專題14計數(shù)原理、隨機變量及分布列

目錄

01析·考情精解..............................................................................................................2

02構·知能框架..............................................................................................................3

03破·題型攻堅..............................................................................................................4

考點一排列組合.......................................................................................................4

真題動向

知識1組合問題常見題型

必備知識

知識2二項式定理考點

命題預測題型1排列組合問題題型2二項式定理問題

考點二離散型隨機變量...........................................................................................7

真題動向

知識1離散型隨機變量

必備知識知識2離散型隨機變量的均值或數(shù)學期望

知識3正態(tài)分布

題型1抽用樣本估計總體題型2離散型隨機變量的分布列、均值、

命題預測

方差題型3正態(tài)分布問題

天津高考對該部分內容主要以探索創(chuàng)新情境與生活實踐情境為載體，重在考查考

生的邏輯思維能力及對事件進行分析、分解和轉化的能力;該部分考查的必備知識在

命題

選擇題和填空題中常?？疾榕帕薪M合、二項式定理、抽用樣本估計總體等,解答題則

軌跡

以利用排列組合考查離散型隨機變量的分布列、均值、方差、二項分布和正態(tài)分布等

透視

問題為主,重點考查知識的應用性與基礎性,考查的關鍵能力主要是邏輯思維能力、數(shù)

學建模能力、創(chuàng)新能力;考查的學科素養(yǎng)主要為理性思維、數(shù)學應用和數(shù)學探索。

考點2025年2024年2023年

考點排列組合T11，5分T11，5分T11，5分

頻次

總結

離散型隨機變量T5，5分T3，5分T7，5分

預計在2026年高考中，分值與題型：約10分，結構穩(wěn)定：1填空（二項式，5

分）+1填空（排列/概率，5分））；難度梯度為：二項式易、排列組合中、離散型

2026

隨機變量中偏難。二項式定理（5年5考）：第11題填空，考通項求指定項系數(shù)/常

命題

數(shù)項，偶考系數(shù)和（賦值法），不考復雜綜合。排列組合：小題（5-8題或填空）考

預測

基礎模型（相鄰捆綁、不相鄰插空、分組分配、定序倍縮），多為古典概型背景，強

調“有序/無序”區(qū)分。離散型隨機變量：填空考二項分布/超幾何分布的期望方差；

解答題（18題）考分布列+期望+方差，常與全概率公式、條件概率結合，新情景（如

體育、購物、生產(chǎn)）突出建模能力。

新情景考法：排列組合+概率：含限制條件的古典概型（如“至多/至少”“含特殊

元素”），用間接法簡化計算。隨機變量+數(shù)列/函數(shù)：如分布列與數(shù)列遞推、期望

的函數(shù)最值，考知識遷移?？缒K融合：與統(tǒng)計圖表（頻率分布直方圖）、向量、

不等式結合，強調數(shù)據(jù)處理與轉化

考點一排列組合

6

1．（2025·天津·高考真題，11，5分）在x1的展開式中，x3項的系數(shù)為．

5

3

2．（2022·天津·高考真題，11，5分）在x的展開式中，常數(shù)項是.

x2

6

2

．（·天津·高考真題，，分）在x3的展開式中，常數(shù)項為．

320241152

3x

6

312

4．（2023·天津·高考真題，11，5分）在2x的展開式中，x的系數(shù)為．

x

9

1

5．（2007·天津·高考真題，11，5分）x的二項展開式中常數(shù)項是．（用數(shù)字作答）

x2

6．（2003·遼寧·高考真題，11，5分）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分.現(xiàn)要栽種4

種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有種.（用

數(shù)字作答）

知識1組合問題常見題型

（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：

“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?/p>

（2）“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：

解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求

解，但通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．

（3）分堆問題

平分到指定位置

①平均分堆，其分法數(shù)為：．

堆數(shù)的階乘

分到指定位置

②分堆但不平均，其分法數(shù)為．

相同數(shù)量的堆數(shù)階乘之積

（4）定序問題．

對于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素

的位置而不參加排列，然后對其他元素進行排列．

（5）相同元素分組問題用“隔板法”：

知識2二項式定理考點

一般地,對于任意正整數(shù)n,都有：

n0n1n1rnrrnn*

(ab)CnaCnabCnabCnb(nN)，

這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做(ab)n的二項展開式。

rnrrrnrr

式中的Cnab做二項展開式的通項，用Tr+1表示，即通項為展開式的第r+1項：Tr1Cnab，

r

其中的系數(shù)Cn（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)

n012n

(ab)的展開式中各項的二項式系數(shù)Cn、Cn、Cn…Cn具有如下性質：

rnr

①對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即CnCn；

②增減性與最大值：二項式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值.其中，當

n

2

n為偶數(shù)時，二項展開式中間一項的二項式系數(shù)Cn最大；當n為奇數(shù)時，二項展開式中間兩項的二項式系

n1n1

22

數(shù)Cn，Cn相等，且最大.

n01234nn

③各二項式系數(shù)之和為2，即CnCnCnCnCnCn2；

④二項展開式中各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，

024135n1

即CnCnCnCnCnCn2。

【易錯提醒】

①在二項式定理(ab)n的問題要注意b的系數(shù)為1，在展開求解時不要忽略

②對于三項式的展開問題，一般采取轉化為二項式再展開的辦法進行求解，但在轉化為二項式的時候，又

有不同的處理策略：一是如果三項式能夠化為完全平方的形式，或者能夠進行因式分解，則可通過對分解

出來的兩個二項展開式分別進行分析，進而解決問題（如本例中的解法二）；二是不能化為完全平方的形

式，也不能進行因式分解時，可直接將三項式加括號變?yōu)槎検?，套用通項公式展開后對其中的二項式再

利用通項展開并進行分析求解，但要結合要求解的問題進行合理的變形，以利于求解

題型1排列組合問題

1．（2025·天津紅橋·二模）隨著我國經(jīng)濟發(fā)展越來越好，外出旅游的人越來越多，現(xiàn)有兩位游客慕名來天

津旅游，他們分別從“天津之眼摩天輪、五大道風景區(qū)、古文化街、意式風情街、海河觀光游船、盤山風景

區(qū)”這6個景點中隨機選擇1個景點游玩，記事件A為“兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪”，事件B

為“兩位游客選擇的景點不同”，則P(A)，P(B∣A).

2．（2025·天津·一模）某教師一天上3個班級的課，每班上1節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)，下午4

節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位教師一天的課表的所有不同排法有

種.

3．（2025·天津和平·三模）清明節(jié)前夕，某校團委決定舉辦“緬懷革命先烈，致敬時代英雄”主題演講比賽，

經(jīng)過初賽，共7人進入決賽，其中高一年級2人，高二年級3人，高三年級2人，現(xiàn)采取抽簽方式?jīng)Q定演

講順序，設事件A為“高二年級3人相鄰”，事件A的排法為種；在事件A“高二年級3人相鄰”

的前提下，事件B“高一年級2人不相鄰”的概率PBA為．

4．（2025·天津河東·一模）某工程隊有5項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，

工程丙必須在工程乙完成后立即進行那么安排這5項工程的不同排法種數(shù)是.（用數(shù)字作答）

5．（2024·天津河東·二模）一共有5名同學參加《我的中國夢》演講比賽，3名女生和2名男生，如果男生

不排第一個演講，同時兩名男生不能相鄰演講，則排序方式有種．（用數(shù)字作答）

6．（2026·天津·模擬預測）世界第三屆無人駕駛智能大賽在天津召開，現(xiàn)在要從小張?小趙?小李

?小羅?小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯?安保?禮儀?服務四項不同工作，若小張和小趙只能從事前

兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有（）種.

A．120B．60C．24D．36

7．（2026·天津東麗·開學考試）某校團委舉辦《在青春的賽道上，我們都是追光者》主題演講比賽，經(jīng)過

初賽，共7人進入決賽，其中高一年級2人，高二年級3人，高三年級2人，現(xiàn)采取抽簽方式?jīng)Q定演講順

序，設事件A為“高一年級2人不相鄰”，事件B為“高二年級3人相鄰”，則PBA.

題型2二項式定理問題

4

8．（2025·天津南開·模擬預測）在2xx1的展開式中，x2的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）

9．（2025·天津·二模）在(3x2x)6的展開式中，x6的系數(shù)為．

1

10．（2025·天津紅橋·模擬預測）在(2x2)5的二項展開式中，x的系數(shù)為．

5x

25

11．（2025·天津河西·模擬預測）xx1的展開式中x3的系數(shù)為.

x

6

215

12．（2025·天津·一模）在2x的展開式中，x的系數(shù)為．

3x

3

13．（2025·天津·二模）在(x4)5的展開式中，常數(shù)項為.

x

6

1215

14．（2025·天津和平·三模）若二項式xa0的展開式中，x的系數(shù)為，則a．

ax16

8

1

15．（2025·天津濱海新·三模）在二項式2x的展開式中常數(shù)項為．

3x

6

61

16．（2025·天津南開·二模）在x的展開式中，x1的系數(shù)為．

3x

n

1

17．（2025·天津河西·二模）在3x的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為128，則常數(shù)項為.

3x

考點二離散型隨機變量

1．（2025·天津·高考真題，13，5分）小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈

的概率均為0．5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0．4，6圈的概率為0．6；若第一次跑6圈，

則第二次跑5圈的概率為0．6，6圈的概率為0．4．小桐一周跑11圈的概率為；若一周至少跑11

圈為運動量達標，則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望EX

2．（2025·天津·高考真題，5，5分）下列說法中錯誤的是（）

A．若XN,2，則P(X)P(X)

B．若XN1,22，YN2,22，則P(X1)P(Y2)

C．r越接近1，相關性越強

D．r越接近0，相關性越弱

3．（2024·天津·高考真題，13，5分）某校組織學生參加農(nóng)業(yè)實踐活動，期間安排了勞動技能比賽，比

賽共5個項目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個項

目.假設每人參加每個項目的可能性相同，則甲同學參加“整地做畦”項目的概率為；已知乙同學參加

的3個項目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為．

4．（2023·天津·高考真題，13，5分）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進三個空

箱子中，三個箱子中的球數(shù)之比為5:4:6．且其中的黑球比例依次為40%,25%,50%．若從每個箱子中各隨

機摸出一球，則三個球都是黑球的概率為；若把所有球放在一起，隨機摸出一球，則該球是白球

的概率為．

5．（2007·天津·高考真題，16，15分）已知甲盒內有大小相同的3個紅球和4個黑球，乙盒內有大小相

同的5個紅球和4個黑球.現(xiàn)從甲、乙兩個盒內各任取2個球.

(1)求取出的4個球均為紅球的概率；

(2)求取出的4個球中恰有1個紅球的概率.

6．（2022·天津·高考真題，13，5分）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A

的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為

7．（2003·天津·高考真題，16，5分）有三種產(chǎn)品，合格率分別為0.90，0.95和0.95，各抽取一件進行

檢驗．

(1)求恰有一件不合格的概率；

(2)求至少有兩件不合格的概率．（精確到0.001）

8．（2021·天津·高考真題，13，5分）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一

51

方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活

65

動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為，3次

活動中，甲至少獲勝2次的概率為．

知識1離散型隨機變量

離散型隨機變量

可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱為離散型隨機變量，通常用大寫英文字母表示隨機

變量，用小寫英文字母表示隨機變量的取值.

隨機變量和函數(shù)的關系

隨機變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點ω相當于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當于函數(shù)

的定義域，不同之處在于Ω不一定是數(shù)集．

離散型隨機變量的分布列

離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各值的概率之和

(1)離散型隨機變量的分布列

一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，

i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱為分布列．

(2)可以用表格來表示X的分布列，如下表

Xx1x2…xi…xn

Pp1p2…pi…pn

還可以用圖形表示，如下圖直觀地表示了擲骰子試驗中擲出的點數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖．

離散型隨機變量的分布列的性質

(1)pi≥0，i＝1，2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.

兩點分布

，發(fā)生，

－1A

對于只有兩個可能結果的隨機試驗，用A表示“成功”，A表示“失敗”，定義X＝－如果P(A)＝p，

0，A發(fā)生.

－

則P(A)＝1－p，那么X的分布列如表所示

X01

P1－pp

我們稱X服從兩點分布或0－1分布．

知識2離散型隨機變量的均值或數(shù)學期望

1．離散型隨機變量的均值或數(shù)學期望

正確地求出離散型隨機變量的分布列是求解期望的關鍵一般地，若離散型隨機變量X的分布列為

Xx1x2…xi…xn

Pp1p2…pi…pn

n

則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝∑xipi為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，數(shù)學期望簡稱為期望．均

i＝1

值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數(shù)，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機

變量取值的平均水平．

2．兩點分布的期望

一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p；

3．離散型隨機變量的均值的性質

設X的分布列為P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n.一般地，下面的結論成立：E(aX＋b)＝aE(X)＋b．

4．離散型隨機變量的方差、標準差

正確求解隨機變量的方差的關鍵是正確求解分布列及其期望值

設離散型隨機變量X的分布列為

Xx1x2…xi…xn

Pp1p2…pi…pn

222

考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))，(x2－E(X))，…，(xn－E(X))，因為X取每個值

的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關于取值概率的加權平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的

偏離程度，我們稱

n

2222

D(X)＝(x1－E(X))p1＋(x2－E(X))p2＋…＋(xn－E(X))pn＝∑(xi－E(X))pi

i＝1

為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱D（X）為隨機變量X的標準差，記為σ(X)．

5．幾個常見的結論

(1)D(aX＋b)＝a2D(X)．(2)若X服從兩點分布，則D(X)＝p(1－p)．

知識3正態(tài)分布

1．正態(tài)曲線

正態(tài)曲線沿著橫軸方向水平移動只能改變對稱軸的位置，曲線的形狀沒有改變，所得的曲線依然是正態(tài)曲

線

函數(shù)f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)．

顯然對于任意x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1．我們稱

f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．

若隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)，特別地，當μ＝0，

σ＝1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布．

2．由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點

1

(1)曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；(2)曲線在x＝μ處達到峰值；

σ2π

(3)當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸．

3．正態(tài)分布的期望與方差

若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2．

4．正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內取值的概率

(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．

在實際應用中，通常認為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統(tǒng)計學中

稱為3σ原則.

簡單隨機抽樣

Ⅰ：簡單隨機抽樣：系統(tǒng)抽樣、分層抽樣、每個個體被抽中的概率都相同

Ⅱ：頻率分布直方圖：

①組距：相鄰橫坐標之間的差值

②概率：概率=縱×組距（面積）

③中位數(shù)：取x，前半圖形面積為0.5

④眾數(shù)：圖形中最高的中值.

⑤平均數(shù)：

面積1中值1面積2中值2面積3中值3

⑥方差：222

S中值平均數(shù)1面積1中值平均數(shù)2面積2

⑦極差：最大--最小

Ⅲ：莖葉圖

①中位數(shù)：去頭去尾取中間

②眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)

莖10葉個數(shù)葉所有數(shù)

③平均數(shù)：

總體

④評價：

方差：看莖葉圖集中與分散

平均數(shù)：莖葉圖中某一行出現(xiàn)最長，則認定平均數(shù)出現(xiàn)在此行

【易錯提醒】

利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)時，易出錯，應注意區(qū)分這三者．在頻率分布直方圖中：

（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)；

（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；

（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊

中點的橫坐標之和.

題型1抽用樣本估計總體

1．（2025·天津和平·二模）某人工智能公司為優(yōu)化新開發(fā)的語言模型，在其模型試用人群中開展?jié)M意度問

卷調查，滿意度采用計分制（滿分100分），統(tǒng)計滿意度并繪制成如下頻率分布直方圖，圖中m2n，則

下列結論不正確的是（）

A．n0.015

B．滿意度計分的眾數(shù)約為75分

C．滿意度計分的平均分約為79分

D．滿意度計分的第25百分位數(shù)約為70分

2．（2025·天津武清·模擬預測）下列說法錯誤的是（）

A．一組數(shù)據(jù)5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位數(shù)為17

115

B．若事件M，N相互獨立，PM，PN，則PMN

236

C．某地市在一次測試中，高三學生數(shù)學成績服從正態(tài)分布N80,2，已知P50800.3，若按

成績分層抽樣的方式取100份試卷進行分析，則應從110分以上的試卷中抽取20份

1

D．已知隨機變量X服從二項分布Bn,，若E3X17，則n6

3

3．（2025·天津濱海新·三模）下列說法中正確的是（）

A．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14

B．某新能源汽車企業(yè)基于領先技術的支持，從某年起改進并生產(chǎn)新車型，設改進后該企業(yè)第x年的生產(chǎn)

利潤為y（單位：億元），現(xiàn)統(tǒng)計前7年的數(shù)據(jù)為1,y1,2,y2,,7,y7，根據(jù)該組數(shù)據(jù)可得y關于x的

7

回歸直線方程為y?0.5xa?，且yi30.1，預測改進后該企業(yè)第8年的生產(chǎn)利潤為6.3億元

i1

C．若隨機變量X服從正態(tài)分布N3,2，且PX40.7，則P2X40.2

D．若隨機變量，滿足32，則E3E2，D9D2

4．（2025·天津·一模）下列說法正確的是（）

A．一組數(shù)據(jù)1,1,2,3,5,8,13,21的第60百分位數(shù)為4

B．在回歸分析模型中，若決定系數(shù)R2越小，則殘差平方和越大，模型的擬合效果越差

C．兩個隨機變量的線性相關程度越強，則樣本相關系數(shù)r越接近于1

D．根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到28.932，根據(jù)小概率值0.01的獨立性檢驗

x0.016.635，可判斷變量X與Y獨立，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01

5．（2025·天津南開·二模）某中學三個不同選課組合的學生在一次高三質量監(jiān)測的數(shù)學平均分分別為a,b,c，

若按不同選課組合采用分層抽樣的方法抽取了一個120人的樣本，抽到三個不同選課組合的學生人數(shù)分別

為20，40，60，則估計這三個不同選課組合學生的數(shù)學平均分為（）．

abcabc111111

A．B．C．a(chǎn)bcD．a(chǎn)bc

23632236

6．（2025·天津·一模）下列說法錯誤的是（）

A．若隨機變量XN,2，則當較小時，對應的正態(tài)曲線“瘦高”，隨機變量X的分布比較集中

B．在做回歸分析時，可以用決定系數(shù)R2刻畫模型的回歸效果，若R2越大，則說明模型擬合的效果越好

C．若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,,xn的平均數(shù)為3，則3x11,3x21,,3xn1的平均數(shù)為10

D．一組數(shù)據(jù)6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位數(shù)為7

7．（2025·天津·一模）下列說法中，不正確的是（）

A．在1，3，6，7，9，10，12，15這組數(shù)據(jù)中，第50百分位數(shù)為8

B．分類變量A與B的統(tǒng)計量2越大，說明“A與B有關系”的可信度越大

C．根據(jù)具有線性相關關系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的經(jīng)驗回歸方程為ybxa，若b2，x1，y3，

則a1

D．兩個模型中，殘差平方和越大的模型擬合的效果越好

8．（2025·天津寧河·一模）下列說法不正確的是（）

A．對具有線性相關關系的變量x、y，且回歸方程為y0.3xm，若樣本點的中心為m,2.8，則實數(shù)

m的值是4

B．若隨機變量X服從正態(tài)分布N3,2，且PX40.7，則P3X40.2

C．若線性相關系數(shù)r越接近1，則兩個變量的線性相關程度越高

D．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14

題型2離散型隨機變量的分布列、均值、方差

9．（2025·天津·二模）為幫助學生減壓，高三某班準備了“幸運抽獎箱”，箱中共有10張卡片，其中6張為

“獲獎卡”．每位同學隨機抽取3張，抽到獲獎卡可兌換獎品，每人抽完后箱中恢復原先10張卡片．甲同學

參加了一次抽獎活動，則甲同學恰好抽到2張“獲獎卡”的概率為；若該班有60名同學，每人都恰

參加一次抽獎活動，則至少抽到1張“獲獎卡”的人數(shù)的均值是．

10．（2025·天津北辰·三模）下列命題中

①根據(jù)經(jīng)驗回歸方程所得到的預報值就是響應變量的精確值

②若隨機變量,滿足21，則D2D1

③兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于1

④設N1,2且P00.2，則P120.2

其中錯誤命題的個數(shù)為（）

A．4B．3C．2D．1

11．（2025·天津河西·模擬預測）一紙箱中裝有4瓶未過期的飲料和2瓶過期飲料．若每次從中隨機取出1

瓶，取出的飲料不再放回，則在第一次取到過期飲料的條件下，第二次取到未過期飲料的概率為；

對這6瓶飲料依次進行檢驗，每次檢驗后不再放回，直到區(qū)分出6瓶飲料的保質期時終止檢驗，記檢驗的

次數(shù)為X，則隨機變量X的期望為．

12．（2025·天津和平·三模）下列結論中不．正．確．的是（）

1

A．已知隨機變量XBn,，若D3X27，則EX4

4

B．用決定系數(shù)R2來刻畫回歸的效果時，R2的值越接近1，說明模型擬合的效果越好

C．用0，1，2，3四個數(shù)字，組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為30

?

D．經(jīng)驗回歸直線y?bxa?至少經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點x1,y1,x2,y2,,xn,yn中的一個點

13．（2025·天津·一模）已知甲、乙兩名乒乓球運動員進行比賽，根據(jù)二人以往比賽資料統(tǒng)計，在一局比賽

32

中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且各局比賽互不影響.現(xiàn)在甲、乙二人準備進行三局比賽.則在

55

三局比賽中甲勝前兩局、乙勝第三局的概率是，用表示三局比賽中甲獲勝的局數(shù)，則的數(shù)學期望

是.

0123

8365427

P

125125125125

14．（2025·天津·二模）將一個質地均勻的正四面體的四個面上分別寫上數(shù)字1，2，3，4，并在桌面上連續(xù)

獨立地拋擲n次（n為正整數(shù)）.當n5時，設X為正四面體與桌面接觸面上的數(shù)字為偶數(shù)的次數(shù)，則

EX；當n2時，記正四面體與桌面接觸面上的數(shù)字分別為x，y，記事件A為“xy為

偶數(shù)”，事件B為“x，y中有偶數(shù)，且xy”，則PB|A.

15．（2025·天津和平·一模）袋子中裝有8球，其中6個黑球，2個白球，若依次隨機取出2個球，則在第

一次取到黑球的條件下，第二次取到白球的概率為；若隨機取出3個球，記取出的球中白球的

個數(shù)為X，則X的數(shù)學期望EX.

16．（2024·天津北辰·模擬預測）下列命題中，不正確的是（）

15

A．若隨機變量X~B5,，則DX

24

B．若隨機變量X~N5,2，且P3X50.3，則PX70.2

118

C．若x0，xy1，則的最小值為4

2x2yxy

D．兩個隨機變量的相關系數(shù)r越大，兩個變量的線性相關性越強

題型3正態(tài)分布問題

17．（2025·天津寧河·模擬預測）下列說法中，正確的有（）

①回歸直線yb?xa恒過點x,y，且至少過一個樣本點：

2

②根據(jù)22列列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得出k2