第一章空間向量與立體幾何

1.1空間向量及其運(yùn)算

1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一空間向量的基本概念

1.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）

①任一向量與它的相反向量都不相等；

②長(zhǎng)度相等、方向相同的兩個(gè)向量是相等向量；

③平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；

④若a*b,則

⑤兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同.

A.OB.lC.2D.3

2.下列說(shuō)法正確的是（如㈤

A.若|a|=|b|,則a=b或a=-b

B.若a、b為相反向量，則a+b=O

C.零向量是沒(méi)有方向的向量

D.若a^b是兩個(gè)單位向量，則a=b

3.（2020山東煙臺(tái)高二上期中）下列命題是真命題的是（）

A.若分別表示空間兩向量的有向線段所在的直線是異面直線,則這兩個(gè)向量不是共

面向量

B.荏二而的充要條件是A與C重合,B與D重合

C.若向量而，而滿(mǎn)足|彳飾＞|而|,且與與而同向，則而,而

D.若兩個(gè)非零向量荏與而滿(mǎn)足樂(lè)+而=0,則荏||而

4.如圖所示，在四棱柱的上底面ABCD中,而二瓦，則下列向量相等的是（）

A.而與而B(niǎo).而與瓦

C.而與礪D.而與礪

題組二空間向量的加法與減法

5.（2020北京第八中學(xué)高二上期中）在正方體ABCD-A,B,C!DI中，下列各式的運(yùn)算結(jié)

果為向量瓦可的是（）

①禮.G-荏;②阮+甌-甌；

③通-福+西;④々仄-麗^西.

A.①②B.②③C.③④D.①④

6.已知A,B,C,D為空間中任意四個(gè)點(diǎn)，則萬(wàn)?+而-而等于（）

A.而B(niǎo).4CCABD.^4

7.已知四邊形ABCDQ為空間任意一點(diǎn)，且而+而二加+灰,則四邊形ABCD是

（）

A.空間四邊形B.平行四邊形

C.等腰梯形D.矩形

8.在直三棱柱ABC-A|B|Ci中,若石片a,而二b,西工廁下二.（用a,b,c表

示）

題組三空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

9.如圖所示,在平行六面體ABCD-AiBiCiDi中，設(shè)麗鼻，前二b,而二c,N是BC的中

點(diǎn)，用a,b,c表示而1為（）

A.-a+b+1cB.-a+b+c

C.-a-b+7CD.a-b+^c

22

10.（2020廣東深圳實(shí)臉學(xué)校高二上期中）如圖所示,在平行六面體ABCD-A1BQD1

中,AC與BD的交點(diǎn)為M.設(shè)硒&，曬二b,不二c,則下列向量中與2瓦而相等的

向量是（）

A.-a+b+2cB.a+b+2c

C.a-b+2cD.-a-b+2c

11.（2020山西忻州一中高二上期中）在空間四邊形ABCD中，若^BCD是正三角形,

12.（2020浙江寧波高二上期中）已知正方體ABCD-ABGD】中，碇硒*，若

荏=x^7+y（而+而），則x=,y=.

題組四空間向量共線、共面問(wèn)題

13.設(shè)a,b是不共線的兩個(gè)向量，且入a+|ib=0入，昨氏則（）

A.X=|i=0B.a=b=0

C.X=O,b=OD串=0,a=0

14.已知向量a,b,且荏=a+2b,麗=-5a+6b,而=7a-2b則一定共線的三點(diǎn)是（）

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

15.（2020廣東廣州二中高二月考）已知空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,下列能

得到P,A,B,C四點(diǎn)共面的是（）

一一.一一.一.一一.

A.OPQ+OB+OC

B.而二汨礪￡沆

333

C^OP=^OA+^OB^OC

22

D.以上都不對(duì)

16.有下列說(shuō)法：

①若p=xa+yb,則p與a,b共面；

②若p與a,b共面，則p=xa+yb;

③若麗二x而1+y而，則P,M,A,B共面；

④若P,M,A,B共面,則而=x加+y而.

其中正確的是（）

A.①②③④

B.①③④

C.①③

D.②④

17.已知點(diǎn)P和不共線的三點(diǎn)A,B,C四點(diǎn)共面且對(duì)于空間任意一點(diǎn)O,都有

而=2a+礪+痂廁X=.

18.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4卜2k,c=7i+5j+入k,若a,b,c三個(gè)向量共面,

則實(shí)數(shù)入等于.

19.如圖，點(diǎn)M,N分別在對(duì)角線BD,AE上，且BM[BD,AN=；AE.求證:向量

JO

而，而，反共面.

20.如圖所示，在正方體A|B|C|DrABCD中,E,F分別是B|G,GD的中點(diǎn)，求

證:E,F,B,D四點(diǎn)共面.

答案全解全析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.B零向量與它的相反向量相等，①錯(cuò);由相等向量的定義知，②正確;兩個(gè)向量平

行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量,③錯(cuò);a±b,可能兩個(gè)向量模相等

而方向不同,④錯(cuò);兩個(gè)向量相等，是指它們方向相同，大小相等,向量可以在空間自由

移動(dòng)，故起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，⑤錯(cuò).故選B.

2.B若|a|二|b|,則它們的方向相同時(shí)是相等向量，方向相反時(shí)是相反向量，還有可能

方向既不相同，也不相反,A錯(cuò);若a、b為相反向量，則它們的和為零向量,B對(duì);零向

量的方向是任意的,C錯(cuò);兩個(gè)單位向量只是模都為1,方向不一定相同,D錯(cuò).故選B.

方法歸納①在空間中，零向量、單位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概

念和平面向量中對(duì)應(yīng)的概念完全相同；

②由于向量是由其大小和方向兩方面確定的，因此解答空間向量有關(guān)概念問(wèn)題時(shí)，

要抓住這兩點(diǎn)；

③零向量是一個(gè)特殊向量，其方向是任意的,且與任意向量都共線，這一點(diǎn)說(shuō)明共線

向量不具備傳遞性.

3.D因?yàn)榭臻g中任意兩向量平移之后都可以共面，所以空間中任意兩向量均共面，

選項(xiàng)A是假命題；

由而二而知四|二|而且四與而同向，但A與C,B與D不一定重合，選項(xiàng)B是假命

題；

因?yàn)榭臻g向量不能比較大小，只能對(duì)向量的長(zhǎng)度進(jìn)行比較，因此也就沒(méi)有泡〉而這

種寫(xiě)法，選項(xiàng)C是假命題；

因?yàn)檐?0=0,所以荏二方,即荏與而共線，故而||而,選項(xiàng)D是真命題.

故選D.

4.D因?yàn)榉?反，所以四邊形ABCD是平行四邊形，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及相等

向量的定義知，而二赤，而二前,市二方，故選D.

5.C不瓦-不-而二砧-存西，①錯(cuò)；

近十西.甌二就+西為方二西+R二西,②錯(cuò)；

稱(chēng)福+西二瓦5+西二瓦既③對(duì)；

瓦瓦-甌+西二瓦萬(wàn)］西+西二瓦耳，④對(duì).故選c.

6.D赤+而-方赤+而赤-礪二朗

7.B由己知可得而二沆，由相等向量的定義可知,四邊形ABCD的一組對(duì)邊平行且

相等，所以四邊形ABCD是平行四邊形，故選B.

8.答案b-a-c

解析如圖，砧=4-打=抽方-鬲=b-a-c.

9.A???N是BC的中點(diǎn)，

常二不+福麗=-a+b+1宙=-a+bU而=-a+b+:c.故選A.

11222

10.A跖=第十麗二解+；胸+近尸c+；(-a+b),所以2^J?=2c-a+b,故選A.

11.答案0

解析延長(zhǎng)DE,交BC于點(diǎn)F,則F為BC的中點(diǎn)，.二就二麗機(jī)屁=而，

22

???~BC-^E^AD=AB+BF+FDWA=().

AB422

12.答案1;-

4

解析AE=AA+AE=AA+-AAC^AA^-(AB+AD\.\x=l,y=-.

111444

13.A若FO,則a=-%,與已知a,b不共線矛盾，故人=0,同理四=0,故選A.

A

14.A因?yàn)槿?而=麗=2a+4b=2(a+2b)=2而，所以A,B,D三點(diǎn)共線.

15.B若點(diǎn)P,A,B,C共面，設(shè)9=xOy赤+z",則x+y+z=l,滿(mǎn)足條件的只有B,故

選B.

16.C若a,b共線，由p=xa+yb知p一定與a,b共面、若a,b不共線，則滿(mǎn)足共面定理,p

與a,b共面,①對(duì);同理③對(duì);若p與a,b共面，且a,b共線，則不一定有p=xa+yb,故②不

對(duì);同理④不對(duì)，故選C.

17.答案-2

解析對(duì)于空間不共線的三點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)P,若四點(diǎn)共面，則對(duì)空間任意一點(diǎn)0,都

^0P=x0A+y0B+z0C,Kx+y+z=l,所以X=-2.

18.答案-

7

解析若向量a,b,c共面，則存在x,yeR,使得a=xb+yc,

.,.2i-j+3k=x(-i+4j-2k)+y(7i+5j+kk),

(2=-x+7y,

j-1=4x+Sy