棋子，……，則圖7中有（

）個(gè)棋子．A．48 B．49 C．50 D．608．如圖，已知，，若，則的長為（

）A．5 B．10 C．15 D．209．某同學(xué)按如下步驟作四邊形：（1）畫；（2）以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)B，D；（3）分別以點(diǎn)B，D為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；（4）連接，，．若，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．10．如圖，矩形中，，，E為邊上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P沿著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)Q沿著折線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，它們的運(yùn)動(dòng)速度都是，設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)時(shí)，的面積為，則y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（

）A． B． C． D．二、填空題11．的解集為．12．在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是13．把多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果是．14．為更好地激發(fā)學(xué)生的愛國主義情懷，學(xué)校建議學(xué)生利用假期時(shí)間觀看《731》，《志愿軍：浴血和平》，《南京照相館》三部電影．小明和小紅兩位同學(xué)從這三部電影中隨機(jī)選擇一部觀看，他們恰好選擇看同一部電影的概率為．15．如圖，分別與相切于兩點(diǎn)，，則．16．一個(gè)扇形的面積是，圓心角為，則此扇形的弧長為．17．驗(yàn)光師通過檢測(cè)發(fā)現(xiàn)近視眼鏡的度數(shù)（度）與鏡片焦距（米）成反比例，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖所示．小雪的鏡片焦距為0.2米時(shí)，眼鏡度數(shù)為500度，經(jīng)過一段時(shí)間的矯正治療后，小雪的鏡片焦距變?yōu)?.5米，此時(shí)眼鏡的度數(shù)為度．18．定義：，則方程的解為．19．有一面積為5的等腰三角形，它的一個(gè)內(nèi)角是30°，則以它的腰長為邊的正方形的面積為．20．如圖，在菱形中，，，連接，點(diǎn)E在邊上，且，連接交于點(diǎn)F，連接，以下結(jié)論：①；②點(diǎn)E到的距離是；③；④若點(diǎn)P是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為．其中一定成立的是．（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）三、解答題21．先化簡，再求代數(shù)式的值：，其中a＝tan60°﹣2sin30°．22．在平面直角坐標(biāo)系中，的位置如圖所示，每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形．（1）若和關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，畫出；（2）將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的．（3）請(qǐng)直接寫出經(jīng)過點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式．23．跳繩是一項(xiàng)集健身與娛樂為一體的體育活動(dòng)，有利于學(xué)生的身心健康發(fā)展．穎立中學(xué)為了解全校學(xué)生60秒鐘的跳繩次數(shù)，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，并將測(cè)試所得數(shù)據(jù)整理成不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖．A組學(xué)生跳繩次數(shù)（單位：次）如下：65

70

73

80

85

95

96

96

98組別次數(shù)（單位：次）頻數(shù)A組9B組C組12D組3根據(jù)以上信息回答下列問題：（1）在這次調(diào)查中，一共抽取了多少名學(xué)生？（2）A組學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)是_____，的值是_____；（3）若穎立中學(xué)共有1500名學(xué)生，估計(jì)該中學(xué)60秒鐘的跳繩次數(shù)在范圍的學(xué)生有多少名．24．【問題情境】綜合實(shí)踐課上，劉老師讓同學(xué)們根據(jù)下面情境提出問題并解答：如圖①，在等邊三角形內(nèi)部取一點(diǎn)，連接，以為一邊，在的右側(cè)作等邊三角形，連接、，若B、D、E三點(diǎn)恰好在一條直線上．【猜想結(jié)論】（1）“興趣小組”提出的問題如下：①求證：；②探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論_____（不需證明）；【深入探究】（2）“創(chuàng)新小組”在“興趣小組”的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究：如圖②，在等邊三角形的邊的右側(cè)取一點(diǎn)，連接，使，連接交于點(diǎn)，的平分線與交于點(diǎn)，連接．①求的度數(shù)；②直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．25．春浩中學(xué)在校本課程的實(shí)施過程中，計(jì)劃組織學(xué)生編織大、小兩種中國結(jié)．若編織2個(gè)大號(hào)中國結(jié)和3個(gè)小號(hào)中國結(jié)，則需用繩17米；若編織4個(gè)大號(hào)中國結(jié)和5個(gè)小號(hào)中國結(jié)，則需用繩31米．（1）求編織1個(gè)大號(hào)中國結(jié)和1個(gè)小號(hào)中國結(jié)各需用繩多少米；（2）春浩中學(xué)決定編織以上兩種中國結(jié)共50個(gè)，這兩種中國結(jié)所用繩長不超過180米，那么該中學(xué)最多編織多少個(gè)大號(hào)中國結(jié)?26．已知，如圖四邊形內(nèi)接于，連接、，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，過點(diǎn)O作于點(diǎn)H，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接交于點(diǎn)N，過點(diǎn)A作于點(diǎn)，，若，，求的長．27．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖1，連接，點(diǎn)D在第三象限的拋物線上，軸于點(diǎn)F，連接交y軸于點(diǎn)E，求證：；（3）如圖2，在（2）的條件下，與交于點(diǎn)Q，，連接，點(diǎn)G，N分別在，上，連接，，點(diǎn)M在延長線上，，連接交于點(diǎn)H，連接，．將射線繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交延長線于點(diǎn)R，旋轉(zhuǎn)角等于，且，點(diǎn)P在第一象限的拋物線上，連接，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

答案1．【正確答案】B【分析】本題考查了無理數(shù)，算術(shù)平方根，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是整數(shù)和分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)即有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)．根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，可得答案．【詳解】下列實(shí)數(shù)中，是無理數(shù)的是．故選B．2．【正確答案】B【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義和軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．不是軸對(duì)稱圖形但是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；B．既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，符合題意；C．既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；D．是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意．故選B．3．【正確答案】A【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為整數(shù)，當(dāng)原數(shù)大于或等于時(shí)，原數(shù)變?yōu)闀r(shí)，小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)了幾位，的值就是幾，由此即可求解．【詳解】解：，故選A．4．【正確答案】A【分析】根據(jù)從正面所看得到的圖形為主視圖，據(jù)此解答即可．【詳解】解：從正面可發(fā)現(xiàn)有兩層，底層三個(gè)正方形，上層的左邊是一個(gè)正方形．故選A．5．【正確答案】B【分析】本題考查了解分式方程，通過去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解出未知數(shù)后需檢驗(yàn)是否為增根．【詳解】去分母得，，解得：檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，分母，，因此，方程的解為．故選B．6．【正確答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握，對(duì)稱軸為直線，據(jù)此即可解答．【詳解】解：∵，∴對(duì)稱軸為直線，故選A．7．【正確答案】C【分析】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類．通過從一些特殊的圖形變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．通過觀察可知圖1中棋子有個(gè)，圖2中棋子有個(gè)，圖3中棋子有個(gè)，……，由此即可推出圖7中有棋子的個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：圖1中棋子有個(gè)，圖2中棋子有個(gè)，圖3中棋子有個(gè)，……∴圖7中棋子有個(gè)，故選C．8．【正確答案】B【分析】本題考查了線段成比例定理，由線段成比例定理可得，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，故選B．9．【正確答案】D【分析】該題考查了尺規(guī)作圖作線段，菱形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．連接，交于點(diǎn)，由作圖過程可知四邊形為菱形，得出，，，勾股定理求出，得出，即可求解．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，由作圖過程可知，，∴四邊形為菱形，∴，，，在中，由勾股定理得，，∴，∴四邊形的面積為，故選D．10．【正確答案】D【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象：先根據(jù)幾何性質(zhì)得到與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的兩變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)解析式和函數(shù)性質(zhì)畫出其函數(shù)圖象，注意自變量的取值范圍．分類討論：①當(dāng)，即點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上；②當(dāng)，即點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上時(shí)；③，即點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上時(shí)；④當(dāng)，即點(diǎn)在線段上，且與點(diǎn)重合，點(diǎn)在線段上時(shí)；這四種情況下的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行判斷．【詳解】解：矩形中，，，①當(dāng)，即點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，則，此時(shí)該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線在第一象限的部分．故B選項(xiàng)是錯(cuò)誤；②當(dāng)，即點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上時(shí)，，該函數(shù)圖象是隨增大而增大的直線的一部分，故A選項(xiàng)是錯(cuò)誤；③，即點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上時(shí)；，如圖，過點(diǎn)Q作，則，即，∴，此時(shí)該函數(shù)圖象是開口向下的拋物線，故C選項(xiàng)是錯(cuò)誤；④當(dāng)，即點(diǎn)在線段上且與點(diǎn)重合，點(diǎn)在線段上時(shí)，，該函數(shù)圖象是直線的一部分，故D正確；綜上所述，D正確，故選D．11．【正確答案】【分析】本題考查解不等式組，掌握不等式組解集的概念是解題關(guān)鍵．分別求解每個(gè)不等式，然后取它們的公共部分（即交集），即可得到不等式組的解集．【詳解】解：解不等式，得；解不等式，得；所以不等式組的解集為.12．【正確答案】【分析】本題主要考查函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的范圍一般從三個(gè)方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．根據(jù)分式有意義的條件是分母不為0，分析原函數(shù)式可得關(guān)系式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，若函數(shù)有意義，可得，解得．13．【正確答案】【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．本題考查了因式分解，熟練掌握先提取公因式，再套用公式分解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：14．【正確答案】【分析】本題考查列表法或樹狀圖法求概率，概率公式，列表或畫樹狀圖可得出所有等可能的結(jié)果以及這兩人選擇同一部電影的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】解：將《731》，《志愿軍：浴血和平》，《南京照相館》分別記為A，B，C，列表如下：ABCABC由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中兩人選擇同一部電影的有3種結(jié)果，小明和小紅兩位同學(xué)恰好選擇看同一部電影的概率為.15．【正確答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)定理、四邊形內(nèi)角和以及圓周角定理，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)定理可知，利用內(nèi)角和為直接計(jì)算即可．【詳解】解：連接，分別與相切于兩點(diǎn)，，，是四邊形，內(nèi)角和為，，，分別是弧所對(duì)的圓周角和圓心角，．16．【正確答案】【分析】此題考查了扇形面積和弧長公式．先根據(jù)扇形面積公式求出半徑，再代入弧長公式計(jì)算弧長．【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為．由扇形面積公式，代入，，得，即．兩邊除以，得，兩邊乘以3，得，解得（負(fù)值舍去）．由弧長公式，得．故答案為．17．【正確答案】200【分析】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，以及反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，令時(shí)，求的值即可．【詳解】解：設(shè)，在圖象上，，函數(shù)解析式為：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)眼鏡的度數(shù)為200度．18．【正確答案】【分析】根據(jù)新定義列分式方程可得結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，故答案為．19．【正確答案】20或20．【詳解】試題分析：分兩種情形討論①當(dāng)30度角是等腰三角形的頂角，②當(dāng)30度角是底角，①當(dāng)30度角是等腰三角形的頂角時(shí)，如圖1中，當(dāng)∠A=30°，AB=AC時(shí)，設(shè)AB=AC=a，作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，∴BD=AB=a，∴?a?a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰長為邊的正方形的面積為20．②當(dāng)30度角是底角時(shí)，如圖2中，當(dāng)∠ABC=30°，AB=AC時(shí)，作BD⊥CA交CA的延長線于D，設(shè)AB=AC=a，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，∴BD=a，∴?a?a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰長為邊的正方形的面積為20．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．20．【正確答案】①②③④【分析】由菱形的性質(zhì)得到，，即可；過點(diǎn)E作，過點(diǎn)D作，推出，根據(jù)，即可求出點(diǎn)E到的距離是；證明，推出，進(jìn)而得到；連接，證明，推出，當(dāng)三點(diǎn)共線，即兩點(diǎn)重合時(shí)，有最小值，即有最小值，最小值為的長，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，，在與中，，∴，故①正確；過點(diǎn)E作，過點(diǎn)D作，如圖：∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)E到的距離是，故②正確；∵，∴，∴，∴，故③正確；連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線，即兩點(diǎn)重合時(shí)，有最小值，即有最小值，最小值為的長，此時(shí)，，，∴，∴，故④正確；故①②③④．21．【正確答案】，.【分析】根據(jù)分式加減乘除的運(yùn)算法則對(duì)原式進(jìn)行化簡，再算出a的值，代入即可.【詳解】原式＝.當(dāng)a＝tan60°﹣2sin30°＝時(shí)，原式＝．22．【正確答案】（1）見詳解（2）見詳解（3）【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求反比例函數(shù)解析式，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，據(jù)此可得的坐標(biāo)，描出，并順次連接即可；（2）根據(jù)所給旋轉(zhuǎn)方式和網(wǎng)格的特點(diǎn)可得三個(gè)點(diǎn)的位置，描出，并順次連接即可；（3）由（2）可得的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，即為所求；（3）解：由（2）可得，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為，∴，∴，∴經(jīng)過點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為．23．【正確答案】（1）60（2）85，36（3）900【分析】本題主要考查頻率分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖、中位數(shù)，熟練掌握頻率分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖、中位數(shù)是解題的關(guān)鍵；（1）由扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻率分布表可知C組的人數(shù)為12人，所占百分比為，然后問題可求解；（2）根據(jù)中位數(shù)的定義可進(jìn)行求解；（3）由（1）（2）及題意可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：由題意得：（名）．答：一共抽取60名學(xué)生．（2）解：由A組學(xué)生跳繩次數(shù)（單位：次）如下：65、70、73、80、85、95、96、96、98，排在中間位置的數(shù)是85，所以A組學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)是85，；故答案為85，36．（3）解：由題意得：（名）．答：估計(jì)該中學(xué)60秒鐘的跳繩次數(shù)在范圍的學(xué)生有900名．24．【正確答案】（1）①見詳解；②；（2）①；②．【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的定義及性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）①由等邊三角形的性質(zhì)可得，，，再利用“”證明即可；②由全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得解；（2）①由角平分線的定義可得，再證明得出，由等邊三角形的性質(zhì)可得，再由等邊對(duì)等角得出，最后再由三角形外角的定義及性質(zhì)即可得解；②在線段上截取，證明為等邊三角形，得出，，再由等邊三角形的性質(zhì)可得，，從而得出，再證明，得出，即可得證．【詳解】（1）①證明：在等邊三角形內(nèi)部取一點(diǎn)，在的右側(cè)作等邊三角形，，，，∴，即．在和中，，∴．②解：由①可得，∴，∵，∴；（2）解：①的平分線與交于點(diǎn)，．在和中，，∴，，為等邊三角形，，，，，是和的外角，，．②，理由如下：如圖，在線段上截取，，由①可得：，∴為等邊三角形，∴，，∴，∵為等邊三角形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．25．【正確答案】（1）編織1個(gè)大號(hào)中國結(jié)和1個(gè)小號(hào)中國結(jié)各需用繩4米和3米（2）該中學(xué)最多編織30個(gè)大號(hào)中國結(jié)【分析】本題考查“二元一次方程組的應(yīng)用”和“一元一次不等式的應(yīng)用”，理解題意列出方程組和不等式是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)編織1個(gè)大號(hào)中國結(jié)需用繩x米，1個(gè)小號(hào)中國結(jié)需用繩y米，根據(jù)題干條件中的等量關(guān)系列方程組并求解即可；（2）設(shè)編織m個(gè)大號(hào)中國結(jié)，用含m的式子表示編織小號(hào)中國結(jié)的數(shù)量，根據(jù)題干中要求的“所用繩長不超過180米”列不等式并求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)編織1個(gè)大號(hào)中國結(jié)需用繩x米，1個(gè)小號(hào)中國結(jié)需用繩y米，由題意，得解得故編織1個(gè)大號(hào)中國結(jié)和1個(gè)小號(hào)中國結(jié)各需用繩4米和3米；（2）解：設(shè)編織m個(gè)大號(hào)中國結(jié)，則編織個(gè)小號(hào)中國結(jié)，由題意，得，解得，故該中學(xué)最多編織30個(gè)大號(hào)中國結(jié)．26．【正確答案】（1）證明過程見詳解；（2）證明過程見詳解；（3）的長為．【分析】（1）延長，交延長線于點(diǎn)，延長，交于點(diǎn)，連接，則，，可得，由已知可得，等量代換，由三角形的內(nèi)角和定理可得，即可證得結(jié)論；（2）連接，，則，作于點(diǎn)，由垂徑定理可得，，由等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合圓周角定理可得，證明，可得，即可證得結(jié)論；（3）延長，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，，，則，由，可得，從而可得，由銳角三角函數(shù)，結(jié)合已知可得，，由等邊對(duì)等角，結(jié)合已知，