初中數(shù)學(xué)人教版(2024)八年級(jí)下冊(cè)第二十一章四邊形21.2

平行四邊形21.2.3

三角形的中位線學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解三角形中位線的概念，掌握三角形的中位線定理.

(重點(diǎn))2.能利用三角形的中位線定理解決有關(guān)證明和計(jì)算問題.

(難點(diǎn))有一塊三角形蛋糕，準(zhǔn)備平分給四個(gè)小朋友，要求四人所分的形狀大小相同，該怎樣分呢?問題1

(1)什么叫三角形的中線?一個(gè)三角形有幾條中線?提示連接三角形的頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中線.一個(gè)三角形有3條中線.(2)三角形的中線有哪些性質(zhì)?提示

①三角形的每一條中線把三角形的面積平分.②三角形的中線相交于同一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫作三角形的重心.

…(3)連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段有幾條?和中線一樣嗎?提示

有三條，兩者不一樣.如圖

，D,E分別是△ABC的邊AB,AC的中點(diǎn).求

證

：DE//BC,且DE=BC(用兩種方法證明)你還有B

C提示

方法一

如圖，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F,

使EF=DE,連接FC,DC,AF.∵AE=EC,DE=EF,∴四邊形ADCF是平行四邊形，∴CF//DA,CF=DA,∴CF//BD,CF=BD,∴四邊形DBCF是平行四邊形，∴DF//BC,DF=BC.又∵∴DE//BC,

且

方法二

如圖，延長(zhǎng)

DE

到點(diǎn)

F,

使

EF=DE,

連接

FC.∵AE=CE,∠AED=∠CEF,DE=FE,∴△ADE≌△CFE(SAS),∴AD=CF,∠ADE=∠F,∴AD//CF,∴BD//CF,∵AD=BD∴BD=CF,∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴DF//BC,DF=BC.又∵

G∴DE//BC,且

知識(shí)梳理1

.三角形中位線定義：如圖，在△ABC中，D,E分別是邊AB,AC

的中點(diǎn)，連接DE.像DE這樣，連接三角形

兩邊中點(diǎn)

的線段叫作BLC三角形的中位線.2.三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一

半幾何語言：∵DE是△ABC

的中位線，∴DE//BC,

且

知識(shí)梳理注意點(diǎn)：(1)中位線DE,EF,DF

把△ABC分成四個(gè)全等的三角形，有三組共邊的平行四邊形，它們是四邊形ADFE和BDEF,四邊形BFED和

CFDE,

四邊形ADFE和DFCE.(2)頂點(diǎn)是中點(diǎn)的三角形，我們稱之為中點(diǎn)三角形.中點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)是原

三角形的周長(zhǎng)的一半.面積等于原三角形面積的四分之一.F例1

如圖，在△ABC

中

，D,E

分別為AC,BC

的中點(diǎn)，AF平分∠CAB,交DE于點(diǎn)F.若DF=3,求AC的長(zhǎng).解

∵D,E

分別是AC,BC

的中點(diǎn)，∴DE//AB,∴∠DFA=∠FAB.∵AF平分∠CAB,∴∠FAB=∠DAF,∴∠DFA=∠DAF,∴DA=DF.∴AC=2DA=2DF=2×3=6.跟蹤訓(xùn)練1

(1)三角形各邊的長(zhǎng)分別為6cm,10cm

和12cm,連接各邊中點(diǎn)所成三角形的周長(zhǎng)是14

cm.(2)如圖，在△ABC中，D,E分別是AB,AC

的中點(diǎn).①若

DE=5,

則BC=

10;解析

∵D,E

分別是AB,AC的中點(diǎn)，∵DE=5,∴BC=2DE=2×5=10.。(2)如圖，在△ABC中，D,E分別是AB,AC

的中點(diǎn).②若∠B=65°,

則∠ADE=

65°;解析

∵D,E

分別是AB,AC

的中點(diǎn)，∴DE//BC,∴∠ADE=∠B=65°.(2)如圖，在△ABC

中，D,E分別是AB,AC

的中點(diǎn).③若DE+BC=12,

則BC=

8.解析

∵D,E

分別是AB,AC

的中點(diǎn)，設(shè)DE=x,

則BC=2x,根據(jù)題意得x+2x=12,

解得x=4,∴BC=2×4=8.。三角形的中位線與平行四邊形的綜例2

如

圖

，E,F,G,H分別為四邊形ABCD各邊的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH是平行四邊形.證明如圖，連接BD.∵E,H

分別是AB,AD

的中點(diǎn)，∴EH//BD,同理FG//BD,∴EH//FG,EH=FG,∴四邊形EFGH是平行四邊形.

G5

反思感悟順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形.跟蹤訓(xùn)練2

如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)是2,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F,使,

連

接CD和EF.(1)求證：DE=CF;證明

∵D,E

分別為AB,AC

的中點(diǎn)，∴DE為△ABC

的中位線，∴DE=CF.∴DE//BC,●●·5跟蹤訓(xùn)練2

如圖，等邊△ABC

的邊長(zhǎng)是2,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F,使,

連

接CD和EF.(2)求EF

的長(zhǎng).解

∵DE//CF,DE=CF,∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴DC=EF,∵D為AB的中點(diǎn)，等邊△ABC的邊長(zhǎng)是2,∴AD=BD=1,CDLAB,BC=2,∴EF=DC=√3.

課堂小結(jié)三角形的中位線三角形的中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且

等于它的一半三角形的中位線與平行四邊形的綜合運(yùn)用課堂練習(xí)1.如圖，小張想估測(cè)被池塘隔開的A,B

兩處景觀之間的距離，他先在AB

外取一點(diǎn)C,

然后步測(cè)出AC,BC

的中點(diǎn)D,E,

并步測(cè)出DE的長(zhǎng)約為18m,

由此估測(cè)A,B之間的距離為A.18m

B.24

m

C.36m

D.54

m解析

∵D,E

分別是AC,BC

的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線.∴根據(jù)三角形的中位線定理，得AB=2DE=36(m).課堂練習(xí)2.如圖，在△ABC中

，AB=6,AC=10,點(diǎn)D,E,F分別是AB,BC,AC的中點(diǎn)，則四邊形ADEF的周長(zhǎng)為課堂練習(xí)3.如圖，點(diǎn)D,E,F分別是△ABC的三邊AB,BC,AC的中點(diǎn).①若∠ADF=50°,

則∠B=50°;解析

∵點(diǎn)D,F分別是△ABC的兩邊AB,AC的中點(diǎn)，∴DF是△ABC的中位線，∴DF//BC,∴∠B=∠ADF,∵∠ADF=50°,∴∠B=50°.課堂練習(xí)3.如圖，點(diǎn)D,E,F分別是△ABC的三邊AB,BC,AC

的中點(diǎn).(2)已知三邊AB,BC,AC

的長(zhǎng)分別為12,10,8,則△DEF

的

周長(zhǎng)為

15解析∵點(diǎn)D,E,F分別是△ABC的三邊AB,BC,AC的中點(diǎn)，∴DF,DE,EF都是△ABC的中位線，∴∴△DEF

的周長(zhǎng)為DF+DE+EF=15.∵AB=12,BC=10,AC=8,E。課堂練習(xí)4.

(課本P65練習(xí)第2題)如圖，△ABC的中線BD,CE

相交于點(diǎn)O,

且F,G分別是OB,OC的中點(diǎn).求證：