2025年秋季期期末學(xué)科素養(yǎng)檢測高二年級數(shù)學(xué)（全卷滿分150分考試時間120分鐘）注意：答案一律填寫在答題卡上，在試題卷上作答無效．考試結(jié)束將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則（）A.1 B. C. D.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.我國古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復(fù)始．已知雨水的晷長為9.5尺，立冬的晷長為10.5尺，則冬至所對的晷長為（

）A11.5尺 B.13.5尺 C.12.5尺 D.14.5尺4.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過分鐘后物體的溫度可由公式求得.其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于的常數(shù).現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，分鐘以后物體的溫度是，則約等于（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.5.如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長均為6，，，則的長為（）A. B. C. D.6.某企業(yè)投入萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是萬元，此外每年都要花費一定的維護(hù)費，第一年的維護(hù)費為萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費都比上一年增加萬元．為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（）A. B. C. D.7.在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，，則角等于（）A. B. C. D.8.如圖，正方形的邊長為，為邊的中點，為邊上一點，當(dāng)取得最大值時，（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.如圖，彈簧下端懸掛著的小球做上下運動（忽略小球的大?。?，它在時刻相對于平衡位置的高度可以田確定，則下列說法正確的是（）A.小球運動的最高點與最低點的距離為B.小球經(jīng)過往復(fù)運動一次C.時小球是自下往上運動D當(dāng)時，小球到達(dá)最低點10.下列四個命題中，真命題是（）A.過點，且在軸和軸上的截距相等的直線方程為B.與圓：關(guān)于直線：對稱的圓的方程為C.圓：與圓：的公共弦所在直線的方程為D.若點在圓：上，則的取值范圍為11.將數(shù)列中所有項排成如下數(shù)陣：從第2行開始每一行比上一行多兩項，且從左到右均構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列；第1列數(shù)，，，…成等差數(shù)列．若，，則（）A. B.C.位于第45行第88列 D.2024在數(shù)陣中出現(xiàn)兩次三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.一個圓錐的底面半徑為1，母線與底面的夾角為，則該圓錐的體積為______．13.已知雙曲線：左、右焦點分別為，，過的直線與的右支交于，兩點，若，，則的離心率為________.14.已知為上的奇函數(shù)，，若且，都有，則不等式的解集為______.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某校為了解高一1000名學(xué)生的物理成績，隨機抽查部分學(xué)生期中考試的成績，將數(shù)據(jù)分成，，，4組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這次物理成績的平均分（用組中值代替各組數(shù)據(jù)的平均值）；（3）若在本次考試中，規(guī)定物理成績比平均分高15分以上的為優(yōu)秀，估計該校學(xué)生物理成績的優(yōu)秀率（用百分?jǐn)?shù)表示）．16.已知拋物線：焦點在直線上．（1）求的方程；（2）若過點的直線與相交于，兩點，且的面積為4，求直線的方程．17.如圖，在底面為菱形的四棱錐中，，．（1）證明：；（2）若，點在線段上，且，求二面角的余弦值．18.已知為等差數(shù)列，為公比的等比數(shù)列，且，，．（1）求與的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和；（3）在（2）的條件下，若對任意的，，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．19.已知橢圓經(jīng)過點，離心率為，點O為坐標(biāo)原點．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)不與坐標(biāo)軸平行的直線與橢圓交于A，B兩點，與軸交于點P，設(shè)線段AB中點為M．（i）證明：直線OM的斜率與直線的斜率之積為定值；（ii）如圖，當(dāng)時，過點M作垂直于的直線，交軸于點Q，求的取值范圍．2025年秋季期期末學(xué)科素養(yǎng)檢測高二年級數(shù)學(xué)（全卷滿分150分考試時間120分鐘）注意：答案一律填寫在答題卡上，在試題卷上作答無效．考試結(jié)束將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運算以及模長公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，故．故選：D2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先化簡兩個不等式，再判斷它們之間的充要關(guān)系得解.【詳解】由題得，，而區(qū)間，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A【點睛】本題主要考查對數(shù)不等式的解法和絕對值不等式的解法，考查充分必要條件的判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.3.我國古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復(fù)始．已知雨水的晷長為9.5尺，立冬的晷長為10.5尺，則冬至所對的晷長為（

）A.11.5尺 B.13.5尺 C.12.5尺 D.14.5尺【答案】B【解析】【分析】設(shè)相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為，冬至的晷長為尺，根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，列出方程組求解即得.【詳解】設(shè)相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加量為，則立冬到冬至晷長增加，冬至到雨水晷長減少4，設(shè)冬至的晷長為尺，則，解得，則冬至所對的晷長為13.5尺.故選：B.4.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過分鐘后物體的溫度可由公式求得.其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的大于的常數(shù).現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，分鐘以后物體的溫度是，則約等于（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】列方程，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可【詳解】解：由題意得，，，兩邊取自然對數(shù)得，，所以，故選：A5.如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長均為6，，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由空間向量的線性運算及數(shù)量積運算求解．【詳解】由題意可得，以頂點為端點的三條棱長均為6，,,得，，則：.故選：C6.某企業(yè)投入萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是萬元，此外每年都要花費一定的維護(hù)費，第一年的維護(hù)費為萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費都比上一年增加萬元．為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為，設(shè)備年平均費用為萬元，求得關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式求出的最小值及其對應(yīng)的值，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為，設(shè)備年平均費用為萬元，則年后的設(shè)備維護(hù)費用為，所以年的平均費用為（萬元），當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為.故選：B.7.在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，，則角等于（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知結(jié)合正弦定理及三角形的性質(zhì)求出，再利用正弦定理即可求出角【詳解】因為，所以由正弦定理得，因為，所以，即，所以，所以，又，所以，又，，由正弦定理得，所以，所以或，由得，所以.故選：C8.如圖，正方形的邊長為，為邊的中點，為邊上一點，當(dāng)取得最大值時，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得出的最大值及其對應(yīng)的值，可得出，再利用兩角差的正切公式可求得的值.【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則、，設(shè)，則，，故，.所以，當(dāng)時，取得最大值，此時點，即點與點重合，且，此時.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.如圖，彈簧下端懸掛著小球做上下運動（忽略小球的大?。跁r刻相對于平衡位置的高度可以田確定，則下列說法正確的是（）A.小球運動的最高點與最低點的距離為B.小球經(jīng)過往復(fù)運動一次C.時小球是自下往上運動D.當(dāng)時，小球到達(dá)最低點【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】小球運動的最高點與最低點的距離為，所以選項A錯誤；因為，所以小球經(jīng)過往復(fù)運動一次，因此選項B正確；當(dāng)時，，所以是自下往上到最高點，再往下運動，因此選項C錯誤；當(dāng)時，，所以選項D正確，故選：BD10.下列四個命題中，真命題是（）A.過點，且在軸和軸上的截距相等的直線方程為B.與圓：關(guān)于直線：對稱的圓的方程為C.圓：與圓：的公共弦所在直線的方程為D.若點在圓：上，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)截距式的性質(zhì)，判斷選項A的正誤；根據(jù)點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)，求出對稱點，根據(jù)圓心和半徑，判斷選項B的正誤；根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，求出公共弦，判斷選項C的正誤；根據(jù)點在圓上的性質(zhì)，根據(jù)兩點之間的距離公式，判斷最大值和最小值，判斷選項D的正誤；【詳解】對于A，當(dāng)在軸和軸上的截距都為0時，設(shè)直線方程為，將的坐標(biāo)代入得，解得，此時直線方程為：當(dāng)在軸和軸上的截距相等，且不為0時，設(shè)直線方程為，將的坐標(biāo)代入得，解得，此時直線方程為，故A為假命題．選項B，設(shè)圓心關(guān)于直線：的對稱點為，則直線與直線垂直，直線的斜率為，，，①，和的中點為在直線：上，②，①②聯(lián)立方程組解得，，所求的圓與圓關(guān)于直線對稱，所求的圓的半徑，所求的圓的方程為，故B為真命題．對于C，圓：與圓：，兩圓心距離，可知兩圓相交，則兩圓的方程作差得，即，所以公共弦所在直線的方程為，故C為真命題．對于D選項，如圖所示：由題意可知，圓的圓心為，且該圓的半徑為，由圓的幾何性質(zhì)可得，，即，故，故D為真命題．故選：BCD.11.將數(shù)列中所有項排成如下數(shù)陣：從第2行開始每一行比上一行多兩項，且從左到右均構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列；第1列數(shù)，，，…成等差數(shù)列．若，，則（）A. B.C.位于第45行第88列 D.2024在數(shù)陣中出現(xiàn)兩次【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項公式求得第一列的通項公式，再由等比數(shù)列的通項公式，對各個選項分析，即可求解.【詳解】由第列數(shù)，，，，…成等差數(shù)列，設(shè)公差為，由，，可得，，解得，，則第一列的通項公式為，故A正確；而又從第行開始每一行比上一行多兩項，且從左到右均構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，可得，故B不正確；考慮每一行的最后一個數(shù)為，，，，…，而，即是的前一個數(shù)，而在第行，又這一行共有個數(shù)，則在第行第列，故C正確；設(shè)第行第個數(shù)為，令，由，解得；令，由，解得不為整數(shù)；令，由，解得；令，由，解得不為整數(shù)；故出現(xiàn)兩次，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.一個圓錐的底面半徑為1，母線與底面的夾角為，則該圓錐的體積為______．【答案】【解析】【分析】由圓錐的幾何特征求解．【詳解】由圓錐的底面半徑為1，母線與底面的夾角為，易知圓錐的軸截面為等腰直角三角形，所以圓錐的高為1，所以圓錐的體積為：．故答案為：13.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過的直線與的右支交于，兩點，若，，則的離心率為________.【答案】【解析】【分析】由雙曲線定義及余弦定理求得關(guān)系進(jìn)而求出離心率.【詳解】如圖，設(shè)，則，因為，所以，則.在中，由余弦定理得，即，化簡可得，故.故答案：.14.已知為上的奇函數(shù)，，若且，都有，則不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由題意得到為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，由，將原不等式轉(zhuǎn)化為，然后利用函數(shù)的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化得到不等式，解不等式即可.【詳解】設(shè)，由且，得，則在上單調(diào)遞增，因為為奇函數(shù)，所以，所以，故為偶函數(shù)，而，所以有，又在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以所求不等式解集為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某校為了解高一1000名學(xué)生的物理成績，隨機抽查部分學(xué)生期中考試的成績，將數(shù)據(jù)分成，，，4組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這次物理成績的平均分（用組中值代替各組數(shù)據(jù)的平均值）；（3）若在本次考試中，規(guī)定物理成績比平均分高15分以上的為優(yōu)秀，估計該校學(xué)生物理成績的優(yōu)秀率（用百分?jǐn)?shù)表示）．【答案】（1）；（2）81；（3）10%．【解析】【分析】（1）由解得結(jié)果即可得解；（2）用各組中值乘以該組的頻率，再相加可得結(jié)果；（3）由可得結(jié)果.【詳解】（1）由題可知，，解得．（2）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，可得平均分的估計值為分．（3）由（2）可知，規(guī)定物理成績高于96分的為優(yōu)秀，所以．估計該校學(xué)生物理成績的優(yōu)秀率為10%．【點睛】本題考查了由直方圖求參數(shù)，考查了由直方圖求平均數(shù)，考查了由直方圖求頻率，屬于基礎(chǔ)題.16.已知拋物線：的焦點在直線上．（1）求的方程；（2）若過點的直線與相交于，兩點，且的面積為4，求直線的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）先根據(jù)拋物線的方程確定焦點所在位置，再根據(jù)焦點在直線上確定焦點坐標(biāo)，進(jìn)而確定的值，得到拋物線的方程.（2）設(shè)直線：，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，用表示出，結(jié)合可求的值，進(jìn)而得到直線的方程.【小問1詳解】因為拋物線：（）的焦點在軸正半軸上，對于直線，令，可得，可知焦點，即，可得，所以拋物線E的方程為．【小問2詳解】如圖，可知直線的斜率可能不存在，但不為0，設(shè)：，，聯(lián)立及的方程得，則，此時，，解得．故直線的方程為或．17.如圖，在底面為菱形的四棱錐中，，．（1）證明：；（2）若，點在線段上，且，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，得，證得平面，從而得證線線垂直；（2）設(shè)，求得可得，以以為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．用空間向量法求二面角．【詳解】（1）取的中點，連接，，，因為四邊形是菱形，且，所以，且，所以為正三角形，．因為，所以．又，所以平面，因為平面，所以．（2）設(shè)，則，所以，所以．由（1）知，，又，，所以，所以．故以為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，所以，，．設(shè)是平面的法向量，則即取，則．設(shè)是平面的法向量，則即則，取，則．則，由圖易知二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為．【點睛】易錯點睛