18.3正方形知識點1

正方形的性質(zhì)1.

[2025·

南陽南召縣期末]矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是

(

)A.

對角線相等B.

對角線互相平分C.對角線互相垂直D.

對角線平分對角2.如圖，邊長為3的正方形OBCD

的兩邊與坐標(biāo)軸的正半軸重合，則點C的坐標(biāo)是

(

)A.(3,-3)

B.(—3

,3)C.(3,3)D.(—3,-3)

3.如圖，在正方形ABCD

中，對角線

相

交于點

O,OE//AB交

BC

于點

E.

若

AD=8

cm,則

OE的長為()A.3

cmB.4

cmC.6

cm

D.8

cm4.

如圖，在正方形

ABCD

中，對角線

AC

、BD

相交于點O,E為邊AB

上一點，且AE=OA,

則

∠BOE

的度數(shù)為

5.[2025·洛陽嵩縣期末]如圖，正方形ABCD的

邊

長是6,對角線

AC

、BD

相

交

于

點

O,點別

在

邊

AD、AB

上，且

OELOF

,

則四

邊

形AFOE

的面積為分6.【教材

P141習(xí)題T2

變式題】如圖，在正方形

ABCD中

，P、Q

分

別

為

邊

CD

、AD上的點，且

AQ=

DP,連

結(jié)

BQ

、AP.求

證

：BQLAP.證明：∵四邊形ABCD

是

正

方

形，∴AB=DA,∠BAD=∠ADC=90°.∵AQ=DP,∴△ABQ≌△DAP(SAS).∴∠ABQ=∠DAP.∵∠DAP+∠BAP=90°,∴∠ABQ+∠BAP=90°.∴BQLAP.知識點2

正方形的判定7.添加下列哪個條件，能使矩形

ABCD

成

為

正方形的是

(

)A.BD=AC

B.CD=ADC.∠AOB=60°

D.OD=CDO,

請?zhí)砑右粋€條件：

,使得菱形ABCD

成為正方形.8.

新考向

開放性問題

如圖

，在菱形ABCD

中，對角

線

AC

、BD

相交于點B9.

如圖，在菱形

ABCD中，對角線

AC

、BD相交于點

O,點E

、F

在對角線

BD上，且

BE=

DF,OE=OA.求證：四邊形AECF

是正方形.OB=OD.∵BE=DF,∴OB—BE=OD一DF,即

OE=OF.∴易證得四邊

形AECF是菱形

.又∵

OE=OA=0C,ACLBD,∴

易得

∠AEO=∠CEO=45°

.∴∠AEC=90°

.

∴四邊形

AECF是

正

方

形.證明：∵四邊形ABCD

是菱形

，∴AC⊥BD,OA=OC,B10.

以正方形ABCD

的邊

CD

為邊作等邊三角形CDE,

則∠AED

的度數(shù)為

無圖題考慮不全面25°,則∠CBE

的度數(shù)為

()A.70°B.65°C.55°D.50°11.如圖，在正方形

ABCD

中，對角線

AC、BD相交于點O,E、F

分別為

AC

、BD

上的點，且

OE=OF,連結(jié)

AF

、BE

、EF.若∠AFE=12.

如圖，將正方形OACD

放在平面直角坐標(biāo)系中，O

是坐標(biāo)原點，點D的坐標(biāo)為(3,4),則點A

的

坐標(biāo)為

,點C

的坐標(biāo)為

13.如圖，在邊長為8的正方形紙片ABCD

中，E是邊

BC

上的一點，BE=6,連結(jié)AE,

將正方

形紙片折疊，使點

D落在線段AE

上的點G

處，折痕為AF,

則

DF的長為

14.

如圖，在正方形

ABCD

中

，E

為

邊

AD

上

一點

，P

是對角線

AC

上任意一點(不與點A、C

重合),且∠EPB=90°,PMLAD

于

點

M,

PNLAB

于

點N.求證：(1)四邊形

PM

AN

是正方形；證

明：

∵

四

邊

形ABCD

是正

方形

，∴∠BAD=90°,AC平分∠BAD.∵PMlAD,PNLAB,∴∠PMA=∠PNA=90°,且PM=PN,∴∠NAM=∠PMA=∠PNA=90°,∴

四邊形

PMAN是矩形.又∵PM=PN,∴

四邊形

PMAN

是正

方形.Na=W(Z)15.新考向

類比探究

已

知

正

方

形

ABCD的

對

角

線AC

、BD相交于點O.(1)如圖①,若

E是

AC上一點，連結(jié)

BE,過

點A

作A

M

BE

交

BD

于點F,

垂足為

點M.

求證：OE=OF.(1)證明：∵四邊形

ABCD

是

正

方形，∴易得∠BOE=∠AOF=90°,OB=0A.∴∠AFO+∠MAE=90°

.∵AM⊥BE,∴∠AME=90°

.BEO

十

/

MAE=90°.

BEO=

AFO.在

△BOE和△AOF

中

，∵∠BEO=∠AFO,∠BOE=∠AOF,OB=OA,

∴△BOE≌△AOF(AAS).

OE=OF.①(2)如圖②,若點E在AC

的延長線上，AMlEB

的延長線于點M,延長

AM

交延長線于點F,結(jié)論“OE=OF”還成立嗎?

如果成立，請給出證明；如果不成立，請說

明理由.②的(

2

)

解：OE=OF

成

立

.

證

明

如

下：∵四

邊

形

ABCD

是

正

方

形，∴

易

得

∠