/浙江省杭州市拱墅區(qū)錦繡育才教育集團(tuán)2025?2026學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．下列幾種著名的數(shù)學(xué)曲線中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）A． B． C． D．2．下列各組長(zhǎng)度的線段為邊，能構(gòu)成三角形的是（

）．A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，11 D．6，3，33．已知等腰三角形的一個(gè)外角是，則它的底角度數(shù)是（

）A． B． C．或 D．4．不等式的解集在數(shù)軸上表示為（

）A． B．C． D．5．下列命題中，其逆命題是假命題的是（

）A．若，則B．若，則a與b互為倒數(shù)C．直角三角形兩個(gè)銳角互余D．角平分線上的一點(diǎn)到角的兩邊距離相等6．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)．A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．如圖是一片楓葉標(biāo)本，其形狀呈“掌狀五裂型”，裂片具有少數(shù)突出的齒．將其放在平面直角坐標(biāo)系中，若表示葉片“頂部”A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則葉桿“底部”點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．8．如圖，在中，，，以點(diǎn)A為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)D，連接，再分別以點(diǎn)B，D為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線交于點(diǎn)E，連接，則下列結(jié)論不正確的是（

）

A． B． C． D．垂直平分線段9．勾股定理是人類(lèi)數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．如圖，踏板離地的垂直高度，將它往前推至C處時(shí)（即水平距離），踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長(zhǎng)是（）

A． B． C． D．10．如圖，，點(diǎn)M，N分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，平分，且，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取最小值時(shí)，的長(zhǎng)為（

）A．3 B． C． D．二、填空題11．等腰三角形兩底角相等的逆命題是．12．點(diǎn)在第三象限內(nèi)，則整數(shù)的值為．13．如圖，已知，為的中點(diǎn)，若，，則．14．已知關(guān)于x的不等式組只有四個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍．15．如圖，動(dòng)點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)，第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，……按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過(guò)第110次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．16．如圖，中，，平分，，，則的長(zhǎng)為．三、解答題17．（1）解不等式：；（2）解不等式組18．如圖，是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A在小正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺完成下列畫(huà)圖，不寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡．（1）以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，作，使，，．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，在線段上畫(huà)一點(diǎn)G，使．19．2024年12月26日，我國(guó)一架形似銀杏葉的劃時(shí)代飛行器，在一架殲的伴隨下飛上天空，引爆全網(wǎng)，震驚世界．某商家借助這一熱點(diǎn)，購(gòu)進(jìn)如圖所示的甲、乙兩款玩具戰(zhàn)機(jī)進(jìn)行銷(xiāo)售，兩次進(jìn)貨信息記錄如下（兩次進(jìn)貨單價(jià)分別相同）：甲款數(shù)量/件乙款數(shù)量/件進(jìn)貨總費(fèi)用/元第一次1081200第二次6121080（1）求甲、乙兩款玩具戰(zhàn)機(jī)的進(jìn)貨單價(jià)；（2）由于銷(xiāo)售火爆，該商家決定第三次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩款玩具戰(zhàn)機(jī)共100件，若每件甲款玩具戰(zhàn)機(jī)的售價(jià)為160元，每件乙款玩具戰(zhàn)機(jī)的售價(jià)為110元，且銷(xiāo)售完這100件玩具戰(zhàn)機(jī)所獲得的利潤(rùn)不低于7200元，則商家最少需購(gòu)進(jìn)甲款玩具戰(zhàn)機(jī)多少件？20．已知點(diǎn)，解答下列各題．（1）若點(diǎn)P在y軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，直線軸，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)P在第二象限，且它到x軸、y軸的距離相等，求的值．21．如圖，在中，，是斜邊上的高，角平分線交于點(diǎn)M．（1）求證：是等腰三角形．（2）若，求CM的長(zhǎng)度．22．已知為直角三角形，，作．平分，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)作，且，．（1）求證：；（2）求的長(zhǎng)23．如圖，在中，、分別是邊、上的高線，取的中點(diǎn)為點(diǎn)F，連結(jié)，，取的中點(diǎn)為點(diǎn)G．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求證：是等邊三角形；（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．24．問(wèn)題背景：如圖1，在與中，，，．求證：．類(lèi)比探究：如圖2，在中，，，點(diǎn)D為邊上任意一點(diǎn)（不是中點(diǎn)），求證：．拓展應(yīng)用：如圖3，在四邊形中，，，，，，求的長(zhǎng)．

答案1．【正確答案】A【分析】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的定義，熟記軸對(duì)稱(chēng)的定義是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的定義：如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸；據(jù)此解答即可．【詳解】解：選項(xiàng)中B，C，D均有對(duì)稱(chēng)軸，為軸對(duì)稱(chēng)圖形，A不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故選A2．【正確答案】B【分析】比較三邊中兩較小邊之和與較大邊的大小即可得到解答．【詳解】解：A、1+2=3，不符合題意；B、3+4>5，符合題意；C、4+5<11，不符合題意；D、3+3=6，不符合題意；故選B．3．【正確答案】A【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，分這個(gè)外角是頂角的外角和底角的外角兩種情況討論，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求解即可.【詳解】解：設(shè)底角為，則頂角為．∵若外角是頂角的外角，則頂角的外角等于兩個(gè)底角之和，即，∴．∵若外角是底角的外角，則底角的外角等于頂角與另一個(gè)底角之和，即，∴．此時(shí)三角形兩底角之和為，不符合三角形內(nèi)角和定理，故舍去．∴底角為．故選A4．【正確答案】B【分析】本題考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出不等式的解集．先根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來(lái)即可判定．【詳解】解：∵，∴，在數(shù)軸上表示不等式的解集為：，故選B．5．【正確答案】A【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【詳解】解：A、逆命題是“若，則”，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，可以相等，也可以互為相反數(shù)，故為假命題；B、逆命題是“若與互為倒數(shù)，則”，是真命題；C、逆命題是“兩銳角互余的三角形是直角三角形”，是真命題；D、逆命題是“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”，是真命題．故選A．6．【正確答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、若，則，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意；B、若，則，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C、若，則，這里必須滿(mǎn)足，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；D、若，則，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意；故選C．7．【正確答案】B【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系，再由圖形即可得解，正確建立平面直角坐標(biāo)系是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵表示葉片“頂部”A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，∴建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示：，∴由圖形可得，葉桿“底部”點(diǎn)C的坐標(biāo)為，故選B．8．【正確答案】B【分析】根據(jù)30度所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，得到，根據(jù)作圖可知，，垂直平分，得到，推出，進(jìn)而得到，三線合一，推出垂直平分線段，再根據(jù)30度所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，得到，進(jìn)行判斷即可．【詳解】由作圖可知：，∴垂直平分，又∵點(diǎn)E在上，∴B，故A正確，但不合題意；∵∴，又∴，又∴∵垂直平分，∴是等腰三角形，∴又，∴，∴，故C正確，但不符合題意．由可知，垂直平分線段，故D正確，但不符合題意．由點(diǎn)A在線段的垂直平分線上知，，∴．故B不正確，但符合題意．故選B．9．【正確答案】B【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)的長(zhǎng)為，則，故．在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】由題意可知，，∴．設(shè)的長(zhǎng)為，則，所以．在直角中，，即，解得：．故選B．10．【正確答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，連接，，，分別交、于點(diǎn)、，連接、，則可得；再證明，從而可得出是等邊三角形，由等腰三角形的“三線合一“性質(zhì)可得，求得的值，由，可得的值，設(shè)，則，由勾股定理可得方程，解得x的值，再乘以2即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，連接，，，分別交、、于點(diǎn)、，，連接、，如圖所示：∵點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，∴，，；，，，∴，∴，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)M在點(diǎn)，N在點(diǎn)時(shí)，最小，即的周長(zhǎng)最小，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵平分，∴，∴，，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得，∴，同理：，∴，即當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取最小值時(shí)，的長(zhǎng)為．故選B．11．【正確答案】如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形【分析】本題主要考查了一個(gè)命題的逆命題，命題中有題設(shè)和結(jié)論，將題設(shè)和結(jié)論互換一下，就可以得到原命題的逆命題．【詳解】解：等腰三角形兩底角相等的逆命題是，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.12．【正確答案】2【分析】本題考查了點(diǎn)所在的象限、一元一次不等式組的應(yīng)用，熟練掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的特征是解題關(guān)鍵．根據(jù)第三象限內(nèi)的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均小于0建立不等式組，解不等式組即可得．【詳解】解：∵點(diǎn)在第三象限內(nèi)，∴，解得，則整數(shù)的值為2.13．【正確答案】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)，最后由線段和差即可求出的長(zhǎng)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∴.14．【正確答案】【分析】本題考查的是根據(jù)不等式組的整數(shù)解求解參數(shù)的取值范圍，先求出不等式組的解集，再根據(jù)只有四個(gè)整數(shù)解的條件確定a的取值范圍．【詳解】解：∵，由①得：；由②得：，即．∴不等式組的解集為．由于只有四個(gè)整數(shù)解，且，因此整數(shù)解為1，0，，．為確保解集包含但不包含，∴．15．【正確答案】/【分析】本題考查了兩點(diǎn)之間的距離公式、實(shí)數(shù)的加法，正確歸納類(lèi)推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．先求出動(dòng)點(diǎn)第次運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)，再歸納類(lèi)推出一般規(guī)律，由此即可得．【詳解】解：動(dòng)點(diǎn)第1次運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)第2次運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)第3次運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)第4次運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，則動(dòng)點(diǎn)第次運(yùn)動(dòng)的路徑總長(zhǎng)為，觀察可知，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是以為一個(gè)循環(huán)往復(fù)的，∵，∴經(jīng)過(guò)第110次運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為.16．【正確答案】【分析】本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，先求出的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，∵平分，∴，∵在中，，，，∴，∴，∵，，∴，即，解得，又∵平分，，∴，∴在中，.17．【正確答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式和一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．（1）先去括號(hào)，再移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)，即可求解．（2）分別求出兩個(gè)不等式的解集，即可求解．【詳解】解：（1），去括號(hào)得：，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得：，解得：；（2），解不等式①得：，解不等式②得：，所以不等式組的解集為．18．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）見(jiàn)詳解【分析】題目主要考查勾股定理與網(wǎng)格，理解題意，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，利用網(wǎng)格作三角形即可；（2）利用網(wǎng)格作出等腰直角三角形即可【詳解】（1）解：如圖1所示：即為所求作；；（2）如圖2，點(diǎn)G即為所求，；∴，∴為等腰直角三角形，∴．19．【正確答案】（1）甲款玩具戰(zhàn)機(jī)的進(jìn)貨單價(jià)為80元，乙款玩具戰(zhàn)機(jī)的進(jìn)貨單價(jià)為50元；（2）商家最少需購(gòu)進(jìn)甲款玩具戰(zhàn)機(jī)60件．【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于理解題意，找出等量關(guān)系，列出方程組或不等式，然后求解．（1）設(shè)甲款玩具戰(zhàn)機(jī)的進(jìn)貨單價(jià)為元，乙款玩具戰(zhàn)機(jī)的進(jìn)貨單價(jià)為元，列出方程組然后求解即可；（2）設(shè)商家購(gòu)進(jìn)甲款玩具戰(zhàn)機(jī)件，則購(gòu)進(jìn)乙款玩具戰(zhàn)機(jī)件，列出不等式然后求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)甲款玩具戰(zhàn)機(jī)的進(jìn)貨單價(jià)為元，乙款玩具戰(zhàn)機(jī)的進(jìn)貨單價(jià)為元。根據(jù)題意，得：，解得；答：甲款玩具戰(zhàn)機(jī)的進(jìn)貨單價(jià)為80元，乙款玩具戰(zhàn)機(jī)的進(jìn)貨單價(jià)為50元．（2）解：設(shè)商家購(gòu)進(jìn)甲款玩具戰(zhàn)機(jī)件，則購(gòu)進(jìn)乙款玩具戰(zhàn)機(jī)件，根據(jù)題意，得：，解得；答：商家最少需購(gòu)進(jìn)甲款玩具戰(zhàn)機(jī)60件．20．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟知坐標(biāo)軸上的點(diǎn)及平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)在y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，得到，解出的值，由此得到答案．（2）根據(jù)直線軸，得到，解出的值，由此得到答案．（3）根據(jù)點(diǎn)在第二象限，且它到軸、軸的距離相等，得到與互為相反數(shù)，故，解出的值，由此得到答案．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在軸上，∴，解得，∴，∴．（2）解：∵直線軸，∴，解得，∴，∴．（3）解：∵點(diǎn)在第二象限，且它到軸、軸的距離相等，∴，解得，此時(shí)點(diǎn)，∴．21．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）3【分析】（1）根據(jù)角平分線平分角，對(duì)頂角相等，以及等角的余角相等，推出，進(jìn)而得到，即可得證；（2）作于點(diǎn)F，角平分線的性質(zhì)得到，勾股定理求出的長(zhǎng)，等積法求出的長(zhǎng)，即可．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）作于點(diǎn)F，如圖所示，∵，平分，∴，∵，∴，∵，∴，即，解得，由（1）知：，∴，即的長(zhǎng)度為3．22．【正確答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)詳解（2）【分析】（1）根據(jù)，可得，根據(jù)角平分線和垂直的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)可證，如圖所示，連接，可證，由此可得，在中，運(yùn)用勾股定理可得，由此即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，即，∴，∵平分，∴，且，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，如圖所示，連接，∵是等腰三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，即，∵，∴，∴，∴，在中，且，，∴，∴．23．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解；（3）．【分析】（1）根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等