無約束最優(yōu)化數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)/sundae_meng實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)內(nèi)容2.掌握用數(shù)學(xué)軟件包求解無約束最優(yōu)化問題.1.無約束最優(yōu)化基本算法.1.無約束優(yōu)化基本思想及基本算法.4.實(shí)驗(yàn)作業(yè).3.用MATLAB求解無約束優(yōu)化問題.2.MATLAB優(yōu)化工具箱簡介./sundae_meng

無約束最優(yōu)化問題求解無約束最優(yōu)化問題的的基本思想*無約束最優(yōu)化問題的基本算法返回/sundae_meng標(biāo)準(zhǔn)形式：求解無約束最優(yōu)化問題的基本思想求解的基本思想(以二元函數(shù)為例)531連續(xù)可微/sundae_meng/sundae_meng多局部極小

唯一極小(全局極小)/sundae_meng搜索過程最優(yōu)點(diǎn)(11)初始點(diǎn)(-11)-114.00-0.790.583.39-0.530.232.60-0.180.001.500.09-0.030.980.370.110.470.590.330.200.800.630.050.950.900.0030.990.991E-40.9990.9981E-50.99970.99981E-8返回/sundae_meng無約束優(yōu)化問題的基本算法

最速下降法是一種最基本的算法，它在最優(yōu)化方法中占有重要地位.最速下降法的優(yōu)點(diǎn)是工作量小，存儲(chǔ)變量較少,初始點(diǎn)要求不高；缺點(diǎn)是收斂慢，最速下降法適用于尋優(yōu)過程的前期迭代或作為間插步驟，當(dāng)接近極值點(diǎn)時(shí)，宜選用別種收斂快的算法.

1．最速下降法（共軛梯度法）算法步驟：/sundae_meng2．牛頓法算法步驟：

如果f是對(duì)稱正定矩陣A的二次函數(shù)，則用牛頓法，經(jīng)過一次迭代就可達(dá)到最優(yōu)點(diǎn),如不是二次函數(shù)，則牛頓法不能一步達(dá)到極值點(diǎn)，但由于這種函數(shù)在極值點(diǎn)附近和二次函數(shù)很近似,因此牛頓法的收斂速度還是很快的.

牛頓法的收斂速度雖然較快，但要求黑塞矩陣可逆，要計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)和逆矩陣，就加大了計(jì)算機(jī)的計(jì)算量和存儲(chǔ)量./sundae_meng3．?dāng)M牛頓法/sundae_meng/sundae_meng返回/sundae_mengMATLAB優(yōu)化工具箱簡介1.MATLAB求解優(yōu)化問題的主要函數(shù)/sundae_meng2.優(yōu)化函數(shù)的輸入變量

使用優(yōu)化函數(shù)或優(yōu)化工具箱中其他優(yōu)化函數(shù)時(shí),輸入變量見下表:/sundae_meng3.優(yōu)化函數(shù)的輸出變量見下表:/sundae_meng4．控制參數(shù)選項(xiàng)的設(shè)置(3)MaxIter:允許進(jìn)行迭代的最大次數(shù),取值為正整數(shù).選項(xiàng)中常用的幾個(gè)參數(shù)的名稱、含義、取值如下:(1) 陳列:顯示水平.取值為'off'時(shí),不顯示輸出;取值為'iter'時(shí),顯示每次迭代的信息;取值為'final'時(shí),顯示最終結(jié)果.默認(rèn)值為'final'.(2) MaxFunEvals:允許進(jìn)行函數(shù)評(píng)價(jià)的最大次數(shù),取值為正整數(shù)./sundae_meng例：opts=optimset('Display','iter','TolFun',1e-8)

該語句創(chuàng)建一個(gè)稱為選擇的優(yōu)化選項(xiàng)結(jié)構(gòu),其中顯示參數(shù)設(shè)為'iter',TolFun參數(shù)設(shè)為1e-8.

控制參數(shù)選項(xiàng)可以通過函數(shù)optimset創(chuàng)建或修改.命令的格式如下：(1)options=optimset('optimfun')

創(chuàng)建一個(gè)含有所有參數(shù)名,并與優(yōu)化函數(shù)optimfun相關(guān)的默認(rèn)值的選項(xiàng)結(jié)構(gòu).（2）options=optimset('param1',value1,'param2',value2,...)

創(chuàng)建一個(gè)名稱為選項(xiàng)的優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù),其中指定的參數(shù)具有指定值,所有未指定的參數(shù)取默認(rèn)值.(3)options=optimset(oldops,'param1',value1,'param2',value2,...)

創(chuàng)建名稱為oldops的參數(shù)的拷貝,用指定的參數(shù)值修改oldops中相應(yīng)的參數(shù).返回/sundae_meng用MATLAB解無約束優(yōu)化問題

其中等式（3）、（4）、（5）的右邊可選用（1）或（2）的等式右邊.

函數(shù)fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解.

常用格式如下：（1）x=fminbnd(fun,x1,x2)（2）x=fminbnd(fun,x1,x2，options)（3）[x，fval]=fminbnd（…）（4）[x，fval，exitflag]=fminbnd（…）（5）[x，fval，exitflag，output]=fminbnd（…）/sundae_mengMATLAB(wliti1)

主程序?yàn)閣liti1.m:

f='2*exp(-x).*sin(x)';fplot(f,[0,8]);%作圖語句

[xmin,ymin]=fminbnd(f,0,8)f1='-2*exp(-x).*sin

(x)';[xmax,ymax]=fminbnd(f1,0,8)/sundae_meng例2有邊長為3m的正方形鐵板，在四個(gè)角剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？解先編寫M文件fun0.m如下:

function

f=fun0(x)f=-(3-2*x).^2*x;主程序?yàn)閣liti2.m:

[x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5);xmax=xfmax=-fval運(yùn)算結(jié)果為:xmax=0.5000,fmax=2.0000.即剪掉的正方形的邊長為0.5m時(shí)水槽的容積最大,最大容積為2m3.MATLAB(wliti2)/sundae_meng

命令格式為:（1）x=fminunc（fun,X0）；或x=fminsearch（fun,X0）（2）x=fminunc（fun,X0，options）；或x=fminsearch（fun,X0，options）（3）[x，fval]=fminunc（...）；或[x，fval]=fminsearch（...）（4）[x，fval，exitflag]=fminunc（...）；或[x，fval，exitflag]=fminsearch（5）[x，fval，exitflag，output]=fminunc（...）；或[x，fval，exitflag，output]=fminsearch（...）2.多元函數(shù)無約束優(yōu)化問題標(biāo)準(zhǔn)型為：min/sundae_meng[3]fminunc為中型優(yōu)化算法的步長一維搜索提供了兩種算法，由選項(xiàng)中參數(shù)LineSearchType控制：

LineSearchType=‘quadcubic’(缺省值)，混合的二次和三次多項(xiàng)式插值；

LineSearchType='cubicpoly'，三次多項(xiàng)式插使用fminunc和fminsearch可能會(huì)得到局部最優(yōu)解.說明:fminsearch是用單純形法尋優(yōu).fminunc算法見以下幾點(diǎn)說明：[1]fminunc為無約束優(yōu)化提供了大型優(yōu)化和中型優(yōu)化算法.由選項(xiàng)中的參數(shù)LargeScale控制：LargeScale=‘on'(默認(rèn)值),使用大型算法LargeScale=‘off'(默認(rèn)值),使用中型算法[2]fminunc為中型優(yōu)化算法的搜索方向提供了4種算法，由

選項(xiàng)中的參數(shù)HessUpdate控制：

HessUpdate='bfgs'（默認(rèn)值），擬牛頓法的BFGS公式；HessUpdate='dfp'，擬牛頓法的DFP公式；HessUpdate='steepdesc'，最速下降法/sundae_meng例3minMATLAB(wliti3)1.編寫M文件

fun1.m:function

f=fun1(x)f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);

2.輸入M文件wliti3.m如下:

x0=[-1,1];x=fminunc('fun1',x0);y=fun1(x)

3.運(yùn)行結(jié)果:

x=0.5000-1.0000y=1.3029e-10/sundae_mengMATLAB(wliti31)MATLAB(wliti32)/sundae_meng3.用fminsearch函數(shù)求解MATLAB(wliti41)輸入命令:

f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2';[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f,[-1.22])運(yùn)行結(jié)果:

x=1.00001.0000fval=1.9151e-010exitflag=1output=iterations:108funcCount:202algorthm:'Nelder-Meadsimplexdirectsearch

'/sundae_meng4.用fminunc

函數(shù)MATLAB(wliti44)(1)建立M文件fun2.m

function

f=fun2(x)

f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2(2)主程序wliti44.m/sundae_meng

Rosenbrock函數(shù)不同算法的計(jì)算結(jié)果可以看出，最速下降法的結(jié)果最差.因?yàn)樽钏傧陆捣ㄌ貏e不適合于從一狹長通道到達(dá)最優(yōu)解的情況./sundae_meng例5產(chǎn)銷量的最佳安排

某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品有甲、乙兩個(gè)牌號(hào)，討論在產(chǎn)銷平衡的情況下如何確定各自的產(chǎn)量，使總利潤最大.所謂產(chǎn)銷平衡指工廠的產(chǎn)量等于市場上的銷量./sundae_meng基本假設(shè)1．價(jià)格與銷量成線性關(guān)系2．成本與產(chǎn)量成負(fù)指數(shù)關(guān)系/sundae_meng

模型建立

若根據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),求出系數(shù)b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20,r2=100,λ2=0.02,c2=30,則問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題：求甲,乙兩個(gè)牌號(hào)的產(chǎn)量x1，x2，使總利潤z最大.

為簡化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,問題轉(zhuǎn)化求z1=(b1-a11x1)x1+(b2-a22x2)x2的極值.顯然其解為x1=b1/2a11=50,x2=b2/2a22=70,我們把它作為原問題的初始值.總利潤為：z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2/sundae_meng

模型求解1.建立M文件fun.m:

function

f=fun

(x)

y1=((100-x(1)-0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1);y2=((280-0.2*x(1)-2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2);