11直角三角形的性質(zhì)與判定綜合（四大題型）【題型一直角三角形的兩個銳角互余】................................................................................1【題型二斜邊的中線等于斜邊的一半】................................................................................7【題型三用HL證全等(HL)】.................................................................................................12【題型四全等的性質(zhì)和HL綜合(HL)】...................................................................................18【題型一直角三角形的兩個銳角互余】1．將直角三角板（含30°）和直尺按如圖方式擺放，則∠1的度數(shù)為（

）A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】D【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形兩銳角互余以及平行線的性質(zhì)是解題的關鍵．先由直角三角形兩銳角互余得到∠3=60°，再由平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，∵∠2=90°，∴∠3=90°-30°=60°，∵a∥∴∠1=∠3=60°，故選：D．2．如圖是由4個相同的正方形組成的網(wǎng)格，則∠1與∠2的和為（

）A．45° B．60° C．90° D．100°【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關鍵．根據(jù)網(wǎng)格可推出△ABC≌△FDE【詳解】解：如圖，由題意得，在△ABC和△∵AC∴△ABC∴∠2=∠EDF∵∠DEF∴∠1+∠EDF∴∠1+∠2=90°，故選：C．3．如圖，a∥b，AC⊥AB，∠1=60°，則A．30° B．45° C．35° D．60°【答案】A【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)及直角三角形的兩個銳角互余是解題的關鍵；由題意易得∠B【詳解】解：∵AC⊥∴∠BAC∵∠1=60°，∴∠B∵a∥∴∠2=∠B故選A．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BA．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【分析】本題考查直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形兩銳角和等于90度是解題的關鍵．根據(jù)直角三角形兩銳角和等于90度求解即可．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∴∠A∵∠B∴∠A∴∠A故選：A．5．如圖，AE是△ABC的角平分線，AD⊥BC于點D，若∠BAC=126°,∠A．10° B．11° C．12° D．13°【答案】B【分析】本題考查了角平分線的定義，垂線的定義，屬于簡單題，表示出∠EAD根據(jù)角平分線定義求出∠EAC=63°，根據(jù)垂線定義求出【詳解】解：∵AE是△ABC的角平分線，∠∴∠EAC∵AD⊥∴∠CAD∴∠DAE故選B．6．如圖，已知a∥b，點A，B，C分別在直線a，b上，CA⊥CB，若∠1=30°，則A．150° B．30° C．15° D．60°【答案】D【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，可以求出∠BAC=60°，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可知【詳解】解：∵CA∴∠ACB∴∠1+∠BAC∵∠1=30°，∴∠BAC∵a∴∠2=∠BAC故選：D．7．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BE平分∠ABC交AD于點E，若∠EBDA．60° B．50° C．40° D．45°【答案】C【分析】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識，首先由垂直定義得到∠ADB=90°，利用角平分線求出∠ABD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠BAD=30°【詳解】解：∵AD⊥∴∠BDA∵∠EBD=30°，BE平分∴∠∴∠∵∠BAC∴∠DAC故選C．8．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=44°，【答案】22°【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余等知識點，掌握等腰三角形兩個底角相等成為解題的關鍵．先求出等腰三角形的底角度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解．【詳解】解：∵AB=∴∠B∵CD⊥∴∠DCB故答案為：22°．9．如圖，AD是△ABC的BC邊上的高，AE平分∠BAC，若∠B=48°，【答案】10°【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，直角三角形的兩個銳角互余．由三角形的內(nèi)角和定理可得∠BAC，由角平分線的定義可得∠BAE，由直角三角形的兩個銳角互余可得∠BAD，減去∠【詳解】解：∵∠B=48°，∴∠BAC∵AE平分∠BAC∴∠BAE∵AD是△ABC的BC∴AD⊥∴∠ADB∴∠BAD∴∠DAE故答案為：10°．10．如圖，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分線，AD是BC邊上的高，且∠B=40°，【答案】10°【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線、三角形外角的性質(zhì)等知識點，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關鍵．先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求得∠BAE，再根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和求得【詳解】解：∵∠B=40°，∴∠BAC又∵AE是∠BAC∴∠BAE∴∠AED又∵AD是BC邊上的高，∴∠EAD【題型二斜邊的中線等于斜邊的一半】1．如圖，在△ABC中，AC⊥BC，點D是AB的中點，BD=4，則A．3 B．4 C．5 D．8【答案】B【分析】本題考查直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵在△ABC中，AC⊥BC，點D∴CD=∵BD=4∴CD=4故選：B．2．如圖，在△ABC中，AB=AC,BE⊥AC，D是ABA．65° B．70° C．75° D．80°【答案】C【分析】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE=12AB=【詳解】解：∵BE∴∠AEB∵D是AB的中點，∴DE∵DE∴DE∴△BDE∴∠ABE∴∠A∵AB∴∠C故選：C．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，若∠ECD=50°，A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【分析】本題考查了直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，等邊對等角，三角形的外角的性質(zhì)，先求得∠DEC=40°，由題意得CE=【詳解】解：∵CD⊥AB∴∠DEC∵E是斜邊AB的中點，∴CE=又∵∠DEC∴∠ECA故選：B4．如圖，△ABC中，∠CAB=90°，∠C=36°，D為BC【答案】72°/72度【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，可得AD=DC，從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得【詳解】解：∵Rt△CAB，∠CAB=90°，∠∴AD∴∠C∴∠ADB故答案為：72°．5．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E是AC的中點，若【答案】10【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等知識，利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)求出AC即可．【詳解】解：∵在△ABC中，AD⊥BC∴△ADC∵E是AC的中點．∴DE=又∵DE=5∴AC=10故答案為：106．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=8，點D是【答案】4【分析】本題考查了直角三角形的斜邊中線定理．根據(jù)直角三角形的斜邊中線定理即可求出BD．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，AC=8，點D∴BD故答案為：4．7．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，(1)求證：EF⊥(2)若∠ADC=45°，請判斷EF【答案】(1)證明見解析(2)EF=【分析】（1）連接AE，EC，由直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊的一半可得CE=12（2）連接AE，EC，由可得CE=DE=12本題考查了直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：如圖，連接AE，∵∠BCD=90°，點E是BD∴CE同理可得，AE=∴AE又∵點F是AC的中點，∴EF（2）解：EF=如圖，連接AE，∵∠BCD=90°，點E是∴CE∴∠ECD同理可得，AE=∴∠EAD∵∠ADC∴∠=2∠=2=2∠=90°，∵點F是AC的中點，∴EF【題型三用HL證全等(HL)】1．如圖，DE⊥AC,BF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，且DE=BF，若利用A．EC=FA BC．∠B=∠D【答案】B【分析】本題考查了直角三角形全等的判定，熟練掌握知識點是解題的關鍵．分析已知條件為兩直角邊對應相等，根據(jù)“HL”為直角邊和斜邊對應相等，即可求解．【詳解】解：∵DE⊥∴∠DEC∵DE=BF，且這兩條線段為直角邊，若利用“HL”證明∴需添加的條件是DC=故選：B．2．如圖，已知AB⊥AC，CD⊥BD，若用“HL”判定A．AE=CE B．AB=DC C．【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解題關鍵．根據(jù)斜邊和一條直角邊分別對應相等的兩個直角三角形全等求解即可．【詳解】解：由題意可知，BC=若用“HL”判定Rt△ABC和即AB=CD或只有B選項符合.故選：B．3．如圖，在△ABC中，AB=AC①△ABD②D為邊BC的中點；③∠B④AD是△ABC其中，正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，主要考查學生的推理能力．其中靈活運用所給的已知條件，從而對各個選項進行逐一驗證進而確定答案是解題的關鍵．利用HL即可證明△ABD【詳解】解：∵AB=AC，∴∠ADB∵AD=∴△ABD≌△ACD∴BD=CD，∠B∴D為邊BC的中點，AD是△ABC的一條角平分線，故②③④綜上所述：正確的結論有①②③④共4個.故選：D．4．如圖，點C，F(xiàn)在線段BE上，∠ABC=∠(1)根據(jù)“SAS”，需添加的條件是；根據(jù)“HL”，需添加的條件是．(2)請從（1）中選擇一種加以證明．【答案】(1)AB=DE(2)見解析【分析】（1）根據(jù)“SAS”和“HL”證明三角形全等所需要的條件解答即可；（2）根據(jù)“SAS”和“HL”證明三角形全等即可．【詳解】（1）解：根據(jù)“SAS”，題中已給出一組角一組邊，還缺以此組角為夾角的另一組邊，即AB=DE．根據(jù)“HL”，題中已給出直角和一組直角邊，還缺一組斜邊，即故答案為：AB=DE，（2）解：添加“AB=DE在△ABC和△BC=∴△ABC選擇“AC=DF∵∠ABC∴△ABC在Rt△ABC和AC=∴Rt△5．如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠【答案】見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，三角形中線的定義，先根據(jù)三角形中線的定義證明CB=C'【詳解】證明：∵AD與A'D'∴CB=2CD∵CD∴CB在Rt△ABC和AB=∴Rt6．如圖，在△ABC中，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，AD⊥MN于點D，BE(1)求證：AC⊥(2)判斷AD、BE、DE這三條線段之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)DE=【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相關知識．（1）根據(jù)已知證明Rt△ADC≌（2）由（1）中的Rt△ADC≌【詳解】（1）證明：∵AD⊥MN，∴∠ADC在Rt△ADC和AC=∴Rt△∴∠DAC∵∠ADC∴∠DAC∴∠ACD∴∠ACB∴AC⊥（2）解：DE=∵Rt△∴DC=∵AD=∴DE=7．如圖，在△ABC中，AB=AC(1)尺規(guī)作圖：作∠B的平分線交AC于點D(2)求證：BC=【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等角對等邊等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵．（1）直接運用尺規(guī)作圖作角平分線即可；（2）如圖：過點D作DE⊥BC于點E，由角平分線的性質(zhì)可得AD=DE，易得Rt△ABD≌【詳解】（1）解：如圖即為所求．（2）解：如圖：過點D作DE⊥BC于點∴∠BAD∵BD平分∠ABC，∴AD=∵BD=∴Rt△∴BE=∵AB=AC，∴∠C∴∠EDC∴CE=∴CE=∴BC=【題型四全等的性質(zhì)和HL綜合(HL)】1．已知：∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點D，DE⊥AB，DF⊥AC(1)線段BE和CF有什么數(shù)量關系，為什么？(2)若AB=6，AC=3，求【答案】(1)BE=(2)B【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相關知識．（1）連接CD、BD，根據(jù)角平行線的性質(zhì)定理得到DE=CF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得CD=BD，證明（2）先證明Rt△ADF≌Rt△ADE得到AE=AF，設BE=【詳解】（1）解：BE=如圖，連接CD、BD，∵AD平分∠BAE，DE⊥AB∴DE=又∵DG垂直平分BC，∴CD=在Rt△CDF和CD=BD∴Rt△∴BE=（2）在Rt△ADF和AD=∴Rt△∴AE=設BE=CF=∵AF=∴3+x解得x=即BE=2．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為△ABC外一點，連接CD，∠ABD=∠ACD，AE(1)AD平分∠BDP(2)BD-【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線性質(zhì)的綜合運用，證明△ABE（1）過點A作AF⊥DP于F，證明△ABE（2）證明Rt△ADE≌【詳解】（1）證明：過點A作AF⊥DP于∵∠ABD=∠∴△ABE∴AE∵AE∴AD平分∠（2）證明：在Rt△ADE和AD=∴Rt∴DE∵△ABE∴BE∵CF∴BD3．如圖，點C、D、E、F在同一條直線上，∠A=∠B=90°，AC=BF，CD=(1)求證：△DOE(2)若∠C=55°，求【答案】(1)見解析(2)70°【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．（1）證明Rt△ACE≌（2）根據(jù)題意可得∠AEC=35°．再由（1）得：【詳解】（1）證明：∵CD∴CD+DE∵∠A∴△ACE和△在Rt△ACE和AC∴Rt∴∠AEC∴DO=∴△DOE（2）解：∵∠A∴∠AEC由（1）得：∠BDF∴∠BOE4．如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，(1)求證：AD平分∠BAC(2)若AC=15，AB=10，求BE【答案】(1)證明見解析(2)5【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定定理．熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)和角平分線的判定是解題的關鍵．（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出DE=（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE=CF，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出【詳解】（1）證明：∵DE⊥AB，∴∠E在Rt△BED和BD=∴Rt△∴DE=又∵DE⊥AB，∴AD平分∠BAC（2）解：由（1）知，Rt△∴BE=在Rt△ADE與AD=∴Rt△∴AE=又∵AF=AC-FC=15-∴15-BE∴BE=5．如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于點D，E為AC的中點，BE與CD求證：(1)Rt△(2)△ABC【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)證出DB=（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠CEN=∠BDN=90°，進而推出【詳解】（1）證明：∵CD⊥∴∠BDC∵∠ABC∴∠DCB∴DB=在Rt△ACD和AC=∴Rt△（2）證明：∵Rt△∴∠ACD∵∠CNE∴∠CEN∴BE⊥∵E為AC的中點，∴BE垂直平分AC，∴BC=∴△ABC【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定定理，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．6．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于(1)求證：BE=(2)如果AB=5，AC=3，求【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，正確找出全等三角形是解題關鍵．（1）連接BD、CD，先證出BD=CD，DE=（2）先證出Rt△AED≌Rt△【詳解】（1）證明：如圖，連接BD、CD，∵DG⊥BC且平分∴BD∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴DE=DF在Rt△BED與DE=DF∴Rt△∴BE（2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴DE=DF在Rt△AED與AD=AD∴Rt△∴AE由（1）已證：BE=設BE=∵AB=5，AC∴AE=AB-∴5-x解得x=1∴BE=17．如下圖，在四邊形ABCD中，AB=AC,∠D=90°，BE⊥AC于點F，交CD于點E(1)求證：△ABF(2)若BF=7,DE=3【答案】(1)見解析(2)CE的長為4【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)．（1）由BE⊥AC于點F得∠AFB=∠D=90°，由角平分線的性質(zhì)得（2）由全等三角形的性質(zhì)得BF=CD=7，而DE【詳解】（1）證明：∵∠D∴∠AFB∵EA平分∠DEF，∴AF在Rt△ABF和AB=∴Rt（2）解：由（1）得，Rt∴BF∵∴CD∴CE故CE的長為4．8．如圖，已知在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°,AB=CD,AC(1)求證：AC=(2)求證：EF垂直平分BC；(3)若EF=DE，求【答案】(1)見解析(2)見解析(3)30°【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的判定等知識，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．（1）證Rt△（2）由全等三角形的性質(zhì)得∠ACB=∠DBC，則BE（3）求出∠ACB【詳解】（1）證明：∵∠A在Rt△ABC和BC=∴Rt△∴AC=（2）證明：由（1）得Rt△∴∠ACB∴BE=∴△BEC又∵EF⊥∴BF=∴EF垂直平分BC；（3）解：∵EF=∴CE平分∠DCB∴∠ACB由（2）得∠ACB∴∠∴∠ACB∵∠A∴∠ABE即∠ABE的度數(shù)為30°

1．如圖，在△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分線BP，AP交于點①CP平分∠ACF②∠ABC③若PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點④∠BAC其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①③【答案】B【分析】過點P作PD⊥AC于點D．根據(jù)角平分線的性質(zhì)（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），可得PM=PN，PM=PD，所以PM=PN=PD．再根據(jù)角平分線的判定（到角兩邊距離相等的點在角的平分線上），可知CP平分∠ACF，故①正確．假設∠ABC+∠APC=180°．由∠PBC=12∠ABC，∠PAC=12∠EAC=12(∠ABC+∠ACB)，∠PCA=12∠ACF=12(∠【詳解】解：過點P作PD⊥AC于點∵BP平分∠ABC，AP平分∠EAC，PM⊥AB，∴PM=PN，∴PM=∴CP平分∠ACF，故①在Rt△APM和AP=∴Rt△∴AM=同理，Rt△∴CN=∴AM+CN=∵AP平分∠EAC，CP平分∠∴∠PAC=1∵∠EAC=∠ABC∠=180°-=180°-=180°-=180°-=1∴∠BAC=2∠BPC假設∠ABC∵∠PBC=1∠PCA∴∠=180°-=180°-=180°-=90°-1若∠ABC+∠APC解得∠ABC=180°，不符合三角形的性質(zhì)，故故選：B．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．2．如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點P，延長BA、BC，PM⊥BE①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠ACP=180°；③A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．過點P作PD⊥AC于D，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理判斷①；證明Rt△PAM≌