4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(第三課時(shí))數(shù)列求和拼搏、奮斗、持之以恒人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列1.已知an=(-1)”,數(shù)列{a,}的前n項(xiàng)和為S,則

S?與S??的值分別是(

)A.1,1

B.-1,-1

C.

1,0

D.-1,02.已知數(shù)列{a,}

滿足an=n2+2n,

則數(shù)列

的前n項(xiàng)和為

B.

D.

3.對(duì)于兩個(gè)等差數(shù)列{a?}

和

,若a?+b10=100,b?+a100=100,則數(shù)列{an+bn}的前100項(xiàng)之和S100=

拼搏、奮斗、持之以恒

檢查預(yù)習(xí)人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列(2)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式：(1)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：

引入課題1.公式法求和：人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒2.分組法求和：有些數(shù)列，通過(guò)適當(dāng)分組，可把它拆分成等差數(shù)列

和等比數(shù)列求和，例如3.裂項(xiàng)相消法求和：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)，中間的一些

項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.

引入課題人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒例

如如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列

的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么可以在求和式子的左、右兩邊同

乘等比數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減，使其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的

求和問(wèn)題.例加

4.錯(cuò)位相減法求和：

引入課題人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒5.倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}的

前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.6.并項(xiàng)求和法：在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可每?jī)身?xiàng)或幾項(xiàng)結(jié)合求解，即稱

之為并項(xiàng)求和.形如a=(-1)"f(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.例如

，S?=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050

引入課題人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒【思考】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是否可以為0?可以

.例如數(shù)列{(-1)“},

n∈N*,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，其前n

項(xiàng)和S。為0

.

引入課題人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒解：(1)當(dāng)n=1時(shí)

，a?=S?=1;當(dāng)n≥2

時(shí)，a

也滿足a?=n,故數(shù)列{a}

的通項(xiàng)公式為a=n.探究1分組轉(zhuǎn)化法求和：1.

已知數(shù)列{a,}

的

前n

項(xiàng)和，,neN'(1)求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)b=2”+(-1)"an,求數(shù)列{bn}的

前

2n項(xiàng)和

.拼搏、奮斗、持之以恒

合作探究人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列1.已知數(shù)列{a}

的

前n項(xiàng)

和

,neN(1)求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)b,=2”+(-1)"an,求數(shù)

列

的前2n項(xiàng)

和.(2)由(1)知a?=n,故

b,=2”+(-1)"n.記數(shù)列

的前2n

項(xiàng)和為T(mén)?n,則Tn=(21+22+…+22”)+(-1+2-3+4-…+2n).記A=21+22+…+22”,B=-1+2-3+4-…+2n,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.故數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T?n=A+B=227+1+n-2.拼搏、奮斗、持之以恒探究1分組轉(zhuǎn)化法求和：

合作探究人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列則深化拓展分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類型：(1)若a?=b

?！纁,且{b?

、{c}為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求{an3的

前n

項(xiàng)和.(2)通項(xiàng)公式為為奇數(shù)為偶數(shù)

的數(shù)列，其中數(shù)列

、{cn}

是等比

數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和.拼搏、奮斗、持之以恒

合作探究人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列(1)解析：S?040=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2039+2040)=1020(2)已知數(shù)列

的首項(xiàng)a=3,通項(xiàng)an=2”p+nq(n∈N,p,q為常數(shù)),且a?,

a?,as

成等差數(shù)列.①求p,q

的值；②求數(shù)列{an}前n

項(xiàng)和S的公式.(1)數(shù)列{(-1)"n}的前n

項(xiàng)和為S

。,

則S2040等于

(

A

)A.1020

B.-1020

C.2040D.-2040拼搏、奮斗、持之以恒

牛刀小試人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列(2)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a?=3,

通項(xiàng)a?=2"p+nq(n∈N,p,q為常數(shù)),且a?,

a?,as

成等差數(shù)列.①求p,q

的值；②求數(shù)列{a}

前n項(xiàng)和S的公式.(2)解：①由a?=3,

得

2p+q=3.

又a?=2?p+4q,a?=2?p+5q,且a?+a?=2a?,

得3+2?p+5q=2?p+8q,解得p=1,q=1.②由①知，a?=2"+n,

牛刀小試人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒已

知

函

數(shù)f(x)=x

的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2),令

前n項(xiàng)和為Sn,則

S?9=

解析：由f(4)=2,

可得4“=2,解得

則

S?99=a?+a?+a?+…+a?=(√2-1)+(√3-√2)+(√4-√3)+…+(√499-√498)+(√500-√499)=

√500-1=30

√5-1拼搏、奮斗、持之以恒

合作探究裂項(xiàng)相消法求和：1.

形

如

型人教A版選擇性必修二第四章數(shù)列已知等差數(shù)列{an}滿

足an+1+n=2a+1.(1)求{a,}的通項(xiàng)公式；(2)記S,為{a,}

的

前n

項(xiàng)和，求數(shù)列的前n

項(xiàng)和Tn.拼搏、奮斗、持之以恒裂項(xiàng)相消法求和：形如

型

合作探究人教A

版選擇性必修二第四章

數(shù)

列解

：(1)由已知{an}為等差數(shù)列，記其公差為d.①

當(dāng)n≥2時(shí)，

兩式相減可得d+1=2d,

所以d=1.②當(dāng)n=1時(shí)

，a?+1=2a?+1,

所

以a=1.

所以a=1+n-1=n.已知等差數(shù)列{an}滿足an+1+n=2an+1.(1)求{an}

的通項(xiàng)公式；(2)記S

為{an}的前n

項(xiàng)和，求數(shù)列

的

前n

項(xiàng)和Tn.拼搏、奮斗、持之以恒

合作探究人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列②已知等差數(shù)列{an}滿足an+1+n=2an+1.(1)求{an}

的通項(xiàng)公式；(2)記Sn為{an}的

前n

項(xiàng)和，求數(shù)列的前n

項(xiàng)和Tn.

合作探究人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒1.利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng)：(1)抵消后剩余的項(xiàng)呈“對(duì)稱性”,即前面剩幾項(xiàng)，后面

也剩幾項(xiàng).可能只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩

兩項(xiàng)，后面剩兩項(xiàng).(2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)

的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等.如：如果是公差的等

差數(shù)列，那么

合作探究人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒歸納總結(jié)：(4)若{a,}

是公差為d

的等差數(shù)列，則歸納總結(jié)：2.裂項(xiàng)求和的幾種常見(jiàn)類型：

合作探究人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒①②探究2錯(cuò)位相減法求和：的前n

項(xiàng)和為S

。,

滿足S?=2an-2.(1)求數(shù)列

的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=(2n-1)an,

求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

解：(1)∵S?=2a,-2,當(dāng)n=1時(shí)

，S?=2a-2,a?=2.當(dāng)n≥2

時(shí)

，Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,兩式相減得a?=2an-2an-1(n≥2),an=2a-1,n≥2.∴{a}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，二a=2”拼搏、奮斗、持之以恒

合作探究人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列的前n

項(xiàng)和為S

。,

滿足S?=2an-2.(1)求數(shù)列

的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)b=(2n-1)an,

求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.(2)由(1)知b?=(2n-1)2”,T,=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)·2”?1+(2n-1)·2”,2T?=1×22+3×23+5×2?+…+(2n-3)·2”+(2n-1)·2”+1,兩式相減得-T?=2+2×(22+23+…+2”)-(2n-1)·2”+1,拼搏、奮斗、持之以恒探究2

錯(cuò)位相減法求和：

合作探究∴T?=(2n-3)2”+1+6.人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)的注意事項(xiàng)：(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，

是等比數(shù)列，那么求數(shù)列{an·b}

的前n項(xiàng)和時(shí)，

可采用錯(cuò)位相減法.(2)在寫(xiě)出“S,

”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”,以便下一步準(zhǔn)確

寫(xiě)出“S?-qSn”的表達(dá)式，同時(shí)應(yīng)注意差式中成等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù).(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，則應(yīng)分公比等于1和不等

于1兩種情況求解.拼搏、奮斗、持之以恒

合作探究人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列深化拓展解：(1)由題意得a?=2+p,a?=S?-S?=2,a?=S?-S?=4,∵{an}是等比數(shù)列，

解得a?=1,p=-1.(2)由(1)得a=1,

公比為2,a?=2”-1,bn=n·2”-1,T?=1×2?+2×21+3×22+…+(n-1)2"?2+n·2"-1,所以，2T?=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)2”?1+n·2”,錯(cuò)位相減，得-T,=2?+21+22+…+2”?1-n·2”=2”-1-n·2”,所以T?=(n-1)2"+1.

牛

刀小試已知{a}(n∈N*)是等比數(shù)列，其前n

項(xiàng)和S?=2"+p,p為常數(shù).(1)求p的值；(2)設(shè)bn=nan,

求數(shù)列{b,

的前n

項(xiàng)

和Tn.拼搏、奮斗、持之以恒人教A

版選擇性必修二第四章

數(shù)

列1.數(shù)列求和有哪些方法?2.用到了哪些數(shù)學(xué)方法和思想?

課堂小結(jié)人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒3

.

已知{a}

是等差數(shù)列，

是首項(xiàng)為1,公