ASn初中數(shù)學(xué)人教版(2024)八年級(jí)下冊(cè)第二十一章四邊形21

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3

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1矩

形第2課時(shí)

矩形的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷矩形判定定理的猜想與證明過(guò)程，理解并掌握矩形的判定

定理.

(重點(diǎn))2.能應(yīng)用矩形的判定定理解決簡(jiǎn)單的證明題和計(jì)算題.

(難點(diǎn))課堂引入1.矩形的定義是什么?2.矩形有哪些性質(zhì)?這些性質(zhì)，對(duì)我們尋找判定矩形

的方法有什么啟示?矩形的判定定理1四邊形是矩形嗎?猜想：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

已知：如圖，四邊形ABCD

是平行四邊形，

且AC=BD.求證：四邊形ABCD是矩形.問(wèn)題1

類比平行四邊形的定義也是判定平行四邊形的一種方法，那么矩形的定義也是判定矩形的一種方法.我們知道，矩形是對(duì)角線相等的平行四邊形.反過(guò)來(lái)，對(duì)角線相等的平行DCB提示∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC,AB//DC,又AC=BD,BC=CB,∴△ABC≌△DCB(SSS),∴∠ABC=∠DCB,∵AB//DC,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴∠ABC=90°,∴四邊形ABCD是矩形.知識(shí)梳理矩形的判定定理1:對(duì)角線相等

的平行四邊形是矩形.幾何語(yǔ)言：如圖，∵四邊形ABCD

是平行四邊形，且AC=BD,

∴四邊形ABCD是矩形.B

CM例1

如圖，在□ABCD

中，對(duì)角線AC,BD

相交于點(diǎn)O,且OA=OD,∠OAD=50°.

求∠OAB

的度數(shù).A

B解

∵四邊形ABCD是平行四邊形，又OA=OD,∴AC=BD,∴四邊形ABCD

是矩形，∴∠

DAB=90°.又∠OAD=50°,∴∠OAB=40°

.跟蹤訓(xùn)練1

如圖，在□ABCD

中，∠1=∠2.四邊形ABCD

是矩形嗎?為什么?解四邊形ABCD是矩形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠1=∠2,∴OA=OB,∴AC=BD,∴四邊形ABCD是矩形.DCB7二、

矩形的判定定理2問(wèn)題2前面我們研究了矩形的四個(gè)角，知道它們都是直角.它的逆命題成立嗎?即四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形嗎?進(jìn)一步，至少有幾個(gè)角

是直角的四邊形是矩形?提示逆命題成立；四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形；如圖，至少有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.(有一個(gè)角是直角)(有二個(gè)角是直角)(有三個(gè)角是直角)CA'BA知識(shí)梳理矩形的判定定理2:有三個(gè)角_是直角

的四邊形是矩形.幾何語(yǔ)言：如圖，∵∠A=∠B=∠C=90°,∴四邊形ABCD是矩形.

A

B例2

(課本P71例2)如圖，□ABCD

的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E,F,G,H,

求證：四邊形EFGH

是矩形.證明

∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴AB//CD,∴∠BAD+∠ADC=180°.又AF,DF

分別平分∠BAD,∠ADC,∴∠F=90°,同理∠H=∠AEB=90°,∴∠FEH=∠AEB=90°,四邊

形EFGH是矩形.D反思感悟題設(shè)中隱含多個(gè)直角或垂直時(shí)，常采用“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來(lái)判定矩形.跟蹤訓(xùn)練2

如圖，在△ABC

中，AB=AC,AD⊥BC,垂足為D,AN

是△ABC

外角∠CAM

的平分線，CE⊥AN,

垂足為E,

求證：四邊形ADCE為矩形.證明

∵在△ABC中

，AB=AC,AD⊥BC,又∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°,∴四邊形ADCE

為矩形.又∵AN是△ABC外角∠CAM

的平分線，課堂小結(jié)判定一個(gè)四邊形是矩形的思路有三個(gè)角是直角

矩形四邊形平行四邊形對(duì)角線相等有一個(gè)角是直

角矩形矩形課堂練習(xí)1.已知平行四邊形ABCD,下列條件中，不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形的是A.∠A=∠BC.AC=BD

D.ABLBC課堂練習(xí)2.如圖，直線EF//MN,PQ

分別交EF,MN

于A,C兩

點(diǎn)

，AB,CB,CD,AD分別是∠EAC,∠MCA,∠ACN,∠CAF的平分線，則四邊形ABCD

是A.梯形

B.

平行四邊形CC

矩

形

D.不能確定N課堂練習(xí)3.

(課本P71練習(xí)第2題)如圖，□ABCD的對(duì)角線AC,BD

相交于點(diǎn)0,△OAB

是等邊三角形，且AB=2,求□ABCD的面積.解

∵△ABO是等邊三角形，∴OA=OB=AB,∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC,OB=OD,∴OA=OC=OB=OD,∴AC=BD,BC課堂練習(xí)3.

(課本P71練習(xí)第2題)如圖，□ABCD的對(duì)角線AC,BD

相交于點(diǎn)0,△OAB

是等邊三角形，且AB=2,求□ABCD的面積.解

∴四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°,∵OA=AB=2,AC=2OA=4,∴由勾股定理得BC=

√42-22=2

√3,∴□ABCD

的面積是BC

·AB=2

√3×2=4

√3.BC課堂練習(xí)4.如圖，在△ABC中，AB=AC,

點(diǎn)D,E分別是線段BC,AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC

的平行線交BE

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

連接CF.

求證：四邊形ADCF

是矩形.證明

∵AF//BC,∴∠AFE=∠DBE,∵E是線段AD的中點(diǎn)，∴AE=DE,∵∠AEF=∠DEB,∴△BDE≌△FAE(AAS),AF=BD,B

C課堂練習(xí)4.如圖，在△ABC

中，AB=AC,

點(diǎn)D,E分別是線段BC,AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC

的平行線交BE

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

連接CF.求證：四邊形