一次函數(shù)與面積問題【方法技巧專題】方法指導(dǎo)

當所求三角形的一邊在坐標軸上或與坐標軸平行時，直接利用三角形的面積公式計算三角形的面積.0B

C

武

B①

②1

直接利用面積公式求面積如

圖②,如圖①,類型1.[2025

·南陽鎮(zhèn)平縣期末]如圖，已知直線y=—2x+6與y軸交于點A,

與直線y=x交于點B,則它們

與

y軸所圍成的△AOB

的面積是2.

[2025·南陽方城縣期中]在平面直角坐標系中，

一次函數(shù)的圖象與

x軸的交點為

M,

與

y軸的交

點為

N,且經(jīng)過點A(3,2)和點B(2,3).(1)求此一次函數(shù)的表達式及點M、N

的坐標；(2)若點C

的坐標為(3,0),求△MNC

的面積.解：(1

)

設(shè)

一

次函

數(shù)

的表

達式為

y=kx+b(k≠0).將

A(3,2)、B(2,3)

分別代入，得解

得所以

一次函數(shù)的表達

式為

y=-x+5.令y=0,

則

0

=-x+5,解得x=5,所

以

點

M的坐標為(5

,

0

),令x=0,y=5,

所以

點

N

的坐標

為

(0

,5)

.(

2

)因為M(5,0)

、C(3,0),所以

MC=5-3=2.方法指導(dǎo)當所求圖形的面積不能用面積公式直接求出時，通常用和差法將所求圖形的面積轉(zhuǎn)化為兩個圖形的

面積的和或差

.(|xc|+|xB|)(|yA|-|yB或|).2

利用和差法求面積如

圖①

,類型①或

S

四邊形ABDO=S△ABC

S△OcD=如圖②,

連

結(jié)

OB,與

x軸交于點B,

與

y

軸交于點D,

直線l?

與y

軸交于點C.(1)求直線

l?

對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)連結(jié)

B

C,

求△ABC

的面積.3.如圖，已知直線

l

?:y?=x+2與直線l?:y?=kx-1

交于點A,

點

A

的縱坐標為1,且直線l?解：(1)因為點

A在直線

l?:y?=x+2上，點A的縱

坐標為1

,所

以

x+2=1,

解

得

x=-1.所以

點

A

的

坐

標

為(-1

,

1

)

.因為

點

A(-1,1)

在

直

線l?

一1上，所以

—k-1=1,

解

得k=-2.所以直線l?對應(yīng)的函

數(shù)表達式為

y?=-2x-1.(

2

)

因

為直

線

l?

與

x軸交于點B,所

以

x+2=0,

解

得

x=-2.

所

以B(-2,0).所

以

OB=2.依題意，得

C(0,-1),D(0,2),即OC=1,OD=2.所

以DC=OD+OC=2+1=3.所

以

,

即

△ABC

的

面

積

為4.如圖，直線

y=kx+4

經(jīng)過點

B(—6,0)

和點C(m,2),與y軸交于點A,經(jīng)過點C的另一條直線與y

軸交于點D(0,1).(1)求點A

的坐標及直線CD

對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)求四邊形OBCD

的面積.所

以

直線

AB

對應(yīng)

的函

數(shù)表達

式為

當

x=0

時

，y=4,

所以點A的坐標

為(

0

,

4

).把

C(m,2)

代入

,

得

,解得

m=-3.

所

以

點C

的坐標

為(一

3

,

2

)

.解：

(1)

把

B

(一

6

,

0

)代入

y=kx+4,

得一6k+4=0,解

得設(shè)直線CD

對

應(yīng)的

函數(shù)

表達式為y=ax+b(a≠0).把

C(-3,2)、D(0,1)分別代

入

，所以直線CD對應(yīng)的函數(shù)表達式為得(2)如圖，過點C

作

CFLAD,垂

足

為

點F.由

(1

)可

知A(0,4)

、B(

一

6

,

0

)

、C(

一3

,

2

)

、D(0,1),所

以O(shè)A=4,OB=6,CF=3,OD=1.所以

AD=OA

一

OD=4-1=3.所以5.如圖，一次函數(shù)y=kx+b

的圖象經(jīng)過點A(—2,6),且與

x軸相交于點

B,

與正比例函數(shù)y=

3x

的圖象相交于點C,

點

C的橫坐標為1.3

由圖形的面積關(guān)系求點的坐標(1)求

k、b的值；y=kx+b類型解：對于

y=3x,

當x=1

時，y

=3×1=3,所

以

點C的坐標為(

1

,

3

)

.將A(-2,

6)、C(1,3)分別

代

入y=kx+b,解

得得(2)若點D在y軸上，且滿足求點

D的坐標

.G解：由(1)可知

y

=

一x+4,當y

=0時，一x+4=0,

解得

x=4,所以點

B

的坐

標

為

(4,0)

.

所以

OB=4.設(shè)

點

D的坐

標

為

(

0

,m),則

.因

為

,所

X所以點D

的坐標為(0

,-

4

)或(0

,

4

)

.,

解得

m=±4.y=kx+b四6.如圖，

一次函數(shù)y=kx

+9

的圖象與y

軸相交

于點A,與

x

軸相交于點

C,并與直線

相交于點B,其中點

B

的橫坐標為3

.(1)求點

B

的坐標和k的值；(2)Q

為

直

線y=kx+9上一動點，若△OBQ的面積為

求點Q

的坐標

.解：(1)把

x=3

代

入

,

得

y=5,所

以

點B

的坐標為

(3

,5

)

.因

為

點

B(3,5)在

一次

函

數(shù)十9

的圖

象

上，所

以

3k

+9=5,解

得(2)

把x

=0代入