2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷（考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教B版2019選擇性必修第一冊+第二冊第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，且，那么（

）A．4 B．6 C．8 D．2．哈三中百年校慶活動將5名教師志愿者分配到教學(xué)樓、田徑場、藝體中心、普育廣場4個(gè)地點(diǎn)參加志愿活動，每名志愿者僅去1個(gè)地點(diǎn)，每個(gè)地點(diǎn)至少需要1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種3．某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)（如下表），由最小二乘法求得回歸直線方程為．零件數(shù)x（個(gè)）12345加工時(shí)間y（min）50677179表中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為（）A．55B．55.8C．59 D．514．某奧運(yùn)會期間，旅客人數(shù)（萬人）為隨機(jī)變量，則．記一天中旅客人數(shù)不少于萬人的概率為，則的值約為（

）（參考數(shù)據(jù)：若，則，，）A． B． C． D．5．如圖，在棱長為6的正四面體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知圓與圓的公共弦所在的直線與直線平行，則兩平行線間的距離為（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，若，且雙曲線的離心率為，則（

）A． B． C． D．8．為測試一種新藥的有效性，研究人員對某種動物種群進(jìn)行試驗(yàn)，從該試驗(yàn)種群中隨機(jī)抽查了100只，得到如下數(shù)據(jù)（單位：只）：發(fā)病未發(fā)病合計(jì)使用藥物104050未使用藥物302050合計(jì)4060100從該動物種群中任取1只，記事件表示此動物發(fā)病，事件表示此動物使用藥物，定義的優(yōu)勢，在發(fā)生的條件下的優(yōu)勢，則（

）A．可化簡為，估計(jì)其值為 B．可化簡為，估計(jì)其值為C．可化簡為，估計(jì)其值為 D．可化簡為，估計(jì)其值為二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列命題中，正確的命題是（

）A．已知，則B．設(shè)隨機(jī)變量服從，若，則C．已知隨機(jī)變量服從，若，則D．根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)（），可判斷與不獨(dú)立10．已知拋物線：（）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，過的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為 B．若，則點(diǎn)到軸的距離為6C．當(dāng)，則直線的傾斜角為 D．11．如圖，在直三棱柱中，，，是棱的中點(diǎn)，在底面內(nèi)（包括邊界），則下列說法正確的是（

）A．的最小值為 B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為C．存在唯一，使 D．若，則三棱錐外接球的半徑為第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．的展開式中的系數(shù)是（用數(shù)字作答）13．有3個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字的小球，從中有放回地隨機(jī)取4次，每次取1個(gè)球．記為這3個(gè)球中至少被取出1次的球的個(gè)數(shù)，則的數(shù)學(xué)期望．14．?dāng)?shù)學(xué)家笛卡爾通過研究一簇花瓣和葉形曲線特征，得到了一簇花瓣曲線的一般方程為：，該方程表示的曲線就是優(yōu)美的“笛卡爾葉形線”，若某種花瓣曲線特征滿足（如圖），該花瓣曲線上任意一點(diǎn)，則的范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知，且展開式中有且僅有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(1)求展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)求的值；(3)判斷的展開式中第幾項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大.16．（15分）如圖，在三棱柱中，，，，平面.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值.17．（15分）某興趣小組為宣傳傳統(tǒng)非遺文化制定了兩種宣傳方法，為了解兩種宣傳方法的宣傳效果，該小組在人群中隨機(jī)對84人進(jìn)行了宣傳（宣傳前所有人均未了解過），其中42人采用宣傳方法一，其余采用宣傳方法二，宣傳后的人群對傳統(tǒng)非遺文化的了解程度分為“比較了解”和“有點(diǎn)了解”.經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，采用宣傳方法一宣傳后的人中有30人是“比較了解”，采用宣傳方法二宣傳后的人中有18人是“比較了解”.(1)以頻率估計(jì)概率，現(xiàn)給2人采用宣傳方法一宣傳傳統(tǒng)非遺文化（宣傳前均未了解過），記宣傳后“比較了解”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)列出列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否可以認(rèn)為宣傳效果與宣傳方法有關(guān)?(3)若按照宣傳方法進(jìn)行分層抽樣，從這84人中隨機(jī)抽取14人，再從這14人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到“有點(diǎn)了解”的人的情況下，第二次抽到采用宣傳方法二宣傳且了解程度為“有點(diǎn)了解”的人的概率.附：，.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.82818．（17分）近年來，隨著電腦、智能手機(jī)的迅速普及，我國在線教育行業(yè)出現(xiàn)了較大的發(fā)展．某在線教育平臺為了解利用該平臺學(xué)習(xí)的高一學(xué)生化學(xué)學(xué)習(xí)效果，舉行了一次化學(xué)測試，并從中隨機(jī)抽查了200名學(xué)生的化學(xué)成績（單位：分），將他們的成績分成以下6組：，，，…，，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下面的頻數(shù)分布表所示．組別頻數(shù)203040603020(1)現(xiàn)利用分層隨機(jī)抽樣的方法從前3組中抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取4人調(diào)查其成績不理想的原因，設(shè)這4人中來自前2組的人數(shù)為，求的分布列和期望．(2)高一學(xué)生的這次化學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并已求得．（ⅰ）試估計(jì)這些學(xué)生這次化學(xué)成績在區(qū)間內(nèi)的概率（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．（ⅱ）為了提升學(xué)生的成績，該平臺決定免費(fèi)贈送給在平臺學(xué)習(xí)的學(xué)生若干學(xué)習(xí)視頻，具體贈送方案如下：方案1：每人均贈送25小時(shí)學(xué)習(xí)視頻．方案2：這次測試中化學(xué)成績不高于56.19分的學(xué)生贈送40小時(shí)的學(xué)習(xí)視頻，化學(xué)成績在內(nèi)的學(xué)生贈送30小時(shí)的學(xué)習(xí)視頻，化學(xué)成績高于84.81分的學(xué)生贈送10小時(shí)的學(xué)習(xí)視頻．問：哪種方案該平臺贈送的學(xué)習(xí)視頻總時(shí)長更多？請根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算說明．參考數(shù)據(jù)：若，則，．19．（17分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求的取值范圍及的值；(3)點(diǎn)，在橢圓上，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，過點(diǎn)與垂直的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，軸，垂足為，直線與軸交于點(diǎn)，的面積和的面積分別記為，，求的值.2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷參考答案第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。12345678BCDAACDA二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．91011ACDABDBCD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12． 13． 14．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．【詳解】（1）因?yàn)檎归_式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以， 2分所以展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為. 4分（2）令，得. 6分令，得，所以. 8分（3）展開式的通項(xiàng).由得. 11分因?yàn)閞為整數(shù)，所以，所以的展開式中第5項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大. 13分16．【詳解】（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)槠矫?，在平面?nèi)，所以，因?yàn)?，又都在平面?nèi)，所以平面， 3分又因?yàn)槠矫?，所以平面平? 5分（2）因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平面，在平面?nèi)，所以，因?yàn)?，，所?又由（1）知，，兩兩垂直， 6分所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，. 8分設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以為平面的一個(gè)法向量， 10分而.設(shè)與平面所成角為，則， 13分因?yàn)椋? 15分17．【詳解】（1）依題意可得，采用宣傳方法一宣傳后的人是“比較了解”的概率為，所以，則，，， 3分所以的分布列為012 5分則. 6分（2）由題意，列聯(lián)表如下：宣傳方法了解程度合計(jì)有點(diǎn)了解比較了解方法一123042方法二241842合計(jì)364884 8分零假設(shè)：宣傳效果與宣傳方法無關(guān).經(jīng)計(jì)算得，所以依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即可以認(rèn)為宣傳效果與宣傳方法有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01. 11分（3）14人中，采用宣傳方法一宣傳且了解程度為“有點(diǎn)了解”的有人，采用宣傳方法二宣傳且了解程度為“有點(diǎn)了解”的有人，記事件表示“第一次抽到‘有點(diǎn)了解’的人”，事件表示“第二次抽到采用宣傳方法二宣傳且了解程度為‘有點(diǎn)了解’的人”，則，， 13分所以. 15分18．【詳解】（1）因?yàn)槌闃颖葹?，所以從中抽取（人），從中抽?。ㄈ耍瑥闹谐槿。ㄈ耍?3分則的所有可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，故的分布列為：X01234P 6分∴． 8分（2）（?。?， 10分所以，，，．所以． 12分（ⅱ）對于方案2：設(shè)每位學(xué)生所獲贈學(xué)習(xí)視頻小時(shí)數(shù)為，則可取．，，． 15分，因?yàn)椋苑桨?該平臺贈送的學(xué)習(xí)視頻總時(shí)長更多. 17分19．【詳解】（1）由題意，解得， 3分所以橢圓的方程為. 4分（2）設(shè)，則有，兩式相減得， 6分聯(lián)立直線與橢圓的方程得，消去整理得，則有，解得，. 9分（3）設(shè)，則，由題意顯然知，直線的斜率為，因?yàn)?，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，消去得：，所以， 11分解得，，直線的方程為， 13分令，則， 15分所以. 17分2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷全解全析（考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教B版2019選擇性必修第一冊+第二冊第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，且，那么（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所?故選：B2．哈三中百年校慶活動將5名教師志愿者分配到教學(xué)樓、田徑場、藝體中心、普育廣場4個(gè)地點(diǎn)參加志愿活動，每名志愿者僅去1個(gè)地點(diǎn)，每個(gè)地點(diǎn)至少需要1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行：①將5名教師志愿者分為4組，有種分組方法，②將分好的4組安排4個(gè)地點(diǎn)參加志愿活動，有種情況，則有種分配方案.故選：C3．某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)（如下表），由最小二乘法求得回歸直線方程為．零件數(shù)x（個(gè)）12345加工時(shí)間y（min）50677179表中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為（）A．55 B．55.8C．59 D．51【答案】D【詳解】回歸直線必過樣本點(diǎn)中心，其中，所以，所以不清楚的數(shù)值為.故選：D4．某奧運(yùn)會期間，旅客人數(shù)（萬人）為隨機(jī)變量，則．記一天中旅客人數(shù)不少于萬人的概率為，則的值約為（

）（參考數(shù)據(jù)：若，則，，）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，，，，，.故選：A.5．如圖，在棱長為6的正四面體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】作平面，垂足為，連接，則為的中心，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，設(shè)，所成的角為，所以.故選：A.6．已知圓與圓的公共弦所在的直線與直線平行，則兩平行線間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】圓與圓的方程相減得，即為圓與圓的公共弦所在直線方程，由直線與直線平行，得，解得，當(dāng)時(shí)，兩直線方程均為，此時(shí)兩直線重合，故舍去；當(dāng)時(shí)，公共弦所在直線方程為，即，直線，兩直線平行，此時(shí)圓，即，即圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，符合題意，所以的值為，此時(shí)兩直線距離為.故選：C7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，若，且雙曲線的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，因?yàn)椋?，由雙曲線的定義可得，所以，在中，由余弦定理得，在中，，設(shè)，則，由得，解得，所以，所以.故選：D.8．為測試一種新藥的有效性，研究人員對某種動物種群進(jìn)行試驗(yàn)，從該試驗(yàn)種群中隨機(jī)抽查了100只，得到如下數(shù)據(jù)（單位：只）：發(fā)病未發(fā)病合計(jì)使用藥物104050未使用藥物302050合計(jì)4060100從該動物種群中任取1只，記事件表示此動物發(fā)病，事件表示此動物使用藥物，定義的優(yōu)勢，在發(fā)生的條件下的優(yōu)勢，則（

）A．可化簡為，估計(jì)其值為 B．可化簡為，估計(jì)其值為C．可化簡為，估計(jì)其值為 D．可化簡為，估計(jì)其值為【答案】A【詳解】1.化簡.已知，則，由條件概率公式，所以，2.根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算概率由列聯(lián)表可知，，所以二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列命題中，正確的命題是（

）A．已知，則B．設(shè)隨機(jī)變量服從，若，則C．已知隨機(jī)變量服從，若，則D．根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)（），可判斷與不獨(dú)立【答案】ACD【詳解】對于A：，所以A正確；對于B：因?yàn)樽兞?，所以，所以B錯(cuò)誤；對于C：根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式可得，，解得，所以C正確；對于D：獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若統(tǒng)計(jì)量大于臨界值，則在的顯著性水平下，可判斷分類變量與不獨(dú)立，本題中，所以D正確.故選：ACD.10．已知拋物線：（）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，過的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．若，則點(diǎn)到軸的距離為6C．當(dāng)，則直線的傾斜角為D．【答案】ABD【詳解】對于A，由題意可得，所以拋物線，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：，故A正確；對于B，設(shè)，由，所以，所以點(diǎn)到軸的距離為6，故B正確；對于C，過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，由，設(shè)，則，所以，所以，在中，有，此時(shí)直線的傾斜角為，根據(jù)拋物線的對稱性有直線的傾斜角為或，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)直線，，所以，所以，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故D正確；故選：ABD.11．如圖，在直三棱柱中，，，是棱的中點(diǎn)，在底面內(nèi)（包括邊界），則下列說法正確的是（

）A．的最小值為B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為C．存在唯一，使D．若，則三棱錐外接球的半徑為【答案】BCD【詳解】選項(xiàng)A：作關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，則，所以的最小值為，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：過點(diǎn)作于，則為在平面上的射影，若要，只要即可，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，是棱的中點(diǎn)，且，所以，所以，又，所以，所以，即為的中點(diǎn)，又，所以點(diǎn)的軌跡的中位線，長度為，故B項(xiàng)正確；選項(xiàng)C：以為原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，所以，所以，即為的中點(diǎn)，故C項(xiàng)正確；選項(xiàng)D：因?yàn)?，，所以三棱錐外接球的直徑為，又，所以外接球的半徑為，故D項(xiàng)正確．故選：BCD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．的展開式中的系數(shù)是（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】因?yàn)?，又展開式的通項(xiàng)為，，所以的展開式中含的項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)是.故答案為：13．有3個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字的小球，從中有放回地隨機(jī)取4次，每次取1個(gè)球．記為這3個(gè)球中至少被取出1次的球的個(gè)數(shù)，則的數(shù)學(xué)期望．【答案】【詳解】依題意，的可能取值為，總的選取可能數(shù)為，其中：即４次抽取同一球，選擇球的編號有3種方式，故；：恰好兩種不同球被取出；情況一：一種球出現(xiàn)1次、另一種球出現(xiàn)３次，可能情況有種，情況二：一種球出現(xiàn)2次、另一種球出現(xiàn)２次，可能情況有種，故；：三種不同球被取出，則一種球出現(xiàn)1次、另一種球出現(xiàn)1次、第三種球出現(xiàn)２次，可能情況有種，故；所以.故答案為：14．?dāng)?shù)學(xué)家笛卡爾通過研究一簇花瓣和葉形曲線特征，得到了一簇花瓣曲線的一般方程為：，該方程表示的曲線就是優(yōu)美的“笛卡爾葉形線”，若某種花瓣曲線特征滿足（如圖），該花瓣曲線上任意一點(diǎn)，則的范圍為．【答案】【詳解】設(shè)，則，代入曲線方程得，即，當(dāng)，即時(shí)，得，矛盾；當(dāng)即時(shí)，可得，又，故，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知，且展開式中有且僅有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(1)求展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)求的值；(3)判斷的展開式中第幾項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大.【詳解】（1）因?yàn)檎归_式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以， 2分所以展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為. 4分（2）令，得. 6分令，得，所以. 8分（3）展開式的通項(xiàng).由得. 11分因?yàn)閞為整數(shù)，所以，所以的展開式中第5項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大. 13分16．（15分）如圖，在三棱柱中，，，，平面.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，在平面?nèi)，所以，因?yàn)?，又都在平面?nèi)，所以平面， 3分又因?yàn)槠矫?，所以平面平? 5分（2）因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平面，在平面?nèi)，所以，因?yàn)椋?，所?又由（1）知，，兩兩垂直， 6分所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，. 8分設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以為平面的一個(gè)法向量， 10分而.設(shè)與平面所成角為，則， 13分因?yàn)?，所? 15分17．（15分）某興趣小組為宣傳傳統(tǒng)非遺文化制定了兩種宣傳方法，為了解兩種宣傳方法的宣傳效果，該小組在人群中隨機(jī)對84人進(jìn)行了宣傳（宣傳前所有人均未了解過），其中42人采用宣傳方法一，其余采用宣傳方法二，宣傳后的人群對傳統(tǒng)非遺文化的了解程度分為“比較了解”和“有點(diǎn)了解”.經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，采用宣傳方法一宣傳后的人中有30人是“比較了解”，采用宣傳方法二宣傳后的人中有18人是“比較了解”.(1)以頻率估計(jì)概率，現(xiàn)給2人采用宣傳方法一宣傳傳統(tǒng)非遺文化（宣傳前均未了解過），記宣傳后“比較了解”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)列出列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否可以認(rèn)為宣傳效果與宣傳方法有關(guān)?(3)若按照宣傳方法進(jìn)行分層抽樣，從這84人中隨機(jī)抽取14人，再從這14人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到“有點(diǎn)了解”的人的情況下，第二次抽到采用宣傳方法二宣傳且了解程度為“有點(diǎn)了解”的人的概率.附：，.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【詳解】（1）依題意可得，采用宣傳方法一宣傳后的人是“比較了解”的概率為，所以，則，，， 3分所以的分布列為012 5分則. 6分（2）由題意，列聯(lián)表如下：宣傳方法了解程度合計(jì)有點(diǎn)了解比較了解方法一123042方法二241842合計(jì)364884 8分零假設(shè)：宣傳效果與宣傳方法無關(guān).經(jīng)計(jì)算得，所以依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即可以認(rèn)為宣傳效果與宣傳方法有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01. 11分（3）14人中，采用宣傳方法一宣傳且了解程度為“有點(diǎn)了解”的有人，采用宣傳方法二宣傳且了解程度為“有點(diǎn)了解”的有人，記事件表示“第一次抽到‘有點(diǎn)了解’的人”，事件表示“第二次抽到采用宣傳方法二宣傳且了解程度為‘有點(diǎn)了解’的人”，則，， 13分所以. 15分18．（17分）近年來，隨著電腦、智能手機(jī)的迅速普及，我國在線教育行業(yè)出現(xiàn)了較大的發(fā)展．某在線教育平臺