【小初高+大學(xué)+考研考證公考免費(fèi)資源公眾號(hào)：學(xué)霸點(diǎn)睛資料】第03講函數(shù)及其表示【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析【課標(biāo)解讀】1．了解函數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的函數(shù)的定義域和值域.2．理解函數(shù)的三種表示法：解析法、圖象法和列表法.3．了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，會(huì)用分段函數(shù)解決簡(jiǎn)單的問題.【備考策略】1．理解函數(shù)的概念、函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)的表示方法；2．以分段函數(shù)為背景考查函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)問題.【核心知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)1．函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A．知識(shí)點(diǎn)2．函數(shù)的定義域、值域(1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)3．函數(shù)的表示方法(1)用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法叫做解析法．(2)用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法叫做圖象法．(3)列出表格表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法叫做列表法．知識(shí)點(diǎn)4．函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域．(2)兩個(gè)函數(shù)相等：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱這兩個(gè)函數(shù)相等．知識(shí)點(diǎn)5．分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)6．復(fù)合函數(shù)一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的外層函數(shù)，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的內(nèi)層函數(shù)．【高頻考點(diǎn)】高頻考點(diǎn)一求函數(shù)的定義域例1.（2025·北京卷）函數(shù)的定義域是____________．【答案】(0，＋∞)【解析】要使函數(shù)有意義，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,x>0，))即x>0，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．【方法技巧】1.已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運(yùn)算構(gòu)成的，則它的定義域?yàn)楦骰境醯群瘮?shù)的定義域的交集．(2)復(fù)合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對(duì)應(yīng)的內(nèi)層函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可．2．抽象函數(shù)的定義域的求法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域．【舉一反三】（2025·安徽省巢湖市四中模擬）函數(shù)y＝eq\r(1－x2)＋log2(tanx－1)的定義域?yàn)開_______；【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1)).【解析】(1)要使函數(shù)y＝eq\r(1－x2)＋log2(tanx－1)有意義，則1－x2≥0，tanx－1>0，且x≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z).∴－1≤x≤1且eq\f(π,4)＋kπ<x<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，可得eq\f(π,4)<x≤1.則函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1)).【變式探究】（2019·江蘇卷）函數(shù)的定義域是.【答案】[-1,7]【解析】由題意得到關(guān)于x的不等式，解不等式可得函數(shù)的定義域.由已知得,即，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,7].高頻考點(diǎn)二求函數(shù)的解析式例2.（2025·福建省廈門市一中模擬）已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))＝4x＋3，則f(x)的解析式為________．【答案】f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1【解析】設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))故f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1.【方法技巧】函數(shù)解析式的常見求法(1)配湊法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)的問題，往往把右邊的g(x)整理或配湊成只含h(x)的式子，然后用x將h(x)代換．(2)待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法，比如二次函數(shù)f(x)可設(shè)為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c是待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出a，b，c即可．(3)換元法：已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)時(shí)，往往可設(shè)h(x)＝t，從中解出x，代入g(x)進(jìn)行換元．應(yīng)用換元法時(shí)要注意新元的取值范圍．(4)解方程組法：已知f(x)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))(或f(－x))等，可根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．【舉一反三】（2025·江西省廬山中學(xué)模擬）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1，則f(x)＝________.【答案】eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3)【解析】在f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1中，將x換成eq\f(1,x)，則eq\f(1,x)換成x，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f(x)·eq\r(\f(1,x))－1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(x)＝2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·\r(x)－1，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f(x)·\r(\f(1,x))－1，))解得f(x)＝eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3).【變式探究】（2025·河北衡水模擬）已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝eq\f(x2＋1,x2)＋eq\f(1,x)，則f(x)＝()A．(x＋1)2 B．(x－1)2C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1【答案】C【解析】feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,x)))＝eq\f(x2＋1,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x)))eq\s\up8(2)－eq\f(x＋1,x)＋1.令eq\f(x＋1,x)＝t，得f(t)＝t2－t＋1，即f(x)＝x2－x＋1.高頻考點(diǎn)三分段函數(shù)求值例3.（2025·山東省曲阜一中模擬）設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x2－1，x>1，,2x＋1－1，x≤1，))則f(f(1))的值為()A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】因?yàn)閒(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x2－1，x>1，,2x＋1－1，x≤1，))所以f(1)＝22－1＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝log28＝3.故選B．【方法技巧】(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式求值．(2)當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(3)當(dāng)自變量的值所在區(qū)間不確定時(shí)，要分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)參照分段函數(shù)不同段的端點(diǎn)。【變式探究】（2025·河南省安陽(yáng)市二中模擬）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log5x，x＞0，,2x，x≤0，))則feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)))))等于()A．4 B.eq\f(1,4)C．－4 D．－eq\f(1,4)【答案】B【解析】feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)))＝log5eq\f(1,25)＝－2，feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)))))＝f(－2)＝eq\f(1,4).高頻考點(diǎn)四已知函數(shù)值求參數(shù)的值(或取值范圍)例4．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))則滿足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范圍是()A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)C．(－1,0) D．(－∞，0)【答案】D【解析】將函數(shù)f(x)的圖象畫出來(lái)，觀察圖象可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x<0，,2x<x＋1，))解得x<0，所以滿足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范圍是(－∞，0)．故選D.【方法技巧】解分段函數(shù)與方程或不等式問題的策略求解與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式問題，主要表現(xiàn)為解方程或不等式．應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解．若自變量取值不確定，則要分類討論求解；若自變量取值確定，則只需依據(jù)自變量的情況直接代入相應(yīng)的解析式求解．解得值(范圍)后一定要檢驗(yàn)是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍．【舉一反三】（2025·湖北大學(xué)附屬中學(xué)模擬）設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2，x＜1，,4－\r(x－1)，x≥1，))則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為________________．【答案】(－∞，－2]∪[0，10]【解析】因?yàn)閒(x)是分段函數(shù)，所以f(x)≥1應(yīng)分段求解．當(dāng)x＜1時(shí)，f(x)≥1?(x＋1)2≥1?x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x＜1.當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≥1?4－eq\r(x－1)≥1，即eq\r(x－1)≤3，所以1≤x≤10.綜上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0，10]．【變式探究】（2025·湖南省岳陽(yáng)市一中模擬）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≥0，,－3x，x<0.))若f(a)－f(－a)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】(－2,0)∪(2，＋∞)【解析】當(dāng)a＝0時(shí)，顯然不成立．當(dāng)a>0時(shí)，不等式f(a)－f(－a)>0可化為a2＋a－3a>0，解得a>2.當(dāng)a<0時(shí)，不等式f(a)－f(－a)>0可化為－a2－2a>0，解得－2<a<0.綜上所述，a的取值范圍為(－2,0)∪(2，＋∞)．高頻考點(diǎn)五函數(shù)的新定義問題例5.（2025·廣東省深圳市觀瀾中學(xué)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，若函數(shù)f(x)的圖象恰好經(jīng)過n(n∈N*)個(gè)整點(diǎn)，則稱函數(shù)f(x)為n階整點(diǎn)函數(shù)．給出下列函數(shù)：①f(x)＝sin2x； ②g(x)＝x3；③h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)； ④φ(x)＝lnx.其中是一階整點(diǎn)函數(shù)的是()A．①②③④ B．①③④C．①④ D．④【答案】C【解析】對(duì)于函數(shù)f(x)＝sin2x，它的圖象(圖略)只經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)(0，0)，所以它是一階整點(diǎn)函數(shù)，排除D；對(duì)于函數(shù)g(x)＝x3，它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(diǎn)(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一階整點(diǎn)函數(shù)，排除A；對(duì)于函數(shù)h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，它的圖象(圖略)經(jīng)過整點(diǎn)(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一階整點(diǎn)函數(shù)，排除B.故選C.【感悟提升】本題意在考查考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)．破解新定義函數(shù)題的關(guān)鍵是：緊扣新定義的函數(shù)的含義，學(xué)會(huì)語(yǔ)言的翻譯、新舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，便可使問題順利獲解．如本例，若能把新定義的一階整點(diǎn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的圖象恰好經(jīng)過1個(gè)整點(diǎn)，問題便迎刃而解．【變式探究】（2025·四川省綿陽(yáng)中學(xué)模擬）若定義