2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊【公開課課件】第21章一元二次方程21.3.2平均變化率問題與銷售問題初中生小戴現(xiàn)在正處于青春期，身體發(fā)育較快，已知他去年四月份身高是170cm，今年四月份身高增長了5%.1.你知道其中的5%是什么意思嗎?2.如果明年四月份身高增長依舊是5%，那他身高將是多少?3.他的身高一直會以5%的速度增長下去嗎?今年增長的身高是去年身高的5%今年身高=170×（1+5%）=178.5明年身高=178.5×（1+5%）=187.425不會人教版九年級上冊數(shù)學(xué)21.3.1傳播問題、循環(huán)問題與數(shù)字問題

教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)回顧，引出應(yīng)用（5分鐘）1.舊知喚醒：同學(xué)們，我們已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法，也掌握了根與系數(shù)的關(guān)系。誰能說說解一元二次方程的基本步驟？（引導(dǎo)學(xué)生回答：設(shè)未知數(shù)→列方程→解方程→檢驗取舍）2.情境導(dǎo)入：在實際生活中，很多問題都可以通過建立一元二次方程模型來解決，比如病毒傳播的速度預(yù)測、體育比賽的場次安排、數(shù)字的規(guī)律探究等。這些問題看似復(fù)雜，只要我們找準(zhǔn)等量關(guān)系，就能用所學(xué)知識輕松解決。今天我們就重點(diǎn)探究這三類典型問題的解法。（板書課題：傳播問題、循環(huán)問題與數(shù)字問題）二、探究新知，分類突破（25分鐘）（一）傳播問題：找準(zhǔn)“傳播基數(shù)”是關(guān)鍵1.典型例題：流感是一種傳染性極強(qiáng)的疾病，現(xiàn)有1人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？2.師生共研：第一步：明確傳播規(guī)律。設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，第一輪傳染時，傳染源為1人，新增x名患者，所以第一輪結(jié)束后共有1+x人患流感；第二輪傳染時，傳染源變?yōu)?+x人，每人再傳染x人，新增x(1+x)名患者，因此兩輪結(jié)束后總患病人數(shù)為1+x+x(1+x)。第二步：建立等量關(guān)系。根據(jù)“兩輪傳染后共有144人患流感”，列方程：1+x+x(1+x)=144。第三步：解方程并檢驗。將方程整理為標(biāo)準(zhǔn)形式：(1+x)2=144，開方得1+x=12或1+x=-12（舍去負(fù)根），解得x=11。檢驗：x=11符合實際傳播情況，因此每輪平均一人傳染11人。3.變式拓展：若按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后共有多少人患流感？（引導(dǎo)學(xué)生計算：144×(1+11)=1728人，強(qiáng)調(diào)第三輪的傳播基數(shù)是第二輪結(jié)束后的總?cè)藬?shù)）4.規(guī)律總結(jié)：傳播問題的核心是抓住“每輪傳播的基數(shù)在變化”，若初始基數(shù)為a，每輪每人傳播x人，經(jīng)過n輪傳播后的總數(shù)為a(1+x)?，據(jù)此建立方程即可。注意結(jié)果需符合實際，舍去負(fù)根。5.即時練習(xí)：某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43，求每個支干長出的小分支個數(shù)。（提示：設(shè)小分支個數(shù)為x，等量關(guān)系為1+x+x2=43，解得x=6）（二）循環(huán)問題：區(qū)分“單循環(huán)”與“雙循環(huán)”1.情境辨析：體育比賽中的循環(huán)賽制分為兩種——單循環(huán)（每兩隊只賽一場）和雙循環(huán)（每兩隊賽兩場，主客場制）。這兩種賽制的場次計算方式不同，需要特別注意。2.單循環(huán)例題：某少年宮組織足球賽，采取單循環(huán)賽制（每兩個足球隊之間都要比賽一場），計劃安排28場比賽，可邀請多少支球隊參加？3.建模過程：第一步：設(shè)未知數(shù)。設(shè)邀請x支球隊參加比賽。第二步：分析場次關(guān)系。每支球隊要與其余(x-1)支球隊比賽一場，但A隊與B隊的比賽和B隊與A隊的比賽是同一場，因此總場次需除以2，即總場次為x(x-1)/2。第三步：列方程求解。根據(jù)“總場次為28場”，列方程x(x-1)/2=28，整理為x2-x-56=0，因式分解得(x-8)(x+7)=0，解得x=8（x=-7舍去）。因此可邀請8支球隊。4.雙循環(huán)變式：若改為雙循環(huán)賽制（每兩隊賽兩場），計劃安排42場比賽，應(yīng)邀請多少支球隊？（引導(dǎo)學(xué)生思考：雙循環(huán)無需除以2，總場次為x(x-1)，方程為x(x-1)=42，解得x=7）5.規(guī)律總結(jié)：單循環(huán)問題總次數(shù)=x(x-1)/2（x為參與對象數(shù)），雙循環(huán)問題總次數(shù)=x(x-1)，核心是判斷“是否存在重復(fù)計數(shù)”，避免漏乘或多乘1/2。（三）數(shù)字問題：利用“數(shù)位關(guān)系”建模1.典型例題：一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字大3，將十位數(shù)字與個位數(shù)字交換位置后得到的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的積是574，求原兩位數(shù)。2.師生共研：第一步：用字母表示數(shù)位。設(shè)原兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x+3，原兩位數(shù)可表示為10(x+3)+x=11x+30；交換位置后新兩位數(shù)為10x+(x+3)=11x+3。第二步：建立等量關(guān)系。根據(jù)“新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的積是574”，列方程：(11x+30)(11x+3)=574。第三步：解方程并檢驗。展開方程得121x2+363x+90=574，整理為121x2+363x-484=0，兩邊除以121得x2+3x-4=0，因式分解得(x+4)(x-1)=0，解得x=1（x=-4舍去）。因此原兩位數(shù)為11×1+30=41，檢驗：41×14=574，符合題意。3.規(guī)律總結(jié)：數(shù)字問題的核心是“數(shù)位×位權(quán)”，如兩位數(shù)=十位數(shù)字×10+個位數(shù)字，三位數(shù)=百位數(shù)字×100+十位數(shù)字×10+個位數(shù)字，設(shè)未知數(shù)時優(yōu)先設(shè)個位數(shù)字，避免出現(xiàn)分?jǐn)?shù)。三、例題精講，鞏固提升（10分鐘）1.綜合應(yīng)用題：傳播問題的延伸例1：某種病毒最初有2人感染，經(jīng)兩輪傳播后共有50人被感染，求每輪傳播中平均一個人會傳染給幾個人？若病毒得不到控制，三輪傳播后將有多少人被感染？解析：設(shè)每輪傳染x人，第一輪新增2x人，第二輪新增x(2+2x)人，總?cè)藬?shù)為2+2x+x(2+2x)=50，整理得x2+2x-24=0，解得x=4（x=-6舍去）。三輪傳播后人數(shù)為50×(1+4)=250人。強(qiáng)調(diào)初始基數(shù)不為1時的方程建立方法。2.易錯辨析題：循環(huán)問題的計數(shù)例2：某航空公司有若干個飛機(jī)場，每兩個飛機(jī)場之間都開通一條航線，一共開通了10條航線，該航空公司共有多少個飛機(jī)場？探究2

兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元.隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元.哪種藥品成本的年平均下降率較大?下降率是什么意思？它與前一年成本、本年成本之間有何數(shù)量關(guān)系？知識點(diǎn)1平均變化率問題下降率是下降的成本與前一年成本的比值；下降率=×100%前一年成本－本年成本前一年成本探究2

兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元.隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元.哪種藥品成本的年平均下降率較大?分析：下降后的量=下降前的量（1-下降率）設(shè)甲種藥品成本平均每年的下降率為x.第一次下降前的量5000第二次下降前的量5000（1-x）下降率x第二次下降后的量5000（1-x）2下降率x設(shè)甲種藥品成本平均每年的下降率為x，則下降一次后的成本變?yōu)?/p>

，再次下降后的成本變?yōu)?/p>

.（用代數(shù)式表示）5000(1-x)5000(1-x)2根據(jù)問題的實際意義，成本的年平均下降率應(yīng)是小于1的正數(shù).（舍）算一算：類似于甲種藥品成本年平均下降率的計算，乙種藥品成本的年平均下降率是多少?設(shè)乙種藥品成本平均每年的下降率為

y，

則由等量關(guān)系可得方程

.6000(1-y)2=3600（舍）兩種藥品成本的年平均下降率相等.成本下降額較大的產(chǎn)品，其成本下降率不一定較大．成本下降額表示絕對變化量，成本下降率表示相對變化量，兩者兼顧才能全面比較對象的變化狀況.思考：經(jīng)過計算，你能得出什么結(jié)論?成本下降額大的藥品，它的成本下降率一定也大嗎?應(yīng)怎樣全面地比較幾個對象的變化狀況?

某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)去年總產(chǎn)值100億元，計劃兩年后總產(chǎn)值達(dá)到121億元，求平均年增長率.解：設(shè)總產(chǎn)值的年平均增長率為x.

依題意100(1+x)2=121，

解得：x1=0.1，x2=-2.1(舍去)，

∴年平均增長率為10%.與探究2相比，一個是計算增長率，一個是計算下降率.思維拓展解決下面的問題，它與探究2有什么不同？嘗試歸納出變化率問題的計算公式平均增長率設(shè)基礎(chǔ)量為a，平均增長率為x，則一次增長后的量為a(1+x)，兩次增長后的量為a(1+x)2……依此類推，n次增長后的量為a(1+x)n平均降低率設(shè)基礎(chǔ)量為a，平均降低率為x，則一次降低后的量為a(1-x)，兩次降低后的量為a(1-x)2……依此類推，n次降低后的量為a(1-x)n增長率可以大于100%降低率不能大于100%例

某口罩生產(chǎn)廠生產(chǎn)口罩，1月份平均日產(chǎn)量為20000個，1月底因市場對口罩需求量增大，為滿足市場需求，工廠決定從2月份起擴(kuò)大產(chǎn)能，3月份平均日產(chǎn)量達(dá)到24200個.(1)求口罩日產(chǎn)量的月平均增長率；(2)按照這個增長率，預(yù)計4月份平均日產(chǎn)量為多少?分析：設(shè)口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為x.基礎(chǔ)量第1次增長后的量第2次增長后的量2000020000(1+x)20000(1+x)2解：(1)設(shè)口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為x.根據(jù)題意，得20000(1+x)2=24200,解得x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合題意，舍去).答：口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為10%.解題策略：一般地，平均變化率問題中形如a(1±x)2=b(a，b為常數(shù))的一元二次方程用直接開平方求解比較簡單.(2)24200×(1+10%)=26620(個).答：預(yù)計4月份平均日產(chǎn)量為26620個.例一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件.當(dāng)每件商品降價多少元時，該商店每天的銷售利潤為1200元?知識點(diǎn)2銷售問題分析：設(shè)每件商品降價x元時，該商店每天的銷售利潤為1200元.每件盈利/元銷售數(shù)量/件獲得利潤/元原來402040×20現(xiàn)在40-x20+2x(40-x)(20+2x)解：設(shè)當(dāng)每件商品降價x元時，該商店每天的銷售利潤為1200元.根據(jù)題意，得(40-x)(20+2x)=1200.整理，得x2-30x+200=0.解得x1=10，x2=20.因為要求每件盈利不少于25元，所以40-x≥25，解得x≤15.所以x2=20應(yīng)舍去.所以x=10.答：當(dāng)每件商品降價10元時，該商店每天的銷售利潤為1200元.解題策略：用表格將題目中的各個量表示出來，可以直觀地理順?biāo)鼈冎g的關(guān)系，便于從中找出等量關(guān)系，列出方程.如本題將每件盈利、銷售數(shù)量、獲得利潤進(jìn)行對比，從而比較容易地找出等量關(guān)系.銷售問題中常見的幾個等量關(guān)系：（1）利潤=售價-進(jìn)價；（2）（3）售價=進(jìn)價×（1+利潤率）；（4）總利潤=總售價-總成本=單件利潤×銷售總量.知識點(diǎn)1

平均變化率問題

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返回3.［2025邯鄲期中］為執(zhí)行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經(jīng)過兩次降價，每盒零售價由16元降為9元，則平均每次降價的百分率是(

)C

返回4.

2024年10月30日，神舟十九號載人飛船發(fā)射升空.某紀(jì)念品商店為滿足航空航天愛好者的需求，特推出了“中國空間站”模型.已知該模型10月售出256件，11月、12月銷量持續(xù)走高，12月售出40